1、第2节参数方程最新考纲1.了解参数方程，了解参数的意义；2.能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程.知 识 梳 理1.曲线的参数方程一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数并且对于t的每一个允许值，由这个方程组所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x，y的变数t叫做参变数，简称参数.2.参数方程与普通方程的互化通过消去参数从参数方程得到普通方程，如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如xf(t)，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系yg(t)，那么就是曲线的参数方程.在参数方程与普通方程的
2、互化中，必须使用x，y的取值范围保持一致.3.常见曲线的参数方程和普通方程点的轨迹普通方程参数方程直线yy0tan (xx0)(t为参数)圆x2y2r2(为参数)椭圆1(ab0)(为参数)温馨提醒直线的参数方程中，参数t的系数的平方和为1时，t才有几何意义且几何意义为：|t|是直线上任一点M(x，y)到M0(x0，y0)的距离.诊 断 自 测1.思考辨析(在括号内打“”或“”)(1)参数方程中的x，y都是参数t的函数.()(2)过M0(x0，y0)，倾斜角为的直线l的参数方程为(t为参数).参数t的几何意义表示：直线l上以定点M0为起点，任一点M(x，y)为终点的有向线段的数量.()(3)方程
3、(为参数)表示以点(0，1)为圆心，以2为半径的圆.()(4)已知椭圆的参数方程(t为参数)，点M在椭圆上，对应参数t，点O为原点，则直线OM的斜率为.()答案(1)(2)(3)(4)2.(选修44P26习题T4改编)在平面直角坐标系中，曲线C：(t为参数)的普通方程为_.解析消去t，得xy1，即xy10.答案xy103.在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C1的极坐标方程为(cos sin )2，曲线C2的参数方程为(t为参数)，则C1与C2交点的直角坐标为_.解析由(cos sin )2，得xy2.又(t为参数)消去t，得y28x.联立，得即交点坐
4、标为(2，4).答案(2，4)4.直线yb(x4)与圆(为参数)相切，则切线的倾斜角为_.解析圆的普通方程为(x2)2y23，圆心A(2，0)，半径r.直线yb(x4)与圆相切，则b23，b.因此tan ，切线的倾斜角为或.答案或5.(2017江苏卷)在平面坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为(t为参数)，曲线C的参数方程为(s为参数).设P为曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值.解由(t为参数)消去t.得l的普通方程为x2y80，因为点P在曲线C上，设点P(2s2，2s).则点P到直线l的距离d，当s时，d有最小值.考点一参数方程与普通方程的互化【例1】 已知直线l的参数方程为(t
5、为参数)，圆C的参数方程为(为参数).(1)求直线l和圆C的普通方程；(2)若直线l与圆C有公共点，求实数a的取值范围.解(1)直线l的普通方程为2xy2a0，圆C的普通方程为x2y216.(2)因为直线l与圆C有公共点，故圆C的圆心到直线l的距离d4，解得2a2.即实数a的取值范围是2，2.规律方法1.将参数方程化为普通方程，消参数常用代入法、加减消元法、三角恒等变换消去参数.2.把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，并且要注意参数的取值对普通方程中x及y的取值范围的影响，一定要保持同解变形.【训练1】 (2016江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为(t为参数)
6、，椭圆C的参数方程为(为参数).设直线l与椭圆C相交于A，B两点，求线段AB的长.解椭圆C的普通方程为x21.将直线l的参数方程(t为参数)代入x21，得1，即7t216t0，解之得t10，t2.所以|AB|t1t2|.所以线段AB的长为.考点二参数方程及应用【例21】 (2017全国卷)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(为参数)，直线l的参数方程为(t为参数).(1)若a1，求C与l的交点坐标；(2)若C上的点到l距离的最大值为，求a.解(1)a1时，直线l的普通方程为x4y30.曲线C的标准方程是y21，联立方程解得或则C与l交点坐标是(3，0)和.(2)直线l的普通方程是x4y4
