1、课时跟踪检测（四十八） 抛物线(一)普通高中适用作业A级基础小题练熟练快1已知抛物线x22py(p0)的准线经过点(1，1)，则抛物线的焦点坐标为()A(0,1)B(0,2)C(1,0) D(2,0)解析：选A由抛物线x22py(p0)的准线为y1，得p2，故所求抛物线的焦点坐标为(0,1)2已知AB是抛物线y22x的一条焦点弦，|AB|4，则AB中点C的横坐标是()A2 B.C. D.解析：选C设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|x1x2p4，又p1，所以x1x23，所以点C的横坐标是.3设抛物线C：y24x的焦点为F，准线l与x轴的交点为A，过抛物线C上一点P作准线l的垂线，垂
2、足为Q.若QAF的面积为2，则点P的坐标为()A(1,2)或(1，2) B(1,4)或(1，4)C(1,2) D(1,4)解析：选A设点P的坐标为(x0，y0)因为QAF的面积为2，所以2|y0|2，即|y0|2，所以x01，所以点P的坐标为(1,2)或(1，2)4已知点F是抛物线y2x的焦点，A，B是该抛物线上的两点若|AF|BF|3，则线段AB的中点到y轴的距离为()A. B.C. D1解析：选B设A(xA，yA)，B(xB，yB)，则|AF|BF|xAxBxAxBp3，则AB的中点C到y轴的距离d.5已知点A(0,2)，抛物线C1：y2ax(a0)的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M
3、，与其准线相交于点N.若|FM|MN|1，则a的值为()A. B.C1 D4解析：选D依题意，点F的坐标为，设点M在准线上的射影为K，由抛物线的定义知|MF|MK|，|KM|MN|1，则|KN|KM|21.kFN，kFN2，2，解得a4.6已知抛物线y24x的焦点为F，过焦点F的直线交抛物线于A，B两点，O为坐标原点若AOB的面积为4，则|AB|()A6 B8C12 D16解析：选D设A，B，F(1,0)当ABx轴时，|AB|4，SAOB|OF|AB|2，不成立，所以y1y24.由AOB的面积为4，得|y1y2|14，所以yy56，因此|AB|x1x2p216.7已知点P在抛物线y24x上，且
4、点P到y轴的距离与其到焦点的距离之比为，则点P到x轴的距离为_解析：设点P的坐标为(xP，yP)，抛物线y24x的准线方程为x1，根据抛物线的定义，点P到焦点的距离等于点P到准线的距离，故，解得xP1，所以y4，所以|yP|2.答案：28一个顶点在原点，另外两点在抛物线y22x上的正三角形的面积为_解析：如图，根据抛物线的对称性得AOx30.直线OA的方程yx，代入y22x，得x26x0，解得x0或x6.即得A的坐标为(6,2)|AB|4，正三角形OAB的面积为4612.答案：129已知抛物线y24x，过焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，过A，B分别作y轴的垂线，垂足分别为C，D，则|AC|
5、BD|的最小值为_解析：由题意知F(1,0)，|AC|BD|AF|FB|2|AB|2，即|AC|BD|取得最小值时当且仅当|AB|取得最小值依抛物线定义知当|AB|为通径，即|AB|2p4时为最小值，所以|AC|BD|的最小值为2.答案：210已知抛物线y24x的焦点为F，过点F作一条直线交抛物线于A，B两点若|AF|3，则|BF|_.解析：设A(xA，yA)，B(xB，yB)，点A在第一象限，则|AF|xA13，所以xA2，yA2，所以直线AB的斜率为k2.则直线AB的方程为y2(x1)，与抛物线方程联立整理得2x25x20，xAxB，所以xB，所以|BF|xB1.答案：B级中档题目练通抓牢
6、1已知抛物线C：y28x的焦点为F，P是抛物线C的准线上一点，且P的纵坐标为正数，Q是直线PF与抛物线C的一个交点若|PQ|QF|，则直线PF的方程为()Axy20 Bxy20Cxy20 Dxy20解析：选B如图，过点Q作QMl于点M.|QF|等于点Q到准线的距离|QM|，|PQ|QM|，PQM45，PFO45，直线PF的倾斜角为135，即斜率k1，直线PF的方程为y01(x2)，即xy20.2已知点P是抛物线y22x上的动点，点P在y轴上的射影是M，点A，则|PA|PM|的最小值是()A. B4C. D5解析：选C设抛物线y22x的焦点为F，则|PF|PM|，|PM|PF|.|PA|PM|P
7、A|PF|.将x代入抛物线方程y22x，得y.4，点A在抛物线的外部当P，A，F三点共线时，|PA|PF|有最小值F，|AF| 5.|PA|PM|有最小值5.3.如图，过抛物线y22px(p0)的焦点F的直线依次交抛物线及其准线于点A，B，C，若|BC|2|BF|，且|AF|3，则抛物线的方程为()Ay2xBy23xCy2x Dy29x解析：选B如图，分别过点A，B作准线的垂线，交准线于点E，D，设|BF|a，则|BC|2a，由抛物线的定义得，|BD|a，故BCD30，在直角三角形ACE中，因为|AE|AF|3，|AC|33a，2|AE|AC|，所以633a，从而得a1，因为BDFG，所以.即
