1、第2节均值不等式及其应用最新考纲1.了解均值不等式的证明过程；2.会用均值不等式解决简单的最大(小)值问题.知 识 梳 理1.均值不等式：(1)均值不等式成立的条件：a0，b0.(2)等号成立的条件：当且仅当ab时取等号.(3)其中称为正数a，b的算术平均数，称为正数a，b的几何平均数.2.两个重要的不等式(1)a2b22ab(a，bR)，当且仅当ab时取等号.(2)ab(a，bR)，当且仅当ab时取等号.3.利用均值不等式求最值已知x0，y0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当xy时，xy有最小值是2(简记：积定和最小).(2)如果和xy是定值s，那么当且仅当xy时，xy有最大值是(简
2、记：和定积最大).常用结论与微点提醒1.2(a，b同号)，当且仅当ab时取等号.2.ab.3.(a0，b0).4.连续使用均值不等式求最值要求每次等号成立的条件一致.诊 断 自 测1.思考辨析(在括号内打“”或“”)(1)两个不等式a2b22ab与成立的条件是相同的.()(2)函数yx的最小值是2.()(3)函数f(x)sin x的最小值为4.()(4)x0且y0是2的充要条件.()解析(1)不等式a2b22ab成立的条件是a，bR；不等式成立的条件是a0，b0.(2)函数yx值域是(，22，)，没有最小值.(3)函数f(x)sin x的最小值为5.(4)x0且y0是2的充分不必要条件.答案(
3、1)(2)(3)(4)2.设x0，y0，且xy18，则xy的最大值为()A.80 B.77 C.81 D.82解析xy81，当且仅当xy9时取等号.答案C3.若函数f(x)x(x2)在xa处取最小值，则a等于()A.1 B.1 C.3 D.4解析当x2时，x20，f(x)(x2)2224，当且仅当x2(x2)，即x3时取等号，即当f(x)取得最小值时，即a3.答案C4.(2017山东卷)若直线1(a0，b0)过点(1，2)，则2ab的最小值为_.解析由题设可得1，a0，b0，2ab(2ab)22428.故2ab的最小值为8.答案85.(教材习题改编)一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形
4、菜园，墙长18 m，则这个矩形的长为_m，宽为_m时菜园面积最大.解析 设矩形的长为x m，宽为y m.则x2y30，所以Sxyx(2y)，当且仅当x2y，即x15，y时取等号.答案15考点一配凑法求最值【例1】 (1)若x，则f(x)4x2的最大值为_；(2)函数y的最大值为_.解析(1)因为x，所以54x0，则f(x)4x2323231.当且仅当54x，即x1时，等号成立.故f(x)4x2的最大值为1.(2)令t0，则xt21，所以y.当t0，即x1时，y0；当t0，即x1时，y，因为t24(当且仅当t2时取等号)，所以y，即y的最大值为(当t2，即x5时y取得最大值).答案(1)1(2)
5、规律方法1.应用均值不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”.所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用均值不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件.2.在利用均值不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用均值不等式.【训练1】 (1)(2018湖北重点中学一联)若对x1，不等式x1a恒成立，则实数a的取值范围是_.(2)函数y(x1)的最小值为_.解析(1)因为函数f(x)x1在1，)上单调递增，所以函数g(x)x12在0，)上单调递增，所以函数g(x)在1，)的最小值为g(1)，因此对x1不等式x1a恒成立，所以ag(
6、x)最小值，故实数a的取值范围是.(2)y(x1)222.当且仅当x1，即x1时，等号成立.答案(1)(2)22考点二常数代换或消元法求最值(易错警示)【例2】 (1)(一题多解)若正数x，y满足x3y5xy，则3x4y的最小值为_；(2)(一题多解)已知x0，y0，x3yxy9，则x3y的最小值为_.解析(1)法一由x3y5xy可得1，3x4y(3x4y)5(当且仅当，即x1，y时，等号成立)，3x4y的最小值是5.法二由x3y5xy，得x，x0，y0，y，3x4y4y4y425，当且仅当y时等号成立，(3x4y)min5.(2)由已知得x.法一(消元法)因为x0，y0，所以0y3，所以x3
