1、第四节直线与圆、圆与圆的位置关系考纲传真1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系.2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.3.初步了解用代数方法处理几何问题的思想1直线与圆的位置关系(1)三种位置关系：相交、相切、相离(2)两种研究方法：2圆与圆的位置关系设圆O1：(xa1)2(yb1)2r(r10)，圆O2：(xa2)2(yb2)2r(r20)位置关系几何法：圆心距d与r1，r2的关系代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况外离dr1r2无解外切dr1r2一组实数解相交|r1r2|dr1r2两组不同的实数解内切d|r1r2|(r1r2)
2、一组实数解内含0d|r1r2|(r1r2)无解1. 圆的切线方程常用结论(1)过圆x2y2r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0xy0yr2.(2)过圆(xa)2(yb)2r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0a)(xa)(y0b)(yb)r2.(3)过圆x2y2r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0xy0yr2.2圆与圆的位置关系的常用结论(1)两圆的位置关系与公切线的条数：内含：0条；内切：1条；相交：2条；外切：3条；外离：4条(2)当两圆相交时，两圆方程(x2，y2项系数相同)相减便可得公共弦所在直线的方程基础自测1(思考辨析)判断下列结
3、论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)“k1”是“直线xyk0与圆x2y21相交”的必要不充分条件( )(2)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切( )(3)如果两圆的圆心距小于两半径之和，则两圆相交( )(4)若两圆相交，则两圆方程相减消去二次项后得到的二元一次方程是公共弦所在直线的方程( )(5)过圆O：x2y2r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程是x0xy0yr2.( )答案(1)(2)(3)(4)(5)2直线xy10与圆(x1)2y21的位置关系是( )A相切B直线过圆心C直线不过圆心，但与圆相交D相离B依题意知圆心为(1,0)，到直线xy10的距离d0，所
4、以直线过圆心3(教材改编)圆(x2)2y24与圆(x2)2(y1)29的位置关系为( )A内切 B相交 C外切 D相离B两圆圆心分别为(2,0)，(2,1)，半径分别为2和3，圆心距d. 32d32，两圆相交4已知直线l：yk(x)和圆C：x2(y1)21，若直线l与圆C相切，则k( )A0 B. C.或0 D.或0D因为直线l与圆C相切，所以圆心C到直线l的距离d1，解得k0或k，故选D.5直线x2y0被圆C：x2y26x2y150所截得的弦长等于_4由已知圆心C(3,1)，半径r5.又圆心C到直线l的距离d，则弦长24.直线与圆的位置关系1. 若直线xmy2m与圆x2y22x2y10相交，
5、则实数m的取值范围为( )A(，) B(，0)C(0，) D(，0)(0，)D圆的标准方程为(x1)2(y1)21，圆心C(1,1)，半径r1.因为直线与圆相交，所以d0或m0.故选D.2圆x2y22x4y0与直线2txy22t0(tR)的位置关系为( )A相离 B相切C相交 D以上都有可能C直线2txy22t0恒过点(1，2)，12(2)2214(2)50，点(1，2)在圆x2y22x4y0内，直线2txy22t0与圆x2y22x4y0相交，故选C.3圆(x3)2(y3)29上到直线3x4y110的距离等于1的点的个数为( )A1 B2 C3 D4C如图所示，因为圆心到直线的距离为2，又因为
6、圆的半径为3，所以直线与圆相交，故圆上到直线的距离为1的点有3个规律方法判断直线与圆的位置关系的常见方法(1)几何法：利用d与r的关系.(2)代数法：联立方程之后利用判断.(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交.,上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题.圆与圆的位置关系【例1】已知圆C1：(xa)2(y2)24与圆C2：(xb)2(y2)21相外切，则ab的最大值为( )A. B. C. D2C由圆C1与圆C2相外切，可得213，即(ab)29，根据基本(均值)不等式可知ab2，当且仅当ab时等号成立故选C.拓展探究把本例中的“外切”变
7、为“内切”，求ab的最大值解由C1与C2内切得1.即(ab)21，又ab2，当且仅当ab时等号成立，故ab的最大值为.规律方法判断圆与圆的位置关系时，一般用几何法，其步骤是(1)确定两圆的圆心坐标和半径长；(2)利用平面内两点间的距离公式求出圆心距d和r1r2，|r1r2|的值；(3)比较d，r1r2，|r1r2|的大小，写出结论. 已知两圆C1：x2y22x6y10和C2：x2y210x12y450.(1)求证：圆C1和圆C2相交；(2)求圆C1和圆C2的公共弦所在直线的方程和公共弦长解(1)证明：圆C1的圆心为C1(1,3)，半径r1，圆C2的圆心为C2(5,6)，半径r24，两圆圆心距d
