1、第2节直接证明与间接证明最新考纲1.了解直接证明的两种基本方法分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程和特点；2.了解间接证明的一种基本方法反证法；了解反证法的思考过程和特点.知 识 梳 理1.直接证明内容综合法分析法定义从已知条件出发，经过逐步的推理，最后达到待证结论的方法，是一种从原因推导到结果的思维方法从待证结论出发，一步一步寻求结论成立的充分条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实的方法，是一种从结果追溯到产生这一结果的原因的思维方法特点从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理，实际上是要寻找它的必要条件从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，其逐步推理，实际上是要寻
2、找它的充分条件步骤的符号表示P0(已知)P1P2P3P4(结论)B(结论)B1B2BnA(已知)2.间接证明间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法，反证法是一种常用的间接证明方法.(1)反证法的定义：一般地，由证明pq转向证明：綈qrtt与假设矛盾，或与某个真命题矛盾，从而判定綈q为假，推出q为真的方法，叫做反证法.(2)用反证法证明的一般步骤：分清命题的条件和结论；做出与命题结论相矛盾的假定；由假定出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结果；断定产生矛盾结果的原因，在于开始所做的假定不真，于是原结论成立，从而间接地证明命题为真.诊 断 自 测1.思考辨析(在括号内打“”或“”)(1)分析法是
3、从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件.()(2)用反证法证明结论“ab”时，应假设“ab”.()(3)反证法是指将结论和条件同时否定，推出矛盾.()(4)在解决问题时，常用分析法寻找解题的思路与方法，再用综合法展现解决问题的过程.()解析(1)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充分条件.(2)应假设“ab”.(3)反证法只否定结论.答案(1)(2)(3)(4)2.若a，b，c为实数，且ab0，则下列命题正确的是()A.ac2abb2C.解析a2aba(ab)，ab0，ab0，a2ab.又abb2b(ab)0，abb2，由得a2abb2.答案B3.要证a2b21a2b2
4、0，只要证明()A.2ab1a2b20 B.a2b210C.1a2b20 D.(a21)(b21)0解析a2b21a2b20(a21)(b21)0.答案D4.用反证法证明：若整系数一元二次方程ax2bxc0(a0)有有理数根，那么a，b，c中至少有一个是偶数.用反证法证明时，下列假设正确的是()A.假设a，b，c都是偶数B.假设a，b，c都不是偶数C.假设a，b，c至多有一个偶数D.假设a，b，c至多有两个偶数解析“至少有一个”的否定为“都不是”，故B正确.答案B5.(教材例题改编)在ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，a，b，c成等比数列，则ABC的形
5、状为_.解析由题意2BAC，又ABC，B，又b2ac，由余弦定理得b2a2c22accos Ba2c2ac，a2c22ac0，即(ac)20，ac，AC，ABC，ABC为等边三角形.答案等边三角形考点一综合法的应用【例1】 数列an满足an1，a11.(1)证明：数列是等差数列；(2)(一题多解)求数列的前n项和Sn，并证明.(1)证明an1，化简得2，即2，故数列是以1为首项，2为公差的等差数列.(2)解由(1)知2n1，Snn2.法一1.法二1，又1，.规律方法1.综合法是“由因导果”的证明方法，它是一种从已知到未知(从题设到结论)的逻辑推理方法，即从题设中的已知条件或已证的真实判断(命题
6、)出发，经过一系列中间推理，最后导出所要求证结论的真实性.2.综合法的逻辑依据是三段论式的演绎推理.【训练1】 (2018东北三省三校调研)已知a，b，c0，abc1.求证：(1)；(2).证明(1)()2(abc)222(abc)(ab)(bc)(ca)3，.(2)a0，3a10，(3a1)24，当且仅当3a1，即a时取“”.33a，同理得33b，33c，以上三式相加得493(abc)6，当且仅当abc时取“”.考点二分析法的应用【例2】 已知ab0，求证：2a3b32ab2a2b.证明要证明2a3b32ab2a2b成立，只需证2a3b32ab2a2b0，即2a(a2b2)b(a2b2)0，
7、即(ab)(ab)(2ab)0.ab0，ab0，ab0，2ab0，从而(ab)(ab)(2ab)0成立，2a3b32ab2a2b.规律方法1.逆向思考是用分析法证题的主要思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件.正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键.2.证明较复杂的问题时，可以采用两头凑的办法，即通过分析法找出某个与结论等价(或充分)的中间结论，然后通过综合法证明这个中间结论，从而使原命题得证.【训练2】 ABC的三个内角A，B，C成等差数列，A，B，C的对边分别为a，b，c.求证：.证明要证，即证3也就是1，只需证c(bc)a(ab)(ab)(bc)，需证c2a2acb2，又ABC三内