7、a0.设曲线C上点P(3cos ，sin ).则P到l距离d，其中tan .又点C到直线l距离的最大值为.|5sin()4a|的最大值为17.若a0，则54a17，a8.若a0).(1)以曲线M上的点与点O连线的斜率k为参数，写出曲线M的参数方程；(2)设曲线C与曲线M的两个交点为A，B，求直线OA与直线OB的斜率之和.解(1)由得故曲线M的参数方程为.(2)由4cos ，得24cos ，x2y24x.将代入x2y24x整理得k24k30，k1k24.故直线OA与直线OB的斜率之和为4.3.已知曲线C：1，直线l：(t为参数).(1)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；(2)过曲线C上任意
8、一点P作与l夹角为30的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值.解(1)曲线C的参数方程为(为参数).直线l的普通方程为2xy60.(2)曲线C上任意一点P(2cos ，3sin )到l的距离为d|4cos 3sin 6|，则|PA|5sin()6|，其中为锐角，且tan .当sin()1时，|PA|取得最大值，最大值为.当sin()1时，|PA|取得最小值，最小值为.4.(2018黄山二模)已知曲线C的极坐标方程为，过点P(1，0)的直线l交曲线C于A，B两点.(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)求|PA|PB|的取值范围.解(1)由得2(1sin2)2.故曲线C的直角坐
9、标方程为y21.(2)由题意知，直线l的参数方程为(t为参数).将代入y21.化简得(cos22sin2)t22tcos 10.设A，B对应的参数分别为t1，t2，则t1t2.则|PA|PB|t1t2|.由于1，|PA|PB|的取值范围为.5.(2016全国卷)在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x6)2y225.(1)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；(2)直线l的参数方程是(t为参数)，l与C交于A，B两点，|AB|，求l的斜率.解(1)由xcos ，ysin 可得圆C的极坐标方程为212cos 110.(2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为
10、(R).设A，B所对应的极径分别为1，2，将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得212cos 110.于是1212cos ，1211.|AB|12|.由|AB|得cos2，tan .所以l的斜率为或.能力提升题组(建议用时：30分钟)6.(2018湖南长郡中学联考)已知曲线C1： (t为参数)，C2：(为参数).(1)化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；(2)若C1上的点P对应的参数为t，Q为C2上的动点，求PQ的中点M到直线C3：(t为参数)距离的最小值.解(1)由C1消去参数t，得曲线C1的普通方程为(x4)2(y3)21.同理曲线C2的普通方程为1.C1表示圆心是(4
11、，3)，半径是1的圆，C2表示中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆.(2)当t时，P(4，4)，又Q(8cos ，3sin )，故M，又C3的普通方程为x2y70，则M到直线C3的距离d|4cos 3sin 13|3sin 4cos 13|5(sin )13|，所以d的最小值为.7.在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2cos 6sin 0，直线l的参数方程为(t为参数).(1)求曲线C的普通方程；(2)若直线l与曲线C交于A，B两点，点P的坐标为(3，3)，求|PA|PB|的值.解(1)曲线C的极坐标方程为2cos
12、6sin 0，可得22cos 6sin 10，可得x2y22x6y10，曲线C的普通方程：x2y22x6y10.(2)由于直线l的参数方程为(t为参数).把它代入圆的方程整理得t22t50，t1t22，t1t25，则|PA|t1|，|PB|t2|，|PA|PB|t1|t2|t1t2|2.|PA|PB|的值为2.8.(2018哈尔滨模拟)已知曲线C的参数方程为(为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为sin4.(1)写出曲线C的极坐标方程和直线l的普通方程；(2)若射线与曲线C交于O，A两点，与直线l交于B点，射线与曲线C交于O，P两点，求PAB的面积.解(1)由(为参数)，消去.普通方程为(x2)2y24.从而曲线C的极坐标方程为24cos 0，即4cos ，因为直线l的极坐标方程为sin4，即sin cos 4，直线l的直角坐标方程为xy80.(2)依题意，A，B两点的极坐标分别为，联立射线与曲线C的极坐标方程得P点极坐标为，|AB|2，SPAB22sin2.