8、|C1C2|5，r1r24，|r1r2|4，|r1r2|dr1r2，圆C1和C2相交(2)圆C1和圆C2的方程左、右两边分别相减，得4x3y230，两圆的公共弦所在直线的方程为4x3y230.圆心C2(5,6)到直线4x3y230的距离3，故公共弦长为22.直线与圆的综合问题考法1圆的切线问题【例2】(1)已知圆的方程为x2y21，则在y轴上截距为的切线方程为( )AyxByxCyx或yxDx1或yx(2)(2019惠州第一次调研)过点A(3,4)作圆C：(x2)2(y3)22的切线l，则切线l的方程为_(1)C(2)xy70(1)在y轴上截距为且斜率不存在的直线显然不是切线，故设切线方程为y
9、kx，则1，所以k1，故所求切线方程为yx或yx.(2)设切线l的方程为ykxb，点A(3,4)在切线l上，故43kb.圆C：(x2)2(y3)22的圆心(2,3)到切线l的距离d，可得，解得k1，故b7，切线l的方程为xy70.考法2直线与圆相交的弦长问题【例3】(1)直线xy20与圆x2y24相交于A，B两点，则弦AB的长为_(2)设圆x2y22x2y20的圆心为C，直线l过(0,3)与圆C交于A，B两点，若|AB|2，则直线l的方程为( )A3x4y120或4x3y90B3x4y120或x0C4x3y90或x0D3x4y120或4x3y90(1)2(2)B(1)圆x2y24的圆心为点(0
10、,0)，半径r2，圆心到直线xy20的距离d1，弦长|AB|22.(2)当直线l的斜率不存在，即直线l的方程为x0时，弦长为2，符合题意；当直线l的斜率存在时，可设直线l的方程为ykx3，由弦长为2，半径为2可知，圆心到该直线的距离为1，从而有1，解得k，综上，直线l的方程为x0或3x4y120，选B.考法3直线、圆与相关知识的交汇【例4】(2015全国卷)已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C：(x2)2(y3)21交于M，N两点(1)求k的取值范围；(2)若12，其中O为坐标原点，求|MN|.解(1)由题设可知直线l的方程为ykx1.因为直线l与圆C交于两点，所以1，解得k.所以k的
11、取值范围为.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)将ykx1代入方程(x2)2(y3)21，整理得(1k2)x24(1k)x70.所以x1x2，x1x2.x1x2y1y2(1k2)x1x2k(x1x2)18.由题设可得812，解得k1，所以直线l的方程为yx1.故圆心C在直线l上，所以|MN|2.规律方法1圆的切线方程的两种求法(1)代数法：设切线方程为yy0k(xx0)，与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式0进而求得k.(2)几何法：设切线方程为yy0k(xx0)，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d，然后令dr，进而求出k.2弦长的两种求法(1)代数
12、方法：将直线和圆的方程联立方程组，消元后得到一个一元二次方程在判别式0的前提下，利用根与系数的关系，根据弦长公式求弦长(2)几何方法：若弦心距为d，圆的半径长为r，则弦长l2. (1)过点(3,1)作圆(x2)2(y2)24的弦，其中最短弦的长为_(2)若直线l：xym与曲线C：y有且只有两个公共点，则m的取值范围是_(1)2(2)1，)(1)设P(3,1)，圆心C(2,2)，则|PC|，半径r2，由题意知最短的弦过P(3,1)且与PC垂直，所以最短弦长为22.(2)画出图象如图，当直线l经过点A，B时，m1，此时直线l与曲线y有两个公共点，当直线l与曲线相切时，m，因此当1m时，直线l：xy
13、m与曲线y有且只有两个公共点1(2018全国卷)直线xy20分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x2)2y22上，则ABP面积的取值范围是( )A2,6 B4,8C，3 D2，3A由题意知圆心的坐标为(2,0)，半径r，圆心到直线xy20的距离d2，所以圆上的点到直线的最大距离是dr3，最小距离是dr.易知A(2,0)，B(0，2)，所以|AB|2，所以2SABP6.故选A.2(2018全国卷)直线yx1与圆x2y22y30交于A，B两点，则|AB|_.2由题意知圆的方程为x2(y1)24，所以圆心坐标为(0，1)，半径为2，则圆心到直线yx1的距离d，所以|AB|22.3(2016全国
14、卷)设直线yx2a与圆C：x2y22ay20相交于A，B两点，若|AB|2，则圆C的面积为_4圆C：x2y22ay20化为标准方程是C：x2(ya)2a22，所以圆心C(0，a)，半径r.|AB|2，点C到直线yx2a即xy2a0的距离d，由勾股定理得22a22，解得a22，所以r2，所以圆C的面积为224.4(2017全国卷)在直角坐标系xOy中，曲线yx2mx2与x轴交于A，B两点，点C的坐标为(0,1)当m变化时，解答下列问题：(1)能否出现ACBC的情况？说明理由；(2)证明过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值解(1)不能出现ACBC的情况理由如下：设A(x1,0)，B(x2,0)，则x1，x2满足x2mx20，所以x1x22.又点C的坐标为(0,1)，故AC的斜率与BC的斜率之积为，所以不能出现ACBC的情况(2)证明：BC的中点坐标为，可得BC的中垂线方程为yx2.由(1)可得x1x2m，所以AB的中垂线方程为x.联立又xmx220，可得所以过A，B，C三点的圆的圆心坐标为，半径r.故圆在y轴上截得的弦长为23，即过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值自我感悟：_