8、，解得p，因此抛物线方程为y23x.4(2017山东高考)在平面直角坐标系xOy中，双曲线1(a0，b0)的右支与焦点为F的抛物线x22py(p0)交于A，B两点若|AF|BF|4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为_解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线的定义可知|AF|y1，|BF|y2，|OF|，由|AF|BF|y1y2y1y2p4|OF|2p，得y1y2p.联立消去x，得a2y22pb2ya2b20，所以y1y2，所以p，即，故，所以双曲线的渐近线方程为yx.答案：yx5已知直线ya交抛物线yx2于A，B两点若该抛物线上存在点C，使得ACB为直角，则实数a的取值范围为_解析
9、：如图，设C(x0，x)(xa)，A(，a)，B(，a)，则(x0，ax)，(x0，ax)CACB，0，即(ax)(ax)20，(ax)(1ax)0.xa10，a1.答案：1，)6已知抛物线y22px(p0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5，过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M.(1)求抛物线的方程；(2)若过M作MNFA，垂足为N，求点N的坐标解：(1)抛物线y22px的准线为x，于是45，p2.抛物线方程为y24x.(2)点A的坐标是(4,4)，由题意得B(0,4)，M(0,2)又F(1,0)，kFA，MNFA，kMN.FA的方程
10、为y(x1)，MN的方程为y2x，联立，解得x，y，N的坐标为.7.如图所示，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P(1,2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上(1)写出该抛物线的方程及其准线方程(2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y1y2的值及直线AB的斜率解：(1)由已知条件，可设抛物线的方程为y22px(p0)因为点P(1,2)在抛物线上，所以222p1，解得p2.故所求抛物线的方程是y24x，准线方程是x1.(2)设直线PA的斜率为kPA，直线PB的斜率为kPB.则kPA(x11)，kPB(x21)，因为PA与PB的斜率存在且倾斜角互补，所以kPAkPB.
11、由A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上，得所以，所以y12(y22)所以y1y24.由得，yy4(x1x2)，所以kAB1(x1x2)C级重难题目自主选做1过抛物线y24x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，分别过A，B两点作准线的垂线，垂足分别为A，B两点，以线段AB为直径的圆C过点E(2,3)，则圆C的方程为()A(x1)2(y2)22B(x1)2(y1)25C(x1)2(y1)217D(x1)2(y2)226解析：选B设直线AB的方程为x1ty.由得y24ty40.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A(1，y1)，B(1，y2)y1y24t，y1y24.又以AB为直径的圆
12、C过点E(2,3)，(1,3y1)，(1,3y2)，1(3y1)(3y2)0，即y1y23(y1y2)10412t100，解得t.y1y22，圆C的圆心为(1,1)半径R.圆C的方程为(x1)2(y1)25.2(2018武汉调研)已知直线yk(x2)与抛物线：y2x相交于A，B两点，M是线段AB的中点，过M作y轴的垂线交于点N.(1)证明：抛物线在点N处的切线与直线AB平行；(2)是否存在实数k使0？若存在，求k的值；若不存在，请说明理由解：(1)证明：由消去y并整理，得2k2x2(8k21)x8k20.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x24，xM，yMk(xM2)k.由题设条件可知，yNyM，xN2y，N.设抛物线在点N处的切线l的方程为ym，将x2y2代入上式，得2my2y0.直线l与抛物线相切，142m0，mk，即lAB.(2)假设存在实数k，使0，则NANB.M是AB的中点，|MN|AB|.由(1)，得|AB|x1x2|.MNy轴，|MN|xMxN|.，解得k.故存在k，使0.