1、导数及其应用一、【考点分析】2010年江苏省高考说明中,导数及其应用属于必做题部分,其中导数的概念是A级要求,导数的几何意义,导数的运算,利用导数研究函数的单调性与极值,以及导数在实际问题中的应用是B级要求.导数与函数、数列、三角、不等式、解析几何等知识有着密切的联系,导数作为工具在研究函数的性质及在实际生活中有着广泛的应用, 导数是高中数学中与高等数学联系最密切的知识之一,所以备受高考命题老师的重视.二、【典例解析】【例题1】设直线是曲线的一条切线,则实数的值是 .【解析】本小题考查导数的几何意义、切线的求法 ,令 得,故切点,代入直线方程,得 【答案】【例题2】函数单调递增区间是 .【解析
2、】令.【答案】【例题3】设是函数的导函数,的图象如右图所示,则的图象最有可能的是 .(填图象序号) 【解析】 利用导函数的图像的零点,可以函数在及上单调递增,而在上单调递减从而只有图像符合要求【答案】【例题4】函数在时有极值,则的值分别为_ .【解析】由已知,得 即 解得,经检验:当时,不是极值点; 当时,符合题意.【答案】 【例题5】函数在上单调递增,则实数的最大值为 . 【解析】(方法1),由已知,得即在区间上恒成立., (方法2) 令,则把函数看成是函数,与函数的复合函数,在区间上单调递增,要使函数在上单调递增,只要在区间上单调递增即可.当且仅当, 即,【答案】【例题6】已知函数在与时都
3、取得极值,(1)求的值与函数的单调区间;(2)若对,不等式恒成立,求实数的取值范围.【解析】(1)由已知,得,即,解得 极大值极小值函数的单调递增区间是与,单调递减区间是.(2)由(1)得,在区间上, 由已知,得,解得 .故所求实数的取值范围为.【例题7】已知函数(1)求函数在上的最大值和最小值;(2)过点作曲线的切线,求此切线的方程.【解析】(1),令 ,解得 . 在上, .,. (2)设切点为,则所求切线方程为 切线过点,解得或 切线方程为即或. 【例题8】设函数,且函数在处取得一个极值.(1)求实数的值;(2)对于任意实数,恒成立,求实数的最大值;(3)若方程有且仅有一个实根,求实数的取
4、值范围【解析】(1),由已知,得,即,解得 .经检验:符合题意. 故所求实数的值为. (2) , (方法1)由已知,得,而, .实数的最大值为 (方法2) , 即 恒成立, ,解得,实数的最大值为(3) 当时, ;当时, ;当时, ; 当时,取得极大值 ; 当时,取得极小值 ; 当 或时, 方程有且仅有一个实根. 解得 或.实数的取值范围为.【例题9】从边长为的正方形铁片的四个角各截去一小块边为的正方形(如右图所示),再将四边向上折起,做成一个无盖的正四棱柱铁盒,要求正四棱柱的高度与底面正方形边长的比值不超过常数. 问:取何值时,容积有最大值【解析】依题意: , 解得.函数的定义域为. 若,即
5、,则由,解得当时, ;当时, .当时, 容积取得极大值,即为最大值,且. 若,即,则有知V在定义域上为单调递增函数.当时,答: 若,则当时, 容积有最大值;若,则当时, 容积有最大值.【例题10】已知函数,其中是自然常数,(1)讨论时, 函数的单调性、极值;(2)求证:在(1)的条件下,;(3)是否存在实数,使函数的最小值是3,若存在,求出的值;若不存在,说明理由.【解析】(1)时,, 当时,;当时,在区间上是单调递减函数;在区间上是单调递增函数. 取得极小值为(2)由(1)得 在上的最小值为1,令,当时,在上单调递增.在(1)的条件下, (3) 假设存在实数,使函数()有最小值3, 若,则,
6、 在上单调递减,由,得(不合题意,舍去) 若,即,则当时, ;当时, .在上单调递减,在上单调递增.,由,得符合题意.若,即,则在上单调递减,由,得(不合题意,舍去)综上所述: 存在实数,使得当时有最小值3.三、【巩固练习】【练习1】在平面直角坐标系中,点在曲线上,且在第二象限内,已知曲线在点处的切线的斜率为,则点的坐标为 【答案】【解析】设点的横坐标为,由知,又点在第二象限,所以【练习2】函数的单调减区间为 【答案】【解析】,由得单调减区间为【练习3】函数的定义域为开区间,导函数在内的图象如图所示,则函数在开区间内有极小值点 个.【答案】 【解析】由图可知:函数在开区间内只有1个极小值点.【
7、练习4】 已知函数,当时,有极大值, 则的值分别为 .【答案】【解析】当时,即解得. 经验证: 即为所求.【练习5】对正整数,设曲线在处的切线与轴交点的纵坐标为,则数列的前n项和的公式是 .【答案】 【解析】,曲线在处的切线的斜率为.切点为,切线方程为.令得 ,.数列的前项和为【练习6】已知,,是否存在实数,使同时满足下列两个条件:(1)在上是减函数,在上是增函数;(2)的最小值是,若存在,求出,若不存在,说明理由.【解析】设在上是减函数,在上是增函数在上是减函数,在上是增函数. 解得经检验,存在时,满足题设的两个条件.【练习7】设函数(),其中(1)当时,求曲线在点处的切线方程;(2)当时,
8、求函数的极大值和极小值;【解析】(1)当时,得,且,曲线在点处的切线方程是, 即(2)令,解得或由于,以下分两种情况讨论 若,当变化时,的正负如下表:因此,函数在处取得极小值,且;函数在处取得极大值,且 若,当变化时,的正负如下表:因此,函数在处取得极小值,且;函数在处取得极大值,且【练习8】设其导函数的图象经过点,(1)求函数的解析式和极值;(2)对都有恒成立,求实数的取值范围.【解析】(1),且的图像经过点是方程的根. 解得 .由的图象,可知函数在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增.函数有极小值函数有极大值(2)由(1)可知,对都有恒成立,即对,恒成立当时,显然成立; 当时,等价于,即
9、 而当,有,当且仅当,即时,上式取等号, 0. 所求实数的取值范围为.【练习9】甲、乙两个工厂,甲厂位于一直线河岸的岸边A处,乙厂与甲厂在河的同侧,乙厂位于离河岸40 km的B处,乙厂到河岸的垂足D与A相距50 km,两厂要在此岸边合建一个供水站C,从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元,问供水站C建在岸边何处才能使水管费用最省?【解析】 根据题意知,只有点C在线段AD上某一适当位置,才能使总运费最省,设C点距D点 km,则, 又设总的水管费用为元,依题意有: ,令,解得在上,只有一个极值点,根据实际问题的意义,函数在处取得最小值,此时AC=50x=20(km).答: 供水站建在A、D之间距甲厂20 km处,可使水管费用最省.【练习10】设,.(1)令,讨论在上的单调性,并求极值;(2)求证:当时,恒有.【解析】(1),,列表如下:20极小值在内是减函数,在内是增函数,在处取得极小值为(2)证明:由知,的极小值于是由上表知,对一切,恒有从而当时,恒有,故在内单调增加当时,即当时,恒有