1、2简谐运动的描述1知道振幅、周期和频率的概念，知道全振动的含义。2了解初相和相位差的概念以及相位的物理意义。3了解简谐运动表达式中各量的物理意义，能依据简谐运动的表达式描绘振动图像。 知识点一简谐运动的振幅、周期和频率情境导学图甲所示为一个水平弹簧振子，图乙所示为振子振动过程运动范围。请思考：(1)图乙中的“10 cm”有什么意义？用什么量描述其意义？(2)图乙中振子从O向B开始振动，用对应字母描述出一次全振动？其对应的时间用什么量描述？提示：(1)图乙中的“10 cm”是振子离开平衡位置的最大距离，即振动位移的最大值，用振幅描述其意义。(2)振子从O向B开始振动，经历OBOCO即为一次全振动
2、，其对应的时间为一个周期。知识梳理1振幅(1)定义：振动物体离开平衡位置的最大距离。(2)物理意义：表示物体振动幅度大小的物理量。(3)符号和单位：符号为A，单位为。2周期和频率(1)全振动：振动物体从经过某一位置开始到第二次以相同的速度通过该位置所经历的过程，叫作一次全振动。注意：无论以哪个位置作为研究起点，做简谐运动的物体完成一次全振动的时间总是相同的。(2)周期：做简谐运动的物体完成一次全振动所需要的时间，用符号T表示，单位为。(3)频率：周期的倒数叫作振动频率，数值等于单位时间内完成全振动的次数，用f表示频率，单位是赫兹，符号是Hz。(4)简谐运动的“圆频率”：与周期成反比、与频率成正
3、比的量，叫作简谐运动的“圆频率”。表示简谐运动的快慢。(5)与周期(T)和频率(f)关系：2f。初试小题1判断正误。(1)振幅就是指振子的位移。()(2)振幅就是指振子的路程。()(3)振子从离开某位置到重新回到该位置的过程为一次全振动。()(4)振子完成一次全振动的路程等于振幅的4倍。()2.如图所示，弹簧振子以O为平衡位置，在BC间做简谐运动，已知OD间距离为5 cm，从ODC的时间为0.2 s，则下列判断错误的是()A从COBOC为一次全振动B从DCOBOD为一次全振动C弹簧振子的振幅为5 cmD弹簧振子的频率为1.25 Hz解析：选C根据全振动的定义可知，从COBOC 为一次全振动，从
4、DCOBOD为一次全振动，A、B选项正确；由题意知振幅应大于5 cm，C错误；周期应为0.8 s，频率为1.25 Hz，D正确。知识点二简谐运动的相位及表达式知识梳理1简谐运动的位移表达式：xAsin(t0)或xAsin。2表达式中各量的意义(1)x表示振动物体在t时刻的位移。(2)A表示物体做简谐运动的振幅。(3)t0表示简谐运动的相位，0是t0时的相位，称为初相位或初相。3相位差(1)意义：两个具有相同频率的简谐运动的相位之差。(2)表达式：如果两个简谐运动的频率相同，其初相分别是1和2，当12时，它们的相位差是(t1)(t2)12。说明：表示1的相位比2超前，或者说2的相位比1落后。初试
5、小题1判断正误。(1)位移表达式为x0.1sin(t)cm的物体做简谐运动的振动周期T2 s。()(2)表示物体振动的快慢，越大，振动周期T越小、频率f也越小。()(3)若物体振动的初相，则t0时，物体在正向最大位移处。()(4)相位差为零的两个物体振动步调始终一致。()2物体A做简谐运动的振动位移xA3sinm，物体B做简谐运动的振动位移xB5sinm。比较A、B的运动()A振幅是矢量，A的振幅是6 m，B的振幅是10 mB周期是标量，A、B周期相等，为100 sCA振动的圆频率A等于B振动的圆频率BDB的相位始终超前A的相位解析：选C振幅是标量，A、B的振幅分别是3 m、5 m，A错；A、
6、B的圆频率 100 rad/s，周期T s6.28102 s，B错，C对；A0B0为定值，A的相位超前，B的相位，D错。对描述简谐运动的物理量及其关系的理解问题探究如图所示为一个水平弹簧振子，振动周期为T，振幅为A，O点为简谐运动的平衡位置，B、C点为振动的最大位移处，tODtDC，E点与D点关于O点对称。请思考：(1)振子经历DCDOBOD过程的时间是多少？通过的路程是多少？位移是多少？(2)振子经历COB过程的时间是多少？通过的路程是多少？位移是多少？(3)振子经历CO、OB过程的时间分别是多少？通过的分别路程是多少？位移分别是多少？(4)振子经历DCD、DOE过程的时间分别是多少？通过的
