《解析》湖南省怀化市高考2016年数学二模试卷（理科） WORD版含解析.doc

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1、2016年湖南省怀化市高考数学二模试卷（理科）一、选择题（每题5分）1已知集合M=x|x23x+20，N=x|22x8，则（）AM=NBMN=CMNDMN2已知a，b都是实数，那么“”是“lnalnb”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件3若x，y满足，则z=|y2x|的最大值为（）A8B6C4D14根据如图所示程序框图，若输入m=42，n=30，则输出m的值为（）A0B3C6D125若双曲线x2+2my2=1的两条渐近线互相垂直，则其一个焦点为（）A（0，1）B（1，0）C（0，）D（，0）6某班对一模考试数学成绩进行分析，利用随机数表法抽取样本时，先将70

2、个同学按00，01，02，69进行编号，然后从随机数表第9行第9列的数开始向右读，则选出的第10个样本中第8个样本的编号是（）（注：如表为随机数表的第8行和第9行）63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 7933 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54A07B44C38D517将函数的图象向左平移个单位得到y=g（x）的图象，若对满足|f（x1）g（x2）|=2的x1、x2，|x1x2|

3、min=，则的值是（）ABCD8（1x）3（1）3展开式中的常数项是（）A20B6C15D209一个三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的四个面的面积中最大的是（）ABC4D310在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对边的边长，若cosA+sinA=0，则的值是（）A2BCD111以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的详解九章算术一书中的“杨辉三角形”该表由若干行数字组成，第一行共有2016个数字，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数为（）A201622015B201622014C201722015D20172201412设函数f（x

4、）是定义在区间（，0）上的可导函数，其导函数为f（x），且满足xf（x）+f（x）x，则不等式（x+2016）f（x+2016）+2f（2）0的解集为（）A（x|2014x0B（x|x2018C（x|x2016D（x|2016x2014二、填空题（每题5分）13已知不等式x2x0的解集为a，b，则x（x1）dx=_14i是虚数单位，复数的虚部为_15已知向量，满足|=4，在方向上的投影是，则=_16平行四边形ABCD中， =0，沿BD将四边形折成直二面角ABDC，且2|2+|2=8，则三棱锥ABCD的外接球的表面积为_三、解答题17在等比数列an中，公比q1，等差数列bn满足b1=a1=3，b

5、4=a2，b13=a3（1）求数列an与bn的通项公式；（2）记cn=（1）nbn+an，求数列cn的前n项和Sn182016年1月1日起全国统一实施全面二孩政策，为了解适龄民众对放开生育二孩政策的态度，某市选取70后和80后作为调查对象，随机调查了100位，得到数据如表：生二胎不生二胎合计 70后 30 1545 80后 45 1055 合计 75 25100（1）根据调查数据，是否有95%以上的把握认为“生二胎与年龄有关”，并说明理由；（2）以这100个人的样本数据估计该市的总体数据，且以频率估计概率，若从该市70后公民中随机抽取3位，记其中生二胎的人数为X，求随机变量X的分布列及数

6、学期望和方差参考数据：P（K2k） 0.15 0.10 0.05 0.25 0.010 0.005 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.879（参考公式：K2=，其中n=a+b+c+d）19如图，四边形ABCD是矩形，AB=1，AD=，E是AD的中点，BE与AC交于点F，GF平面ABCD（1）求证：AF平面BEG；（2）若AF=FG，求直线EG与平面ABG所成的角的正弦值20已知椭圆+=1（ab0）上一点与它的左、右两个焦点F1，F2的距离之和为2，且它的离心率与双曲线x2y2=2的离心率互为倒数（1）求椭圆的方程；（2）如图，点A为椭圆上一动点（非长轴端点），A

7、F1的延长线与椭圆交于点B，AO的延长线与椭圆交于点C当直线AB的斜率存在时，求证：直线AB与BC的斜率之积为定值；求ABC面积的最大值，并求此时直线AB的方程21已知函数f（x）=lnxa（x1），g（x）=ex，（1）（）g（x）x+1 （）设h（x）=f（x+1）+g（x），当x0，h（x）1时，求实数a的取值范围；（2）当a0时，过原点分别做曲线y=f（x）与y=g（x）的切线l1、l2，已知两切线的斜率互为倒数，证明：a选修4-1：几何证明选讲|22如图，等腰梯形ABDC内接于圆，过B作腰AC的平行线BE交圆于F，过A点的切线交DC的延长线于P，PC=ED=1，PA=2（）求AC的长

