1、第五章平面向量、数系的扩充与复数的引入 5.1平面向量的概念及线性运算A组基础题组 1.(2018浙江瑞安模拟)在四边形ABCD中,若AC=AB+AD,则四边形ABCD一定是()A.矩形B.菱形C.正方形D.平行四边形答案D依题意得AB+BC=AB+AD,则BC=AD,因此BCAD,且BC=AD,所以四边形ABCD是平行四边形,故选D.2.设点M是线段AB的中点,点C在直线AB外,|AB|=6,|CA+CB|=|CA-CB|,则|CM|=()A.12B.6C.3D.32答案C因为|CA+CB|=2|CM|,|CA-CB|=|BA|,所以2|CM|=|BA|=6,所以|CM|=3,故选C.3.设
2、O是ABC的内心,AB=c,AC=b,若AO=1AB+2AC,则()A.12=bcB.1222=bcC.12=c2b2D.1222=cb答案A设AM=1AB,AN=2AC.因为O是ABC的内心,所以AO平分BAC,所以平行四边形AMON为菱形,且10,20,由|AM|=|AN|,得|1AB|=|2AC|,即1c=2b,亦即12=bc,故选A.4.(2018浙江温州普通高中模拟)已知点A,B,C是圆O上不同的三点,线段CO与线段AB交于点D,若OC=OA+OB(0,0),则+的取值范围是()A.(0,1)B.(1,+)C.(1,2D.(0,2)答案B由题意可得OD=kOC=kOA+kOB(0k1
3、,即+的取值范围是(1,+),选项B正确.5.对于两个不共线的单位向量a,b,给出下列四个命题:(a+b)(a-b);2|AB|=1,得a+b2+a-b21,即|a+b|+|a-b|2.又由|AO|+|OB|2|AO|2+|OB|22=|AB|22=12,得|a+b|+|a-b|22,故正确.a与b在a+b方向上的投影都为|AO|,故正确.m=|AO|,n=|DO|,由|AO|2+|DO|2=|AD|2=1,得m2+n2=1.故正确.故选D.6.已知点P为ABC所在平面内一点,边AB的中点为D,若2PD=(1-)PA+CB,其中R,则P点一定在() A.AB边所在的直线上B.BC边所在的直线上
4、C.AC边所在的直线上D.ABC的内部答案C因为2PD=(1-)PA+CB,所以2(PA+AD)=PA-PA+CB,2PA+2AD=PA-PA+CB,PA+2AD-CB=-PA,因为D为边AB的中点,所以2AD=AB,所以PC=-PA,所以P点一定在AC边所在的直线上.7.在ABC中,|CA|2+|CB|2=4,|AB|=2,记h()=CA+1-2CB,则minRh()的最大值是()A.1B.23C.25D.12答案B将|CB-CA|=2的两边平方后,整理得,CBCA=0,即ABC为直角三角形.h()=CA+1-2CB=CA+(1-)CB2,设D为BC的中点,则h()=|CA+(1-)CD|.
5、易知minRh()为直角三角形CAD的斜边AD上的高,记为h.设|CA|=b,|CB|=a,则a2+b2=4.由面积相等知,h=a2ba22+b2=aba2+4b2=11b2+4a2.因为1b2+4a2=141b2+4a2(a2+b2)=145+4b2a2+a2b214(5+4)=94当且仅当a2=2b2=83时,等号成立,所以h23.故选B.8.(2019浙江镇海中学月考)在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,AB+AD=AO,则=.答案2解析由向量加法的平行四边形法则,得AB+AD=AC=2AO,故=2.9.设向量a,b不平行,向量a+b与a+2b平行,则实数=.答案12解析由
6、于a,b不平行,所以a+b与a+2b平行等价于1=12,即=12.10.(2018浙江温州质检)如图所示,在ABC中,BO为边AC上的中线,BG=2GO,设CDAG,若AD=15AB+AC(R),则的值为.答案65解析因为BG=2GO,所以AG=13AB+23AO=13AB+13AC,又CDAG,可设CD=mAG,从而AD=AC+CD=AC+m3AB+m3AC=1+m3AC+m3AB.因为AD=15AB+AC,所以m3=15,=1+m3=65.11.(2019浙江杭州中学高三月考)已知P为ABC内一点,且5AP-2AB-AC=0,则PAC的面积与ABC的面积之比等于.答案25解析根据题意有5A
7、P=2AB+AC,所以AP=25AB+15AC,延长AP交BC于点D,设AD=AP,则AD=25AB+15AC,因为D,B,C三点共线,所以25+15=1,所以=53,所以AD=53AP=23AB+13AC,从而可以得到D是BC边的三等分点,且CD=23CB,设点B到边AC的距离为d,则点P到边AC的距离为2335d=25d,所以PAC的面积与ABC的面积之比为25.B组提升题组1.如图所示,已知点G是ABC的重心,过点G作直线与AB、AC两边分别交于点M、N,且AM=xAB,AN=yAC,则xyx+y的值为() A.3B.13C.2D.12答案B依题意知AG=13(AB+AC),所以MG=A
8、G-AM=13(AB+AC)-xAB=13-xAB+13AC,GN=AN-AG=yAC-13(AB+AC)=y-13AC-13AB,设MG=GN,即13-xAB+13AC=y-13AC-13AB,13-x=-13,13=y-13,消去得x+y-3xy=0,xyx+y=13,故选B.2.(2018浙江名校协作体高三联考)如图,在ABC中,点O是BC的中点,过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M,N,若AB=mAM,AC=nAN,则m+n=.答案2解析作BGAC,且交MN于点G,则|BG|AN|=|BM|AM|,GBC=C.因为O是BC的中点,所以OB=OC,又GOB=NOC,所以NOCG
9、OB,所以|BG|=|NC|,又因为|AC|=n|AN|,所以|NC|=(n-1)|AN|,所以|BG|AN|=n-1.因为|AB|=m|AM|,所以|BM|=(1-m)|AM|,所以|BM|AM|=1-m,所以n-1=1-m,所以m+n=2.3.已知点P为ABC所在平面上的一点,且AP=13AB+tAC,其中t为实数,若点P落在ABC的内部,则t的取值范围是.答案0,23解析如图,作AC的平行线DE,且使得AD=13AB,易知DE=23AC.因为AP=13AB+tAC,P在三角形ABC的内部,所以P在线段DE(不包含端点)上,且DP=tAC,所以t0,23.4.在平行四边形ABCD中,M,N
10、分别是线段AB,BC的中点,且DM=1,DN=2,MDN=3.(1)试用向量AB,AD表示向量DM,DN;(2)求|AM|,|AD|;(3)设O为ADM的重心(三角形三条中线的交点),若AO=xAD+yAM,求x,y的值.解析(1)DM=AM-AD=12AB-AD,DN=DC-NC=AB-12AD.(2)由(1)知AD=23DN-43DM,AB=43DN-23DM,所以|AD|=23DN-43DM2=43,|AB|=43DN-23DM2=2313,所以|AM|=12|AB|=133.(3)由重心性质知AO+DO+MO=0,因为AO=xAD+yAM,所以0=xAD+yAM-AO=x(AO-DO)+y(AO-MO)-AO=(x+y-1)AO+(-x)DO+(-y)MO,所以(x+y-1)(-x)(-y)=111,所以x=y=13.