8、角A，B，C成等差数列，故B60，由余弦定理，得b2c2a22accos 60，即b2c2a2ac，故c2a2acb2成立.于是原等式成立.考点三反证法的应用【例3】 等差数列an的前n项和为Sn，a11，S393.(1)求数列an的通项an与前n项和Sn；(2)设bn(nN+)，求证：数列bn中任意不同的三项都不可能成为等比数列.(1)解由已知得解得d2，故an2n1，Snn(n).(2)证明由(1)得bnn.假设数列bn中存在三项bp，bq，br(p，q，rN+，且互不相等)成等比数列，则bbpbr.即(q)2(p)(r).(q2pr)(2qpr)0.p，q，rN+，q2pr，(pr)20
9、.pr，与pr矛盾.数列bn中任意不同的三项都不可能成为等比数列.规律方法1.当一个命题的结论是以“至多”、“至少”、“唯一”或以否定形式出现时，可用反证法来证，反证法关键是在正确的推理下得出矛盾，矛盾可以是与已知条件矛盾，与假设矛盾，与定义、公理、定理矛盾，与事实矛盾等.2.用反证法证明不等式要把握三点：(1)必须否定结论；(2)必须从否定结论进行推理；(3)推导出的矛盾必须是明显的.【训练3】 (2018郑州一中月考)若f(x)的定义域为a，b，值域为a，b(a2)，使函数h(x)是区间a，b上的“四维光军”函数？若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由.解(1)由题设得g(x)(x1
10、)21，其图象的对称轴为x1，区间1，b在对称轴的右边，所以函数在区间1，b上单调递增.由“四维光军”函数的定义可知，g(1)1，g(b)b，则b2bb，解得b1或b3.因为b1，所以b3.(2)假设函数h(x)在区间a，b(a2)上是“四维光军”函数，因为h(x)在区间(2，)上单调递减，所以有即解得ab，这与已知矛盾.故不存在常数a，b使函数h(x)是a，b上的“四维光军”函数.基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1.用反证法证明命题：“三角形三个内角至少有一个不大于60”时，应假设()A.三个内角都不大于60B.三个内角都大于60C.三个内角至多有一个大于60D.三个内角至多有两
11、个大于60解析“至少有一个”的否定是“一个都没有”，故可以理解为都大于60.答案B2.已知m1，a，b，则以下结论正确的是()A.ab B.a0(m1)，即a0 B.a2b22(ab1)C.a23ab2b2 D.解析在B中，a2b22(ab1)(a22a1)(b22b1)(a1)2(b1)20，a2b22(ab1)恒成立.答案B4.分析法又称“执果索因法”，若用分析法证明：“设abc，且abc0，求证a”索的因应是()A.ab0 B.ac0C.(ab)(ac)0 D.(ab)(ac)0解析由题意知ab2ac3a2(ac)2ac3a2a22acc2ac3a202a2acc202a2acc20(a
12、c)(2ac)0(ac)(ab)0.答案C5.已知p3q32，求证pq2，用反证法证明时，可假设pq2；已知a，bR，|a|b|40，2.答案27.用反证法证明命题“a，bR，ab可以被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”，那么假设的内容是_.解析“至少有一个能被5整除”的否定是“都不能被5整除”.答案“a，b都不能被5整除”8.下列条件：ab0，ab0，b0，a0，b0成立，即a，b不为0且同号即可，故能使2成立.答案三、解答题9.若a，b，c是不全相等的正数，求证：lglglglg alg blg c.证明a，b，c(0，)，0，0，0.又上述三个不等式中等号不能同时成立.abc成立
13、.上式两边同时取常用对数，得lglg abc，lglglglg alg blg c.10.设数列an是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和.(1)求证：数列Sn不是等比数列；(2)数列Sn是等差数列吗？为什么？(1)证明假设数列Sn是等比数列，则SS1S3，即a(1q)2a1a1(1qq2)，因为a10，所以(1q)21qq2，即q0，这与公比q0矛盾，所以数列Sn不是等比数列.(2)解当q1时，Snna1，故Sn是等差数列；当q1时，Sn不是等差数列，否则2S2S1S3，即2a1(1q)a1a1(1qq2)，得q0，这与公比q0矛盾.综上，当q1时，数列Sn是等差数列；当q1时，数列Sn不
14、是等差数列.能力提升题组(建议用时：20分钟)11.(2018日照开学考试)设x，y，z0，则三个数，()A.都大于2 B.至少有一个大于2C.至少有一个不小于2 D.至少有一个不大于2解析因为6，当且仅当xyz时等号成立.所以三个数中至少有一个不小于2，故选C.答案C12.(2016全国卷)有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是_.解析根据丙的说法及乙看了丙的卡片后的说法进行推理.由丙说“
15、我的卡片上的数字之和不是5”，可推知丙的卡片上的数字是1和2或1和3.又根据乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”可知，乙的卡片不含1，所以乙的卡片上的数字为2和3.再根据甲的说法“我与乙的卡片上相同的数字不是2”可知，甲的卡片上的数字是1和3.答案1和313.设a，b，c，d均为正数，且abcd，证明：(1)若abcd，则；(2)是|ab|cd得()2()2.因此.(2)若|ab|cd|，则(ab)2(cd)2，即(ab)24abcd.由(1)得.若，则()2()2，即ab2cd2.因为abcd，所以abcd，于是(ab)2(ab)24ab(cd)24cd(cd)2.因此|ab|是|ab|cd|的充要条件.