9、MN=CMNDMN【考点】集合的包含关系判断及应用【分析】先把集合M，N解出来，然后判断即可【解答】解：M=x|x23x+20=x|1x2，N=x|22x8=x|1x3，MN，故选D2已知a，b都是实数，那么“”是“lnalnb”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】根据充分必要条件的定义，结合对数函数的性质，从而得到答案【解答】解：lnalnbab0，是必要条件，而，如a=1，b=0则lnalnb不成立，不是充分条件，故选：B3若x，y满足，则z=|y2x|的最大值为（）A8B6C4D1【考点】简单线性规划【分

10、析】由约束条件作出可行域，令t=y2x，化为y=2x+t，由线性规划知识求出t的取值范围，则z=|y2x|的最大值可求【解答】解：由约束条件作出可行域如图，令t=y2x，化为y=2x+t，由图可知，当直线y=2x+t过A（2，0）时，t有最大值为4，当直线y=2x+t过B（4，0）时，t有最小值为8z=|y2x|的最大值为|8|=8故选：A4根据如图所示程序框图，若输入m=42，n=30，则输出m的值为（）A0B3C6D12【考点】程序框图【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量m的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案【解答】解：第一次

11、执行循环体后，r=12，m=30，n=12，不满足退出循环的条件；第二次执行循环体后，r=6，m=12，n=6，不满足退出循环的条件；第三次执行循环体后，r=0，m=6，n=0，满足退出循环的条件；故输出的m值为6，故选：C；5若双曲线x2+2my2=1的两条渐近线互相垂直，则其一个焦点为（）A（0，1）B（1，0）C（0，）D（，0）【考点】双曲线的简单性质【分析】求出双曲线的渐近线方程，由两直线垂直的条件，可得m，再求解双曲线的焦点坐标【解答】解：双曲线C：x2+2my2=1（m0），可得渐近线方程为y=x，由渐近线垂直可得=1，解得m=，即双曲线方程为x2y2=1，可得焦点为（，0）故选

12、：D6某班对一模考试数学成绩进行分析，利用随机数表法抽取样本时，先将70个同学按00，01，02，69进行编号，然后从随机数表第9行第9列的数开始向右读，则选出的第10个样本中第8个样本的编号是（）（注：如表为随机数表的第8行和第9行）63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 7933 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54A07B44C38D51【考点】简单随机抽样【分析】根据题意，写出

13、从随机数表选出的10个样本数中第8个样本的编号即可【解答】解：70个同学按00，01，02，69进行编号，从随机数表第9行第9列的数开始向右读，选出的第10个样本数分别是29，（78舍去），64，56，07，（82舍去），52，42，（07舍去），44，38，15，51；第8个样本的编号是38故选：C7将函数的图象向左平移个单位得到y=g（x）的图象，若对满足|f（x1）g（x2）|=2的x1、x2，|x1x2|min=，则的值是（）ABCD【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换【分析】先求得g（x）的解析式，根据题意可得两个函数的最大值与最小值的差为2时，|x1x2|min=不妨设 x1

14、=，此时 x2 =检验求得的值【解答】解：将函数的图象向左平移个单位得到y=g（x）=sin2（x+）+=sin（2x+2+）的图象，对满足|f（x1）g（x2）|=2的x1、x2，|x1x2|min=，即两个函数的最大值与最小值的差为2时，|x1x2|min=不妨设 x1=，此时 x2 =若 x1=，x2 =+=，则g（x2）=1，sin2=1，=若 x1=，x2 =，则g（x2）=1，sin2=1，=，不合题意，故选：B8（1x）3（1）3展开式中的常数项是（）A20B6C15D20【考点】二项式定理的应用【分析】把（1x）3（1）3 按照二项式定理展开，可得它的开式中的通项常数项【解答】

15、解：（1x）3（1）3=（+（x）+（x）2+（x）3）（+（）+，故它的开式中的通项常数项为1+33+33+1=20，故选：A9一个三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的四个面的面积中最大的是（）ABC4D3【考点】由三视图求面积、体积【分析】由三视图可知：该几何体如图所示，利用三角形面积计算公式分别计算出，经过比较即可得出结论【解答】解：由三视图可知：该几何体如图所示，=3，SABC=2=则该三棱锥的四个面的面积中最大的是D1AC故选：A10在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对边的边长，若cosA+sinA=0，则的值是（）A2BCD1【考点】正弦定理【分析】在ABC中，cosA+s

