1、中档题专练(四) 1.(2019徐州高三考前模拟检测)在ABC中,已知AC=3,cos B=714,A=3.(1)求AB的长;(2)求cosC-6的值.2.(2019如皋一模)如图,四棱锥P-ABCD中,底面为直角梯形,ADBC,AD=2BC,且BAD=BPA=90,平面APB底面ABCD,点M为PD的中点.求证:(1)CM平面PAB;(2)PBPD.3.(2018南京、盐城高三年级第二次模拟考试)调查某地居民每年到商场购物次数m与商场面积S、到商场距离d的关系,得到关系式m=kSd2(k为常数,k0),如图,某投资者计划在与商场A相距10 km的新区新建商场B,且商场B的面积与商场A的面积之
2、比为(01).记“每年居民到商场A购物的次数”与“每年居民到商场B购物的次数”分别为m1、m2,称满足m1b0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P(3,1)在椭圆上,PF1F2的面积为22.(1)求椭圆C的标准方程;若F1QF2=3,求QF1QF2的值.(2)直线y=x+k与椭圆C相交于A,B两点,若以AB为直径的圆经过坐标原点,求实数k的值.答案精解精析1.解析(1)在ABC中,因为cos B=714,所以0B2,所以sin B=1-cos2B=32114,又因为A+B+C=,所以sin C=sin-(A+B)=sin(A+B)=sinB+3=sin Bcos3+cos Bsin3=217,
3、由正弦定理得,ABsinC=ACsinB,所以AB=ACsinBsin C=2.(2)因为A+B+C=,所以cos C=cos-(A+B)=-cos(A+B)=-cosB+3=sin Bsin3-cos Bcos3=277,所以cosC-6=cos Ccos6+sin Csin6=32114. 2.证明(1)取AP的中点H,连接BH,HM,如图,因为H,M分别为AP,DP的中点,所以HM=12AD且HMAD.因为ADBC且AD=2BC,所以HM=BC且HMBC,所以四边形BCMH为平行四边形,所以CMBH.因为CM平面PAB,BH平面PAB,所以CM平面PAB.(2)因为BAD=90,所以BA
4、AD.因为平面APB平面ABCD,AD平面ABCD,平面APB平面ABCD=AB,所以AD平面APB.因为PB平面PAB,所以PBAD.因为BPA=90,所以PBPA.因为PAAD=A,PA,AD平面PAD,所以PB平面PAD.因为PD平面PAD,所以PBPD.3.解析设商场A、B的面积分别为S1 km2、S2 km2,点P到A、B的距离分别为d1 km、d2 km,则S2=S1(00.(1)在PAB中,AB=10,PA=15,PAB=60,由余弦定理,得d22=PB2=AB2+PA2-2ABPAcos 60=102+152-2101512=175.又d12=PA2=225,则m1-m2=kS
5、1d12-kS2d22=kS1d12-kS1d22=kS11d12-d22,将=12,d12=225,d22=175代入,得m1-m2=kS11225-1350.因为kS10,所以m1m2,即居住在P点处的居民不在商场B相对于A的“更强吸引区域”内.(2)以A为原点,AB所在直线为x轴,建立如图所示的平面直角坐标系,则A(0,0),B(10,0),设P(x,y),由m1m2得kS1d12kS2d22,将S2=S1代入,得d22d12.代入坐标,得(x-10)2+y2(x2+y2),化简得(1-)x2+(1-)y2-20x+1000,配方得x-101-2+y2101-2,所以商场B相对于A的“更强吸引区域”是圆心为C101-,0,半径为r1=101- km的圆的内部,与商场B相距2 km以内的区域(含边界)是以B(10,0)为圆心,r2=2 km为半径的圆的内部及圆周.由题设知圆B内含于圆C,即BC|r1-r2|.因为01,所以101-10101-2,整理得4-5+10,解得1160,满足条件,因此k=6.