1、课下能力提升(六)学业水平达标练题组1曲线与方程的概念1下列命题正确的是()A方程 1表示斜率为1，在y轴上的截距是2的直线BABC的顶点坐标分别为A(0,3)，B(2,0)，C(2,0)，则中线AO的方程是x0C到x轴距离为5的点的轨迹方程是y5D曲线2x23y22xm0通过原点的充要条件是m0解析：选D对照曲线和方程的概念，A中的方程需满足y2；B中“中线AO的方程是x0(0y3)”；而C中，动点的轨迹方程为|y|5，从而只有D是正确的2已知定点P(x0，y0)不在直线l：f(x，y)0上，则方程f(x，y)f(x0，y0)0表示一条()A过点P且垂直于l的直线B过点P且平行于l的直线C不
2、过点P但垂直于l的直线D不过点P但平行于l的直线解析：选B点P的坐标(x0，y0)满足方程f(x，y)f(x0，y0)0，因此方程表示的直线过点P.又f(x0，y0)为非零常数，方程可化为f(x，y)f(x0，y0)，方程表示的直线与直线l平行题组2曲线与方程关系的应用3方程y3x2(x1)表示的曲线为()A一条直线 B一条射线 C一条线段 D不能确定解析：选B方程y3x2表示的曲线是一条直线，当x1时，它表示一条射线4曲线C的方程为yx(1x5)，则下列四点中在曲线C上的是()A(0,0) B. C(1,5) D(4,4)解析：选D(4,4)适合方程yx，且满足1x5.5方程x2y21(xy
3、0)表示的曲线形状是()解析：选C由x2y21可知方程表示的曲线为圆又xy0，图象在第二、四象限内题组3轨迹方程的求法6到两坐标轴距离之和为4的点M的轨迹方程为()Axy4 Bxy4C|xy|4 D|x|y|4解析：选D设M点的坐标为(x，y)，则|x|y|4.7已知点P是直线x2y30上的一个动点，定点M(1,2)，Q是线段PM延长线上的一点，且|PM|MQ|，则点Q的轨迹方程是()Ax2y30 Bx2y50Cx2y70 Dx2y70解析：选D设P(x0，y0)，则x02y030 .又设Q(x，y)，由|PM|MQ|，知点M是线段PQ的中点，则即.将代入，得(2x)2(4y)30，即x2y7
4、0.故选D.8.如图，过点P(2,4)作两条互相垂直的直线l1，l2，若l1交x轴于点A，l2交y轴于点B，求线段AB的中点M的轨迹方程解：设点M的坐标为(x，y)，因为M为线段AB的中点，所以A(2x,0)，B(0,2y)又因为P(2,4)，所以(2x2，4)，(2,2y4)因为l1l2，所以.所以(2x2)(2)(4)(2y4)0，即x2y50.所以M点的轨迹方程是x2y50.9已知圆C：x2(y3)29，过原点作圆C的弦OP，求OP中点Q的轨迹方程解：法一：(直接法)如图，因为Q是OP的中点，所以OQC90.设Q(x，y)，由题意，得|OQ|2|QC|2|OC|2，即x2y2x2(y3)
5、29，所以点Q的轨迹方程为x22(去掉原点)法二：(定义法)如图所示，因为Q是OP的中点，所以OQC90，则Q在以OC为直径的圆上，故Q点的轨迹方程为x22(去掉原点)法三：(代入法)设P(x1，y1)，Q(x，y)，由题意，得即又因为x(y13)29.所以4x2429，即点Q的轨迹方程为x22(去掉原点)能力提升综合练1平面内有两定点A，B，且|AB|4，动点P满足| |4，则点P的轨迹是()A线段 B半圆C圆 D直线解析：选C以AB的中点为原点， 以AB所在的直线为x轴建立直角坐标系，则A(2,0)、B(2,0)设P(x，y)，则22(x，y)x2y24.即点P的轨迹是圆2方程x|y1|0
6、表示的曲线是()解析：选B方程x|y1|0可化为|y1|x0，则x0，因此选B.3在ABC中，若B，C的坐标分别是(2,0)、(2,0)，中线AD的长度是3，则A点的轨迹方程是()Ax2y23Bx2y24Cx2y29(y0)Dx2y29(x0)解析：选C易知BC中点D即为原点O，所以|OA|3，所以点A的轨迹是以原点为圆心，以3为半径的圆，又因为在ABC中，A，B，C三点不共线，所以y0.所以选C.4已知A(1,0)，B(2,4)，ABC的面积为10，则动点C的轨迹方程是()A4x3y160或4x3y160B4x3y160或4x3y240C4x3y160或4x3y240D4x3y160或4x3
7、y240解析：选B由两点式，得直线AB的方程是，即4x3y40，线段AB的长度|AB|5.设C的坐标为(x，y)，则510，即4x3y160或4x3y240.5已知方程xy0；0；x2y20；1，其中能表示直角坐标系的第一、三象限的角平分线C的方程的序号是_解析：是正确的；不正确，如点(1，1)在第三象限的角平分线上，但其坐标不满足方程0；不正确如点(1,1)满足方程x2y20，但它不在曲线C上；不正确如点(0,0)在曲线上，但其坐标不满足方程1.答案：6设点F(2,0)，动点P到y轴的距离为d，则满足条件|PF|d2的点P的轨迹方程为_解析：设P点坐标为(x，y)由|PF|2d得2|x|，化
8、简整理得y24|x|4x，当x0时，y28x，当x0)或y0(x0)7已知三角形ABC中，AB2，ACBC.(1)求点C的轨迹方程；(2)求三角形ABC的面积的最大值解：(1)以AB为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，则A(1,0)，B(1,0)，设C(x，y)，由ACBC，得(x3)2y28.因为在ABC中，A、B、C三点不共线，所以y0.即点C的轨迹方程为(x3)2y28(y0)(2)由于AB2，所以SABC2|y|y|，因为(x3)2y28，所以|y|2，所以SABC2，即三角形ABC的面积的最大值为2.8在正方形ABCD中，AB，BC边上各有一动点Q，R，且|BQ|CR|，试求直线AR与DQ的交点P的轨迹方程解：如图所示，以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，设正方形ABCD的边长为a，|AQ|t，|BR|t，其中0ta.当0ta时，直线DQ的方程为1，直线AR的方程为yx.由有t，将其代入，得1，即x2y2ay. 由可解得因为00，所以0x，0y.又当t0时，直线AR与DQ的交点P即A，满足x2y2ay，综上，所求的点P的轨迹方程为x2y2ay0.