7、分别路程是多少？位移分别是多少？提示：(1)时间tT，路程s4A，位移x0。(2)时间tT，路程s2A，位移x2A。(3)两个过程的各量都相同：时间tT，路程sA，位移xA。(4)DCD过程：时间tT，路程sA，位移x0。DOE过程：时间tT，路程sA，位移x0。要点归纳1对全振动的理解正确理解全振动的概念，应注意把握振动的五种特征。(1)振动特征：一个完整的振动过程。(2)物理量特征：位移(x)、加速度(a)、速度(v)三者第一次同时与初始状态相同。(3)时间特征：历时一个周期。(4)路程特征：振幅的4倍。(5)相位特征：增加2。2简谐运动中振幅和几个常见量的关系(1)振幅与位移的关系：振动
8、中的位移是矢量，振幅是标量，在数值上，振幅与某一时刻位移的大小可能相等，但在同一简谐运动中振幅是确定的，而位移随时间做周期性的变化。(2)振幅与路程的关系：振动中的路程是标量，是随时间不断增大的。tT时，s4A(tnT时，sn4A)；tT时，s2A；tT时，可能有sA、sA、sA。(3)振幅与周期的关系：在简谐运动中，一个确定的振动系统的周期(或频率)是固定的，与振幅无关。例题1如图所示，弹簧振子在B、C间振动，O为平衡位置，BOOC5 cm。若振子从B到C的运动时间是1 s，则下列说法中正确的是()A振子从B经O到C完成一次全振动B振动周期是1 s，振幅是10 cmC经过两次全振动，振子通过
9、的路程是20 cmD从B开始经过3 s，振子通过的路程是30 cm解析振子从B经O到C只完成半次全振动，再回到B才算完成一次全振动，完成一次全振动的时间为一个周期，故T2 s，A、B错误；经过一次全振动，振子通过的路程是4倍振幅，故经过两次全振动，振子通过的路程是40 cm，C错误；从B开始经过3 s，振子通过的路程是30 cm，D正确。答案D振动物体路程的计算方法先判断所求振动过程的时间t与周期T的倍数关系，再依据下列情况求路程：(1)物体在一个周期内通过的路程一定为s4A；在n个周期内通过的路程必为n4A。(2)物体在半个周期内通过的路程一定为s2A。(3)物体在内通过的路程可能为sA、s
10、A、sA。注意：只有当初始时刻在平衡位置或最大位移处时，内通过的路程才为sA。 针对训练1一个做简谐运动的弹簧振子，周期为T，振幅为A，已知振子从平衡位置第一次运动到x处所用的最短时间为t1，从最大正位移处第一次运动到x所用的最短时间为t2，那么t1与t2的大小关系正确的是()At1t2Bt1t2D无法判断解析：选B根据振子远离平衡位置时速度减小，靠近平衡位置时速度增大，可知振子从平衡位置第一次以最短时间运动到xA处的平均速度大于从最大正位移处第一次运动到 xA处的平均速度，而路程相等，则t1t2，故A、C、D错误，B正确。2一个做简谐运动的质点，它的振幅是4 cm，频率是2.5 Hz，该质点
11、从平衡位置开始经过2.9 s后，位移的大小和经过的路程分别为()A010 cmB4 cm100 cmC028 cmD4 cm116 cm解析：选D振子的振动周期为T s0.4 s，时间t2.9 s7T，所以由平衡位置开始振动，经2.9 s振子到达最大位移处，其位移大小为xA4 cm，在2.9 s内振子通过的路程为s74A116 cm，A、B、C错误，D正确。简谐运动的振动图像的理解及应用要点归纳由振动图像(x t图像)可以获得的信息(1)由图像可以直接读取振幅A。(2)由图像可以直接读取周期T，进而求出频率f。(3)由图像可知质点在不同时刻的位移。(4)图像上某一点的斜率表示该时刻的瞬时速度：
