1、专题四立体几何与空间向量第1讲空间几何体的三视图、表面积与体积年份卷别考查内容及考题位置命题分析2018卷空间几何体的三视图及侧面展开问题T71.“立体几何”在高考中一般会以“两小一大”或“一小一大”的命题形式出现，这“两小”或“一小”主要考查三视图，几何体的表面积与体积，空间点、线、面的位置关系(特别是平行与垂直)2考查一个小题时，此小题一般会出现在第48题的位置上，难度一般；考查两个小题时，其中一个小题难度一般，另一个小题难度稍高，一般会出现在第1016题的位置上，此小题虽然难度稍高，主要体现在计算量上，但仍是对基础知识、基本公式的考查.空间几何体的截面问题T12卷圆锥的侧面积T16卷三视
2、图的识别T3三棱锥的体积及外接球问题T102017卷空间几何体的三视图与直观图、面积的计算T7卷空间几何体的三视图及组合体体积的计算T4卷球的内接圆柱、圆柱的体积的计算T82016卷有关球的三视图及表面积的计算T6卷空间几何体的三视图及组合体表面积的计算T6卷空间几何体的三视图及组合体表面积的计算T9直三棱柱的体积最值问题T10空间几何体的三视图(基础型) 一个物体的三视图的排列规则俯视图放在正(主)视图的下面，长度与正(主)视图的长度一样，侧(左)视图放在正(主)视图的右面，高度与正(主)视图的高度一样，宽度与俯视图的宽度一样即“长对正、高平齐、宽相等” 由三视图还原到直观图的三个步骤(1)
3、根据俯视图确定几何体的底面(2)根据正(主)视图或侧(左)视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应的棱、面的位置(3)确定几何体的直观图形状注意在读图或者画空间几何体的三视图时，应注意三视图中的实线和虚线考法全练1(2018高考全国卷)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是()解析：选A.由题意知，在咬合时带卯眼的木构件中，从俯视方向看，榫头看不见，所以是虚线，结合榫头的位置知选A.2(2018高考全国卷)某圆柱的高为2，底面周长
4、为16，其三视图如图圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为()A2B2C3D2解析：选B.由三视图可知，该几何体为如图所示的圆柱，该圆柱的高为2，底面周长为16.画出该圆柱的侧面展开图，如图所示，连接MN，则MS2，SN4，则从M到N的路径中，最短路径的长度为2.故选B.3把边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折起，使得平面ABD平面CBD，形成的三棱锥CABD的正视图与俯视图如图所示，则侧视图的面积为()A. B.C. D.解析：选D.由三棱锥CABD的正视图、俯视图得三棱锥CABD的侧视图为直角边
5、长是的等腰直角三角形，如图所示，所以三棱锥CABD的侧视图的面积为，故选D.4(2018长春质量监测(二)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线条画出的是一个三棱锥的三视图，则该三棱锥中最长棱的长度为()A2B.C2D3解析：选D.如图，三棱锥ABCD即为所求几何体，根据题设条件，知辅助的正方体棱长为2，CD1，BD2，BC，AC2，AB3，AD，则最长棱为AB，长度为3.5(2018石家庄质量检测(一)如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗线表示的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的四个面中，最小面的面积是()A2 B2C2 D.解析：选C.在正方体中还原该几何体，如图中三棱锥DABC所示，其中
6、正方体的棱长为2，则SABC2，SDBC2，SADB2，SADC2，故该三棱锥的四个面中，最小面的面积是2，选C.空间几何体的表面积和体积(综合型) 柱体、锥体、台体的侧面积公式(1)S柱侧ch(c为底面周长，h为高)(2)S锥侧ch(c为底面周长，h为斜高)(3)S台侧(cc)h(c，c分别为上下底面的周长，h为斜高) 柱体、锥体、台体的体积公式(1)V柱体Sh(S为底面面积，h为高)(2)V锥体Sh(S为底面面积，h为高)(3)V台(SS)h(S，S分别为上下底面面积，h为高)(不要求记忆)典型例题命题角度一空间几何体的表面积 (1)(2018潍坊模拟)某几何体的三视图如图所示，则该几何体
7、的表面积为()A42B44C62D64(2)(2018合肥第一次质量检测)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为()A518 B618C86D106【解析】(1)由三视图还原几何体的直观图如图所示，易知BC平面PAC，又PC平面PAC，所以BCPC，又APACBC2，所以PC2，又AB2，所以SPBCSPAB222，SABCSPAC222，所以该几何体的表面积为44.(2)由三视图可知该几何体是由一个半圆柱和两个半球构成的，故该几何体的表面积为24122122321386.【答案】(1)B(2)C求几何体的表面积的方法(1)求表面积问题的基本思路是