16、inA=0，展开利用和差公式可得cos（AC）+sin（A+C）=2，因此只有cos（AC）=sin（A+C）=1，求出角，再利用正弦定理即可得出【解答】解：在ABC中，cosA+sinA=0，（cosA+sinA）（cosC+sinC）=2，展开可得cosAcosC+sinCcosA+sinAcosC+sinAsinC=2，即cos（AC）+sin（A+C）=2，又cos（AC）1且sin（A+C）1，故只有cos（AC）=sin（A+C）=1，AC=0，A+C=，A=C=，B=，由正弦定理可得=故选：C11以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的详解九章算术一书中的“杨辉三角形”该表

17、由若干行数字组成，第一行共有2016个数字，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数为（）A201622015B201622014C201722015D201722014【考点】数列递推式【分析】由题意，数表的每一行都是等差数列，且第一行公差为1，第二行公差为2，第三行公差为4，第2015行公差为22014，可得：第n行的第一个数为：（n+1）2n2，即可得出【解答】解：由题意，数表的每一行都是等差数列，且第一行公差为1，第二行公差为2，第三行公差为4，第2015行公差为22014，故第1行的第一个数为：221，第2行的第一个数为：320，第3行的第

18、一个数为：421，第n行的第一个数为：（n+1）2n2，第2016行只有M，则M=（1+2016）22014=201722014，故选：D12设函数f（x）是定义在区间（，0）上的可导函数，其导函数为f（x），且满足xf（x）+f（x）x，则不等式（x+2016）f（x+2016）+2f（2）0的解集为（）A（x|2014x0B（x|x2018C（x|x2016D（x|2016x2014【考点】利用导数研究函数的单调性；函数的单调性与导数的关系【分析】根据条件，构造函数，利用函数的单调性和导数之间的关系，将不等式进行转化即可得到结论【解答】解：由f（x）+xf（x）x，x0，即xf（x）x0，

19、令F（x）=xf（x），则当x0时，F（x）0，即F（x）在（，0）上是减函数，F（x+2016）=（x+2016）f（x+2014），F（2）=（2）f（2），F（x+2016）F（2）0，F（x）在（，0）是减函数，由F（x+2014）F（2）得，x+20162，即x2018故选B二、填空题（每题5分）13已知不等式x2x0的解集为a，b，则x（x1）dx=【考点】定积分【分析】先求解不等式得其解集，然后借助于微积分基本定理求解定积分【解答】解：由x2x0，得：0x1，不等式x2x0的解集为a，b，a=0，b=1，x（x1）dx=（x（x1）dx=（）|=，故答案为：14i是虚数单位，复数

21、棱锥ABCD的外接球的直径为AC，进而根据2|2+|2=8，求出三棱锥ABCD的外接球的半径，可得三棱锥ABCD的外接球的表面积【解答】解：平行四边形ABCD中，=0ABBD，沿BD折成直二面角ABDC，平面ABD平面BDC三棱锥ABCD的外接球的直径为AC，AC2=AB2+BD2+CD2=2AB2+BD2=8外接球的半径为，故表面积是8故答案为：8三、解答题17在等比数列an中，公比q1，等差数列bn满足b1=a1=3，b4=a2，b13=a3（1）求数列an与bn的通项公式；（2）记cn=（1）nbn+an，求数列cn的前n项和Sn【考点】等差数列与等比数列的综合；数列的求和【分析】（）设

22、等比数列an的公比为q（q1），等差数列bn的公差为d，根据b1=a1，b4=a2，b13=a3及等差、等比数列的通项公式列关于q，d的方程组解出即得q，d，再代入通项公式即可；（）由（）知，Sn=c1+c2+cn=（3+5）+（7+9）+（1）n1（2n1）+（1）n（2n+1）+3+32+3n，分n为奇数、偶数两种情况讨论即可；【解答】解：（）设等比数列an的公比为q（q1），等差数列bn的公差为d由已知得：，b1=3，b4=3+3d，b13=3+12d，所以或 q=1（舍去），所以，此时 d=2，所以，bn=2n+1；（）由题意得：，Sn=c1+c2+cn=（3+5）+（7+9）+（

23、1）n1（2n1）+（1）n（2n+1）+3+32+3n，当n为偶数时，当n为奇数时，所以，182016年1月1日起全国统一实施全面二孩政策，为了解适龄民众对放开生育二孩政策的态度，某市选取70后和80后作为调查对象，随机调查了100位，得到数据如表：生二胎不生二胎合计 70后 30 1545 80后 45 1055 合计 75 25100（1）根据调查数据，是否有95%以上的把握认为“生二胎与年龄有关”，并说明理由；（2）以这100个人的样本数据估计该市的总体数据，且以频率估计概率，若从该市70后公民中随机抽取3位，记其中生二胎的人数为X，求随机变量X的分布列及数学期望和方差参考数据：