12、斜率的绝对值表示速度的大小，斜率的正负表示速度的方向。例如：图中t1时刻质点的速度比t2时刻质点的速度小，t1时刻速度方向为负，t2时刻速度方向也为负。(5)由图像可以比较不同时刻质点加速度的大小和方向：位移越大处对应的加速度越大，反之则越小；位移为正处对应的加速度为负方向，位移为负处对应的加速度为正方向。例如：图中t1时刻振动的位移x1为正，则加速度a1为负，t2时刻x2为负，则加速度a2为正，又因为|x1|x2|，所以|a1|a2|。(6)由图像可以看出质点在不同时刻之间的相位差。例题2一质点做简谐运动，其相对平衡位置的位移x随时间t变化的图像如图所示，由此可知()A质点振动的振幅是2 c
13、mB质点振动的频率是4 HzCt2 s时质点的速度为零Dt5 s时质点的加速度为零解析由题图可知，振幅A2 cm，周期T4 s，频率f 0.25 Hz，A正确，B错误；t2 s时质点在平衡位置，速度最大，t3 s时质点到达负方向最大位移处，可判断t2 s时质点在沿负方向运动，C错误；t5 s时质点在最高点，离平衡位置最远，加速度最大，D错误。答案A简谐运动的振动图像的应用技巧(1)判断位移大小和方向：判断任意时刻的位移大小看图像中纵坐标值的大小；判断位移方向看纵坐标值的正负即可。(2)判断加速度大小和方向：判断任意时刻的加速度的大小看位移大小；判断加速度的方向看位移的正负即可。(3)判断速度大
14、小和方向：判断速度大小看图线斜率的大小，判断速度的方向看图线斜率的正负即可。 针对训练1.一个质点做简谐运动的图像如图所示，下列叙述中正确的是()A在t1 s和t3 s两时刻，质点位移大小相等、方向相同B在10 s内质点经过的路程为20 cmC在5 s末，质点做简谐运动的相位为Dt1.5 s和t4.5 s两时刻质点的位移大小相等，都是1 cm解析：选B1 s时质点位于正向最大位移处，3 s时质点处于负向最大位移处，位移方向相反，故A错误；一个周期内质点做简谐运动经过的路程是4A8 cm,10 s为2.5个周期，则质点经过的路程为20 cm，故B正确；由题图知位移与时间的关系为xAsin(t0)
15、0.02sinm，当t5 s时，其相位t05，故C错误；在1.5 s和4.5 s两时刻，质点位移相同，xAsin 135A cm，故D错误。2.一质点做简谐运动，其位移时间图像如图所示，由图像可知()At1 s时，质点速度为正的最大值，加速度为零Bt2 s时，质点速度为零，加速度为负的最大值Ct3 s时，质点速度为正的最大值，加速度为零Dt4 s时，质点速度为零，加速度为正的最大值解析：选Ct1 s时，质点位移为零，加速度为零，速度最大，图像斜率为负，即速度为负，选项A错误；t2 s时，质点位移为负的最大值，加速度为正的最大值，速度为零，选项B错误；t3 s时，质点位移为零，加速度为零，速度最
16、大，图像斜率为正，即速度为正，选项C正确；t4 s时，质点位移为正的最大值，加速度为负的最大值，速度为零，选项D错误。简谐运动表达式的理解及应用要点归纳1简谐运动的表达式xAsin(t0)中各物理量的意义(1)x：表示振动质点相对于平衡位置的位移。(2)A：表示振幅，描述简谐运动振动的强弱。(3)：圆频率，它与周期、频率的关系为2f。可见、T、f相当于一个量，描述的都是振动的快慢。(4)t0：表示相位，描述做周期性运动的物体在各个不同时刻所处的不同状态，是描述不同振动的振动步调的物理量。它是一个随时间变化的量，相当于一个角度，相位每增加2，意味着物体完成了一次全振动。(5)0：表示t0时振动质
17、点所处的状态，称为初相位或初相。2相位差的含义(1)相位差：某一时刻的相位之差。(2)设A、B两物体简谐运动的表达式分别为：x1A1sin(t1)，x2A2sin(t2)它们的相位差为(t2)(t1)21。可见，其相位差恰好等于它们的初相之差，因为初相是确定的，所以频率相同的两个简谐运动有确定的相位差。若210，则称B的相位比A的相位超前或A的相位比B的相位落后；若210，则称B的相位比A的相位落后|或A的相位比B的相位超前|。 例题3一弹簧振子的位移x随时间t变化的关系式为x0.1sin，位移x的单位为m，时间t的单位为 s。则弹簧振子的周期为_ s；弹簧振子的振动初相位为_；在t0.4 s