8、将立体几何问题转化为平面几何问题，即空间图形平面化，这是解决立体几何的主要出发点(2)求不规则几何体的表面积时，通常将所给几何体分割成基本的柱、锥、台体，先求这些柱、锥、台体的表面积，再通过求和或作差得几何体的表面积 命题角度二空间几何体的体积 (1)(2018武汉调研)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A. B.C. D.(2)(2018高考全国卷)已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB互相垂直，SA与圆锥底面所成角为30.若SAB的面积为8，则该圆锥的体积为_【解析】(1)由三视图知，该几何体是在长、宽、高分别为2，1，1的长方体中，截去一个三棱柱AA1D1BB1C1和一个三棱锥
9、CBC1D后剩下的几何体，即如图所示的四棱锥DABC1D1，四棱锥DABC1D1的底面积为S四边形ABC1D122，高h，其体积VS四边形ABC1D1h2.故选D.(2)由题意画出图形，如图，设AC是底面圆O的直径，连接SO，则SO是圆锥的高设圆锥的母线长为l，则由SASB，SAB的面积为8，得l28，得l4.在RtASO中，由题意知SAO30，所以SOl2，AOl2.故该圆锥的体积VAO2SO(2)228.【答案】(1)D(2)8求空间几何体体积的常用方法(1)公式法：直接根据相关的体积公式计算(2)等积法：根据体积计算公式，通过转换空间几何体的底面和高使得体积计算更容易，或是求出一些体积比
10、等(3)割补法：把不能直接计算体积的空间几何体进行适当分割或补形，转化为易计算体积的几何体 对点训练1(2018洛阳第一次统考)一个几何体的三视图如图所示，图中的三个正方形的边长均为2，则该几何体的体积为()A8 B4C8D4解析：选A.由三视图可得该几何体的直观图如图所示，该几何体是一个棱长为2的正方体上、下各挖去一个底面半径为1，高为1的圆锥后剩余的部分，其体积为2321218.故选A.2(2018唐山模拟)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画的是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为()A3 B.C7 D.解析：选B.由题中的三视图可得，该几何体是由一个长方体切去一个三棱锥所得的几何
11、体，长方体的长，宽，高分别为2，1，2，体积为4，切去的三棱锥的体积为，故该几何体的体积V4.故选B.多面体与球(综合型)典型例题命题角度一外接球 (2018南宁模拟)三棱锥PABC中，ABC为等边三角形，PAPBPC3，PAPB，三棱锥PABC的外接球的体积为()A. B.C27D27【解析】因为三棱锥PABC中，ABC为等边三角形，PAPBPC3，所以PABPBCPAC.因为PAPB，所以PAPC，PCPB.以PA，PB，PC为过同一顶点的三条棱作正方体(如图所示)，则正方体的外接球同时也是三棱锥PABC的外接球因为正方体的体对角线长为3，所以其外接球半径R.因此三棱锥PABC的外接球的体
12、积V，故选B.【答案】B解决多面体的外接球问题，关键是确定球心的位置，方法是先选择多面体中的一面，确定此面外接圆的圆心，再过圆心作垂直此面的垂线，则球心一定在此垂线上，最后根据其他顶点确定球心的准确位置对于特殊的多面体还可采用补成正方体或长方体的方法找到球心位置 命题角度二内切球 已知一个平放的各棱长为4的三棱锥内有一个小球O(重量忽略不计)，现从该三棱锥顶端向内注水，小球慢慢上浮，当注入的水的体积是该三棱锥体积的时，小球与该三棱锥各侧面均相切(与水面也相切)，则小球的表面积等于()A. B.C. D.【解析】当注入水的体积是该三棱锥体积的时，设水面上方的小三棱锥的棱长为x(各棱长都相等)，依
13、题意，得x2.易得小三棱锥的高为，设小球半径为r，则S底面4S底面r，得r，故小球的表面积S4r2.故选C.【答案】C求解多面体的内切球的问题，一般是将多面体分割为以球心为顶点，多面体的各面为底面的棱锥，利用多面体的体积等于各棱锥的体积之和求内切球的半径 命题角度三与球有关的最值问题 (2018高考全国卷)设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC为等边三角形且其面积为9，则三棱锥DABC体积的最大值为()A12 B18C24D54【解析】如图，E是AC中点，M是ABC的重心，O为球心，连接BE，OM，OD，BO.因为SABCAB29，所以AB6，BMBE2.易知OM平面ABC，