24、P（K2k） 0.15 0.10 0.05 0.25 0.010 0.005 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.879（参考公式：K2=，其中n=a+b+c+d）【考点】独立性检验的应用【分析】（1）根据列联表中的数据，计算K2的值，即可得到结论；（2）X可能取值为0，1，2，3，XB（3，），求出相应的概率，可得X的分布列及数学期望和方差【解答】解：（1）由题意，K2=3.0303.841，所以没有95%以上的把握认为“生二胎与年龄有关”；（2）由已知得该市70后“生二胎”的概率为=，且XB（3，），P（X=0）=C30（）3=，P（X=1）=C31（）（）2

25、=，P（X=2）=C32（）2（）=，P（X=3）=C32（）3=，其分布列如下：X0123PE（X）=3=2，D（X）=3=19如图，四边形ABCD是矩形，AB=1，AD=，E是AD的中点，BE与AC交于点F，GF平面ABCD（1）求证：AF平面BEG；（2）若AF=FG，求直线EG与平面ABG所成的角的正弦值【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定【分析】（1）推导出AEFCBF，从而AE=，AC=，进而得到ACBE，ACGF，由此能证明AF平面BEG（2）以点F为原点，FA、FE、FG所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线EG与平面ABG所成的角

26、的正弦值【解答】证明：（1）四边形ABCD为矩形，AEFCBF，又矩形ABCD中，AB=1，AD=，AE=，AC=，在RtBEA中，BE=，AF=，BD=，在ABF中，AF2+BF2=（）2+（）2=1=AB2，AFB=90，ACBE，GF平面ABCD，AC平面ABCD，ACGF，又BEGF=F，BE，GF平面BCE，AF平面BEG解：（2）由（1）得AD、BE、FG两两垂直，以点F为原点，FA、FE、FG所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则A（，0，0），B（0，0），G（0，0，），E（0，0）， =（0，），设=（x，y，z）是平面ABG的法向量，则，取，得=（），设直

27、线EG与平面ABG所成角的大小为，则sin=，直线EG与平面ABG所成的角的正弦值为20已知椭圆+=1（ab0）上一点与它的左、右两个焦点F1，F2的距离之和为2，且它的离心率与双曲线x2y2=2的离心率互为倒数（1）求椭圆的方程；（2）如图，点A为椭圆上一动点（非长轴端点），AF1的延长线与椭圆交于点B，AO的延长线与椭圆交于点C当直线AB的斜率存在时，求证：直线AB与BC的斜率之积为定值；求ABC面积的最大值，并求此时直线AB的方程【考点】椭圆的简单性质【分析】（1）易知2a=2，e=，从而解得；（2）设A（xA，yA），B（xB，yB），则C（xA，yA），从而设直线BA的方程为y=k（

28、x+1），联立方程化简（2k2+1）x2+4k2x+2k22=0，从而可得xA+xB=，yA+yB=k，从而证明分情况讨论以分别确定ABC的面积的取值范围，从而解得【解答】解：（1）由椭圆的定义知2a=2，双曲线x2y2=2的离心率为，故椭圆+=1的离心率e=，故a=，c=1，b=1；故椭圆的方程为+y2=1；（2）证明：设A（xA，yA），B（xB，yB），则C（xA，yA），设直线BA的方程为y=k（x+1），联立方程化简得，（2k2+1）x2+4k2x+2k22=0，xA+xB=，yA+yB=k（xA+xB）+2k=k（+2）=k，kABkBC=k=；当直线AB的斜率不存在时，可知A（1

29、，），B（1，），C（1，），故SABC=，当直线AB的斜率存在时，由知，xA+xB=，xAxB=，故|xAxB|=，故|AB|=|xAxB|=，点C到直线AB的距离d=，故SABC=（）=2=2，故ABC面积的最大值为，此时AB的方程为x+1=021已知函数f（x）=lnxa（x1），g（x）=ex，（1）（）g（x）x+1 （）设h（x）=f（x+1）+g（x），当x0，h（x）1时，求实数a的取值范围；（2）当a0时，过原点分别做曲线y=f（x）与y=g（x）的切线l1、l2，已知两切线的斜率互为倒数，证明：a【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性【分析】（）求