7、y3y3(y1)6266，当且仅当3(y1)，即y1，x3时，(x3y)min6.法二x0，y0，9(x3y)xyx(3y)，当且仅当x3y时等号成立.设x3yt0，则t212t1080，(t6)(t18)0，又t0，t6.故当x3，y1时，(x3y)min6.答案(1)5(2)6规律方法条件最值的求解通常有三种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用均值不等式求解最值；三是对条件使用均值不等式，建立所求目标函数的不等式求解.易错警示(1)利用均值不等式求最值，一定要注意应用
8、条件；(2)尽量避免多次使用均值不等式，若必须多次使用，一定要保证等号成立的条件一致.【训练2】 (1)已知x，y均为正实数，且，则xy的最小值为()A.24 B.32 C.20 D.28(2)(2018石家庄质检)已知直线l：axbyab0(a0，b0)经过点(2，3)，则ab的最小值为_.解析(1)x，y均为正实数，且，则xy(x2y2)46(x2y2)4646420，当且仅当xy10时取等号.xy的最小值为20.故选C.(2)因为直线l经过点(2，3)，所以2a3bab0，所以b0，所以a30，所以abaa355252，当且仅当a3，即a3，b2时等号成立.答案(1)C(2)52考点三均
9、值不等式在实际问题中的应用【例3】 运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50x100(单位：千米/时).假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油升，司机的工资是每小时14元.(1)求这次行车总费用y关于x的表达式；(2)当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值.解(1)设所用时间为t(h)，y214，x50，100.所以，这次行车总费用y关于x的表达式是yx，x50，100(或yx，x50，100).(2)yx26，当且仅当x，即x18时等号成立.故当x18千米/时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为26元.规律方法1.设变量时一般要把求最大值或最小
10、值的变量定义为函数.2.根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用均值不等式求得函数的最值.3.在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)求解.【训练3】 2016年11月3日20点43分我国长征五号运载火箭在海南文昌发射中心成功发射，它被公认为我国已从航天大国向航天强国迈进的重要标志.长征五号运载火箭的设计生产采用了很多新技术新材料，甲工厂承担了某种材料的生产，并以x千克/时的速度匀速生产(为保证质量要求1x10)，每小时可消耗A材料kx29千克，已知每小时生产1千克该产品时，消耗A材料10千克.(1)设生产m千克该产品，消耗A材料y千克，试把y表示为x的函数.(
11、2)要使生产1 000千克该产品消耗的A材料最少，工厂应选取何种生产速度？并求消耗的A材料最少为多少？解(1)由题意，得k910，即k1，生产m千克该产品需要的时间是，所以y(kx29)m，x1，10.(2)由(1)知，生产1 000千克该产品消耗的A材料为y1 0001 00026 000，当且仅当x，即x3时，等号成立，且31，10.故工厂应选取3千克/时的生产速度，消耗的A材料最少，最少为6 000千克.基础巩固题组(建议用时：30分钟)一、选择题1.下列不等式一定成立的是()A.lglg x(x0)B.sin x2(xk，kZ)C.x212|x|(xR)D.1(xR)解析当x0时，x2
12、2xx，所以lglg x(x0)，故选项A不正确；运用均值不等式时需保证“一正”“二定”“三相等”，当xk，kZ时，sin x的正负不定，故选项B不正确；显然选项C正确；当x0时，有1，选项D不正确.答案C2.若2x2y1，则xy的取值范围是()A.0，2 B.2，0C.2，) D.(，2解析22x2y1，所以2xy，所以xy2.答案D3.(2018济南一模)若对于任意的x0，不等式a恒成立，则实数a的取值范围为()A. B.C. D.解析由x0，得，当且仅当x1时，等号成立，则a.答案A4.若a0，b0，且ab4，则下列不等式恒成立的是()A. B.1C.2 D.a2b28解析4ab2(当且