18、时，振子的位移为_m，振子的加速度是_(填最大或最小)。在t0.4 s到t0.6 s时间段内振子的动能_(填“增大”或“减小”)。解析由x0.1sin，可得2.5，则周期T0.8 s。由x0.1sin，可得初相位为 。t0.4 s时，位移x0.1sinm0.1 m。根据x0.1sin，振子是从正向最大位移处开始振动，当t0.4 s振子振动了半个周期，振子振动到了负向最大位移，所以加速度达到了最大值。从t0.4 s到t0.6 s振子是从最大位移向平衡位置振动，速度逐渐增大，振子的动能逐渐增大。答案0.80.1最大增大用简谐运动表达式解答振动问题的方法(1)明确表达式中各物理量的意义，可直接读出振
19、幅、圆频率、初相位。(2)2f是解题时常用关系。(3)有时解题时画出其振动图像，会使解答过程简捷、明了。 针对训练1某质点做简谐运动，其位移与时间的关系式为x3sincm，则()A质点的振幅为3 cmB质点振动的周期为 sC质点振动的周期为 sDt0.75 s时刻，质点在负的最大位移处解析：选A由x3sincm可知，A3 cm，则T3 s，A正确，B、C错误；将t0.75 s代入表达式中可得x0，故t0.75 s时，质点回到平衡位置， D错误。2一物体沿x轴做简谐运动，振幅为12 cm，周期为2 s。当t0时，位移为6 cm，且向x轴正方向运动，求：(1)初相位；(2)t0.5 s时物体的位置
20、。解析：(1)设简谐运动的表达式为xAsin(t)，A12 cm，T2 s，t0时，x6 cm。代入上式得，6 cm12sin(0)cm解得sin ，或。因这时物体向x轴正方向运动，故应取，即其初相位为。(2)由上述结果可得xAsin(t)12sincm，所以x12sincm12sin cm6 cm。答案：(1)(2)6 cm处简谐运动的多解问题1周期性造成的多解问题(1)若t2t1nT，n1,2,3，则t1、t2两时刻振动物体一定在同一位置，描述运动的物理量(x、a、v)均相同。(2)若t2t1nTT，n0,1,2,3，则t1、t2两时刻振动物体的位置一定关于平衡位置对称，描述运动的物理量(
21、x、a、v)均大小相等，方向相反。(3)若t2t1nTT或t2t1nTT，n0,1,2,3，则当t1时刻物体到达最大位移处时，t2时刻物体一定到达平衡位置；当t1时刻物体在平衡位置时，t2时刻物体一定到达最大位移处；当t1时刻物体在其他位置时，t2时刻物体到达何处没有确定的位置判断，只能视具体情况而定。2对称性造成的多解问题(1)状态量的对称性：当振动物体通过关于平衡位置对称的两个位置时，则物体的位移、加速度的大小一定相等，方向一定相反；物体的速度大小一定相等，方向可能相同、也可能相反。物体的动能、势能、机械能一定相等。(2)时间的对称性：振动物体来回通过相同的两点间的时间一定相等，如图所示t
22、BCtCB；振动物体经过关于平衡位置对称的等长的两线段的时间一定相等，如图所示tBCtBC。示例弹簧振子以O点为平衡位置做简谐运动，从振子通过O点时开始计时，振子第一次到达M点用了0.3 s，又经过0.2 s第二次通过M点，则振子第三次通过M点还要经过的时间可能是()A sB sC1.5 sD1.6 s解析假设弹簧振子在水平方向BC之间振动，如图1，若振子开始先向左振动，振子的振动周期为T20.2 s4 s s，则振子第三次通过M点还要经过的时间是t0.2 s4 s s。如图2，若振子开始先向右振动，振子的振动周期为T4s1.6 s，则振子第三次通过M点还要经过的时间是t1.6 s0.2 s1
23、.4 s，A正确。答案A求解这类问题，要认真分析题意，画出振子运动的过程示意图，防止漏解，也可画出振子的x t图像，根据图像分析求解。 拓展训练1一振子沿x轴做简谐运动，平衡位置在坐标原点。t0时振子的位移为0.1 m，t 1 s时位移为0.1 m，则()A若振幅为0.1 m，振子的周期可能为 sB若振幅为0.1 m，振子的周期可能为 sC若振幅为0.2 m，振子的周期可能为4 sD若振幅为0.2 m，振子的周期可能为6 s解析：选D若振幅为0.1 m，则tnT(n0,1，2，)。当n0时，T2 s；n 1时，T s；n2时，T s。故选项A、B错误。若振幅为0.2 m，振动分两种情况讨论：振