14、所以在RtOBM中，OM2，所以当D，O，M三点共线且DMODOM时，三棱锥DABC的体积取得最大值，且最大值VmaxSABC(4OM)9618.故选B.【答案】B多面体与球有关的最值问题，主要有三种：一是多面体确定的情况下球的最值问题，二是球的半径确定的情况下与多面体有关的最值问题；三是多面体与球均确定的情况下，截面的最值问题 对点训练1(2018福州模拟)已知圆锥的高为3，底面半径为，若该圆锥的顶点与底面的圆周都在同一个球面上，则这个球的体积等于()A. B.C16D32解析：选B.设该圆锥的外接球的半径为R，依题意得，R2(3R)2()2，解得R2，所以所求球的体积VR323，故选B.2
15、(2018洛阳第一次联考)已知球O与棱长为4的正四面体的各棱均相切，则球O的体积为()A.B.C.D.解析：选A.将正四面体补成正方体，则正四面体的棱为正方体面上的对角线，因为正四面体的棱长为4，所以正方体的棱长为2.因为球O与正四面体的各棱都相切，所以球O为正方体的内切球，即球O的直径为正方体的棱长2，则球O的体积VR3，故选A.3已知四棱锥SABCD的所有顶点在同一球面上，底面ABCD是正方形且球心O在此平面内，当四棱锥的体积取得最大值时，其表面积等于1616，则球O的体积等于()A.B.C.D.解析：选D.由题意得，当四棱锥的体积取得最大值时，该四棱锥为正四棱锥因为该四棱锥的表面积等于1
16、616，设球O的半径为R，则AC2R，SOR，如图，所以该四棱锥的底面边长ABR，则有(R)24R 1616，解得R2，所以球O的体积是R3.故选D.一、选择题1(2018长沙模拟)如图是一个正方体，A，B，C为三个顶点，D是棱的中点，则三棱锥ABCD的正视图、俯视图是(注：选项中的上图为正视图，下图为俯视图)()解析：选A.正视图和俯视图中棱AD和BD均看不见，故为虚线，易知选A.2(2018高考北京卷)某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为()A1B2C3D4解析：选C.将三视图还原为直观图，几何体是底面为直角梯形，且一条侧棱和底面垂直的四棱锥，如图所示易知，BC
17、AD，BC1，ADABPA2，ABAD，PA平面ABCD，故PAD，PAB为直角三角形，因为PA平面ABCD，BC平面ABCD，所以PABC，又BCAB，且PAABA，所以BC平面PAB，又PB平面PAB，所以BCPB，所以PBC为直角三角形，容易求得PC3，CD，PD2，故PCD不是直角三角形，故选C.3(2018沈阳教学质量监测(一)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某简单几何体的三视图，则该几何体的体积为()A.B.C.D.解析：选A.由三视图可得该几何体为半圆锥，底面半圆的半径为2，高为2，则其体积V222，故选A.4(2018西安八校联考)某几何体的三视图如图所示，则该
18、几何体的体积是()A.B.C2D4解析：选B.由三视图可知，该几何体为一个半径为1的半球与一个底面半径为1，高为2的半圆柱组合而成的组合体，故其体积V13122，故选B.5(2018长春质量检测(一)已知矩形ABCD的顶点都在球心为O，半径为R的球面上，AB6，BC2，且四棱锥OABCD的体积为8，则R等于()A4 B2C.D.解析：选A.如图，设矩形ABCD的中心为E，连接OE，EC，由球的性质可得OE平面ABCD，所以VOABCDOES矩形ABCDOE628，所以OE2，在矩形ABCD中可得EC2，则R4，故选A.6(2018南昌调研)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线及粗虚线画出的
19、是某多面体的三视图，则该多面体的体积为()A.B.C2D.解析：选A.由三视图可知，该几何体为三棱锥，将其放在棱长为2的正方体中，如图中三棱锥ABCD所示，故该几何体的体积V122.7(2018辽宁五校协作体联考)如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线及粗虚线画出的是三棱锥的三视图，则此三棱锥的体积是()A8 B16C24D48解析：选A.由三视图还原三棱锥的直观图，如图中三棱锥PABC 所示，且长方体的长、宽、高分别为6，2，4，ABC是直角三角形，ABBC，AB2，BC6，三棱锥PABC的高为4，故其体积为6248，故选A.8将一个底面半径为1，高为2的圆锥形工件切割成一个圆柱体，能切割出的圆柱的最大体积为()A.B.C.D.解析：选B.如图所示，设圆柱的半径为r，高为x，体积为V，由题意可得，所以x22r，所以圆柱的体积Vr2(22r)2(r2r3)(0r1)，设V(r)2(r2r3)(0r0，得0h2，由V2，所以当h2时，正四棱柱的体积最大，Vmax8.答案：2