30、得g（x）x1的导数，求得单调区间和极小值，可得最小值，即可得证；（）（1）利用导数处理函数的最值和不等式的恒成立求参数的范围问题，求导过程中用到了exx+1这个结论，注意讨论a的范围；（2）背景为指数函数y=ex与对数函数y=lnx关于直线y=x对称的特征，得到过原点的切线也关于直线y=x对称，利用导函数研究曲线的切线及结合方程有解零点存在定理的应该用求参数的问题，得到不等式的证明【解答】解：（）g（x）x1=exx1，g（x）=ex1，当x0时，g（x）0，g（x）递增；当x0时，g（x）0，g（x）递减则x=0处取得极小值，且为最小值0，即有g（x）x+1：（）（1）h（x）=f（x+1

31、）+g（x）=ln（x+1）ax+ex，h（x）=ex+a当a2时，因为exx+1，所以h（x）=ex+ax+1+a2a0，h（x）在0，+）上递增，h（x）h（0）=1恒成立，符合题意；当a2时，因为h（x）=ex=0，所以h（x）在0，+）上递增，且h（0）=2a0，则存在x0（0，+），使得h（0）=0所以h（x）在（0，x0）上递减，在（x0，+）上递增，又h（x0）h（0）=1，所以h（x）1不恒成立，综合可知，所求实数a的取值范围是（，2；（2）证明：设切线l2的方程为y=k2x，切点为（x2，y2），则y2=ex2，k2=g（x2）=ex2=，所以x2=1，y2=e，则k2=ex

32、2=e由题意知，切线l1的斜率为k1=，l1的方程为y=k1x=x设l1与曲线y=f（x）的切点为（x1，y1），则k1=f（x1）=a=，所以y1=1ax1，a=又因为y1=lnx1a（x11），消去y1和a后，整理得lnx11+=0 令m（x）=lnx1+=0，则m（x）=，m（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+）上单调递增若x1（0，1），因为m（）=2+e0，m（1）=0，所以x1（，1），而a=在x1（，1）上单调递减，所以a若x1（1，+），因为m（x）在（1，+）上单调递增，且m（e）=0，则x1=e，所以a=0（舍去）综上可知，a选修4-1：几何证明选讲|22如图，等腰梯形

33、ABDC内接于圆，过B作腰AC的平行线BE交圆于F，过A点的切线交DC的延长线于P，PC=ED=1，PA=2（）求AC的长；（）求证：BE=EF【考点】与圆有关的比例线段【分析】（I）由PA是圆的切线结合切割线定理得比例关系，求得PD，再由角相等得三角形相似：PACCBA，从而求得AC的长；（II）欲求证：“BE=EF”，可先分别求出它们的值，比较即可，求解时可结合圆中相交弦的乘积关系【解答】解：（I）PA2=PCPD，PA=2，PC=1，PD=4，又PC=ED=1，CE=2，PAC=CBA，PCA=CAB，PACCBA，AC2=PCAB=2，证明：（II），CE=2，而CEED=BEEF，E

34、F=BE 选修4-4：坐标系与参数方程|23直线l的参数方程为（t为参数），曲线C：=1，（1）写出直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；（2）点P（1，2）为直线l上一点，设曲线C经过伸缩变换得到曲线C，若直线l与曲线C相交于A，B两点，求+的值【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程【分析】（1）直线l的参数方程为（t为参数），消去参数t可得直角坐标方程由曲线C：=1，利用2=x2+y2可得直角坐标方程（2）由伸缩变换得到，代入曲线C可得曲线C：+（y）2=1把直线l的参数方程代入可得：13t2+x+42=0，利用根与系数的关系可得+=+=【解答】解：（1）直线l的参数方程为（

35、t为参数），消去参数t可得： xy+2=0，由曲线C：=1，可得直角坐标方程：x2+y2=1（2）由伸缩变换得到，代入曲线C可得曲线C：+（y）2=1故曲线C的方程为： =1把直线l的参数方程代入可得：13t2+x+42=0，t1+t2=，t1t2=4+=+=选修4-5：不等式选讲|24已知函数f（x）=|x3|x+2|（1）若不等式f（x）|m1|有解，求实数m的最小值M；（2）在（1）的条件下，若正数a，b满足3a+b=M，证明： +3【考点】绝对值三角不等式【分析】（1）由条件利用绝对值的意义求得f（x）的最小值，从而求得实数m的最小值M（2）由题意可得即 =1，故有 +=+=+，再利用基本不等式证得+3【解答】解：函数f（x）=|x3|x+2|表述数轴上的x的对应点到3对应点的距离减去它到2对应点的距离，它的最小值为5，最大值为5，（1）若不等式f（x）|m1|有解，则5|m1|，即5m15，求得4m6，故实数m的最小值M=4（2）在（1）的条件下，若正数a，b满足3a+b=M=4，即 =1，+=+=+2+3=+2=3，即 +32016年9月28日

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