24、子振动如图甲所示，则振子由C点振动到D点用时至少为，周期最大为2 s。振子振动如图乙中实线所示。由xAsin(t)知t0时，Asin ，即振子由C点振动到O点用时至少为，由简谐运动的对称性可知，振子由C点振动到D点用时至少为，则T最大为6 s；若振子振动如图乙中虚线所示，振子由C点振动到D点，则周期最大为2 s。综上所述C错误，D正确。2一水平弹簧振子做简谐运动，周期为T，则()A若t时刻和(tt)时刻振子运动位移的大小相等、方向相同，则t一定等于T的整数倍B若t时刻和(tt)时刻振子运动位移的大小相等、方向相反，则t一定等于的整数倍C若tT，则在t时刻和(tt)时刻振子振动的加速度一定相等D
25、若t，则在t时刻和(tt)时刻弹簧的长度一定相等解析：选C如图所示，图中的a、b、c三点位移大小相等、方向相同，显然t不等于T的整数倍，故选项A是错误的；图中的a、d两点的位移大小相等、方向相反，t，故选项B是错误的；在相隔一个周期T的两个时刻，振子只能位于同一位置，其位移相同，合外力相同，加速度必相等，选项C是正确的；相隔的两个时刻，振子的位移大小相等，方向相反，其位置关于平衡位置对称，弹簧分别处于压缩和拉伸状态，弹簧的长度并不相等，选项D是错误的。1如图是一做简谐运动的物体的振动图像，下列说法错误的是()A振动周期是2102 sB物体振动的频率为25 HzC物体振动的振幅为10 cmD在6
26、102 s内物体通过的路程是60 cm解析：选A由振动图像可知周期是4102 s，故A项错误；又f，所以f25 Hz，故B项正确；位移的最大值为振幅A10 cm，故C项正确；t6102 s1 T，所以物体通过的路程为4A2A6A60 cm，故D项正确。2一弹簧振子沿x轴做简谐运动，平衡位置在坐标原点，t0时刻振子的位移x 0.1 m；t1.2 s时刻振子刚好第2次经过x0.1 m的位置且速度为零。下列有关该振子的运动问题的说法正确的是()A振幅为0.1 mB周期为1.2 sC1.2 s内的路程是1.6 mDt0.6 s时刻的位移为0.1 m解析：选At1.2 s时刻振子处在正向最大位移处，得t
27、0时刻在负向最大位移处，则振幅为0.1 m，A正确；由于是第二次到正向最大位移处，所以1.5T1.2 s，可得T0.8 s， B错误；一个周期经过的路程是4个振幅，1.2 s内的路程为6A，即0.6 m，C错误；0.6 s 为T，t0.6 s时刻振子位于平衡位置，位移为零，D错误。3物体做简谐运动，振幅为0.4 cm，周期为0.5 s，计时开始时具有正向最大加速度，它的位移公式是()Ax4103sinmBx4103sinmCx4103sinmDx4103sinm解析：选B由题意，t0时，振子具有正向最大加速度，说明此时振子的位移是负向最大，在简谐振动的位移公式xAsin(t0)中，有0， ra
28、d/s4 rad/s，故位移公式为x0.4sincm4103sinm，故选B。4一个质点以O为中心做简谐运动，位移随时间变化的图像如图所示。a、b、c、d表示质点在不同时刻的相应位置，且b、d关于平衡位置对称，则下列说法正确的是()A质点做简谐运动的方程为xAsinB质点在位置b与位置d时速度大小相同，方向不同C质点从位置a到c和从位置b到d所用时间相等D质点从位置a到b和从b到c的平均速度相等解析：选C根据图像可得周期T8 s，故“圆频率”，简谐运动方程为xAsin，故A错误；由振动图像可知，质点在位置b与位置d时速度大小相同，方向相同，选项B错误；质点从位置a到c和从位置b到d所用的时间相等，均为2 s，故C正确；质点从位置a到b和从b到c的过程中时间相同但位移大小不同，故平均速度不同，故D错误。