13、仅当ab时，等号成立)，即2，ab4，选项A，C不成立；1，选项B不成立；a2b2(ab)22ab162ab8，选项D成立.答案D5.若a，b都是正数，则的最小值为()A.7 B.8 C.9 D.10解析a，b都是正数，5529，当且仅当b2a0时取等号.答案C6.若正数x，y满足4x29y23xy30，则xy的最大值是()A. B. C.2 D.解析由x0，y0，得4x29y23xy2(2x)(3y)3xy(当且仅当2x3y时等号成立)，12xy3xy30，即xy2，xy的最大值为2.答案C7.已知x0，y0且4xyx2y4，则xy的最小值为()A. B.2 C. D.2解析x0，y0，x2
14、y2，4xy(x2y)4xy2，44xy2，则(2)(1)0，2，xy2.答案D8.(2018郑州质检)已知a，b(0，)，且ab5，则ab的取值范围是()A.1，4 B.2，)C.(2，4) D.(4，)解析因为ab(ab)5，又a，b(0，)，所以ab，当且仅当ab时，等号成立，即(ab)25(ab)40，解得1ab4.答案A二、填空题9.正数a，b满足abab3，则ab的取值范围是_.解析a，b是正数，abab323，解得3，即ab9.答案9，)10.(2017天津卷)若a，bR，ab0，则的最小值为_.解析a，bR，ab0，4ab24，当且仅当即时取得等号.答案411.已知函数f(x)
15、(aR)，若对于任意的xN+，f(x)3恒成立，则a的取值范围是_.解析对任意xN+，f(x)3，即 3恒成立，即a3.设g(x)x，xN+，则g(x)x4，当x2时等号成立，又g(2)6，g(3)，g(4)6.g(2)g(3)，g(x)min.3，a，故a的取值范围是.答案12.(2018成都诊断)某工厂需要建造一个仓库，根据市场调研分析，运费与工厂和仓库之间的距离成正比，仓储费与工厂和仓库之间的距离成反比，当工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费为5万元，当工厂和仓库之间的距离为_千米时，运费与仓储费之和最小，最小为_万元.解析设工厂和仓库之间的距离为x千米，运费为y1万元
16、，仓储费为y2万元，则y1k1x(k10)，y2(k20)，工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费用为5万元，k15，k220，运费与仓储费之和为万元，5x220，当且仅当5x，即x2时，运费与仓储费之和最小，为20万元.答案220能力提升题组(建议用时：15分钟)13.(2018西安模拟)若ABC的内角满足sin Asin B2sin C，则cos C的最小值是()A. B. C. D.解析由正弦定理，得ab2c.所以cos C.当且仅当3a22b2，即ab时，等号成立.所以cos C的最小值为.答案A14.(2018安徽江南十校联考)已知数列an满足an1an(n1)cos
17、(n2，nN+)，Sn是数列an的前n项和，若S2 017m1 010，且a1m0，则的最小值为()A.2 B. C.2 D.2解析由an1an(n1)cos(n2，nN+)得，a3a23，a4a30，a5a45，a6a50，a7a67，a8a70，a9a89，a10a90，a2a3a4a5a6a7a8a9a2 014a2 015a2 016a2 0172，S2 017504(a2a3a4a5)a11 008a1，又S2 017m1 010，a1m2，(a1m)2，即的最小值为2.答案A15.(2018潍坊调研)设x，y满足约束条件若目标函数zabxy(a0，b0)的最大值为35，则ab的最小值为_.解析可行域如图所示，当直线abxyz(a0，b0)过点B(2，3)时，z取最大值2ab3.于是有2ab335，ab16.所以ab28，当且仅当ab4时等号成立，所以(ab)min8.答案816.正数a，b满足1，若不等式abx24x18m对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是_.解析因为a0，b0，1，所以ab(ab)1010216.由题意，得16x24x18m，即x24x2m对任意实数x恒成立，又x24x2(x2)26的最小值为6，所以6m，即m6.答案6，)
