1、第二节空间点、直线、平面之间的位置关系考纲传真1.理解空间直线、平面位置关系的定义.2.了解可以作为推理依据的公理和定理.3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题1平面的基本性质(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内(2)公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线(4)公理2的三个推论推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面2空间直线的位置关系(1)
2、位置关系的分类(2)异面直线所成的角定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线aa，bb，把a与b所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)范围：.(3)平行公理(公理4)和等角定理平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补3空间中直线与平面、平面与平面的位置关系(1)空间中直线与平面的位置关系位置关系图形表示符号表示公共点直线a在平面内a有无数个公共点直线在平面外直线a平面平行a没有公共点直线a与平面斜交aA有且只有一个公共点直线a与平面垂直a(2)空间中两个平面的位置关系位置关系图形表示符号表示公
3、共点两平面平行没有公共点两平面相交斜交l有一条公共直线垂直且a1异面直线的判定定理经过平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线2等角定理的引申(1)在等角定理中，若两角的两边平行且方向相同或相反，则这两个角相等(2)在等角定理中，若两角的两边平行且方向一个边相同，一个边相反，则这两个角互补基础自测1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)两个平面，有一个公共点A，就说，相交于过A点的任意一条直线( )(2)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面( )(3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合( )(4)若直线a不平行于平面，且a，则内的所有直线与a异
4、面( )答案(1)(2)(3)(4)2(教材改编)如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成的角的大小为( )A30 B45C60 D90C连接B1D1，D1C(图略)，则B1D1EF，故D1B1C为所求的角，又B1D1B1CD1C，D1B1C60.3(教材改编)下列命题正确的是( )A经过三点确定一个平面B经过一条直线和一个点确定一个平面C四边形确定一个平面D两两相交且不共点的三条直线确定一个平面D根据确定平面的公理和推论知选项D正确4已知空间四边形的两条对角线相互垂直，顺次连接四边中点的四边形 一定是( )A空间四边形 B矩形C菱
5、形 D正方形B四边形的相邻两边分别平行于空间四边形的两角对角线，故选B.5已知直线a，b分别在两个不同的平面，内，则“直线a和直线b相交”是“平面和平面相交”的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件A由题意知a，b，若a，b相交，则a，b有公共点，从而，有公共点，可得出，相交；反之，若，相交，则a，b的位置关系可能为平行、相交或异面因此“直线a和直线b相交”是“平面和平面相交”的充分不必要条件故选A.平面的基本性质【例1】(1)以下命题中，正确命题的个数是( )不共面的四点中，其中任意三点不共线；若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则A，B，C，D
6、，E共面；若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；依次首尾相接的四条线段必共面A0 B1 C2 D3B正确，可以用反证法证明，假设任意三点共线，则四个点必共面，与不共面的四点矛盾；中若点A，B，C在同一条直线上，则A，B，C，D，E不一定共面，故错误；中，直线b，c可能是异面直线，故错误；中，当四条线段构成空间四边形时，四条线段不共面，故错误(2)如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点求证：E，C，D1，F四点共面；CE，D1F，DA三线共点解如图，连接EF，CD1，A1B.E，F分别是AB，AA1的中点，EFBA1.又A1BD1C，EFCD1，E，
7、C，D1，F四点共面EFCD1，EFCD1，CE与D1F必相交，设交点为P，则由P直线CE，CE平面ABCD，得P平面ABCD.同理P平面ADD1A1.又平面ABCD平面ADD1A1DA，P直线DA，CE，D1F，DA三线共点规律方法共点、共线、共面问题的证明方法(1)证明点共线问题：公理法：先找出两个平面，然后证明这些点都是这两个平面的公共点，再根据基本公理3证明这些点都在交线上；同一法：选择其中两点确定一条直线，然后证明其余点也在该直线上.(2)证明线共点问题：先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过该点.(3)证明点、直线共面问题：纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内
8、；辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面，再证明其余元素确定平面，最后证明平面，重合. (1)如图是正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的一个图是 ( )A B C DD根据异面直线的判定定理，选项D中PS与QR是异面直线，则四点P，Q，R，S不共面故选D.(2)如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O为正方形ABCD的中心，H为直线B1D与平面ACD1的交点求证：D1，H，O三点共线证明如图，连接BD，B1D1，则BDACO，因为BB1綊DD1，所以四边形BB1D1D为平行四边形，又HB1D，B1D平面BB1D1D，则H平面BB1D1D，因为平面ACD1平面
9、BB1D1DOD1，所以HOD1.即D1，H，O三点共线空间两条直线的位置关系【例2】(1)已知a，b，c为三条不同的直线，且a平面，b平面，c，给出下列命题：若a与b是异面直线，则c至少与a，b中的一条相交；若a不垂直于c，则a与b一定不垂直；若ab，则必有ac.其中真命题有_(填序号)(2)在图中，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有_(填上所有正确答案的序号) (1)(2)(1)对于，若c与a，b都不相交，则ca，cb，从而ab，这与a与b是异面直线矛盾，故正确对于，a与b可能异面垂直，故错误对于，由ab可知a，又c，从而ac，故正确(
10、2)图中，直线GHMN；图中，G，H，N三点共面，但M平面GHN，因此直线GH与MN异面；图中，连接MG(图略)，GMHN，因此GH与MN共面；图中，G，M，N共面，但H平面GMN，因此GH与MN异面，所以在图中，GH与MN异面规律方法异面直线的判定方法(1)已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b( )A一定是异面直线 B一定是相交直线C不可能是平行直线 D不可能是相交直线(2)如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论：直线AM与CC1是相交直线；直线AM与BN是平行直线；直线BN与MB1是异面直线；直线AM与DD1是异面直
11、线其中正确的结论为_(把你认为正确的结论的序号都填上)(1)C(2)(1)c与b可能相交，也可能异面，但可不能平行，故选C.(2)根据两条异面直线的判定定理知，正确异面直线所成的角【例3】(1)(2018全国卷)在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为( )A. B.C. D.(2)如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB2，BC1，BB11，P是AB的中点，则异面直线BC1与PD所成的角等于( )A30 B45C60 D90(1)C(2)C(1)如图，连接BE，因为ABCD，所以异面直线AE与CD所成的角等于相交直线AE与AB所成的角
12、，即EAB.不妨设正方体的棱长为2，则CE1，BC2，由勾股定理得BE.又由AB平面BCC1B1可得ABBE，所以tanEAB.故选C.(2)取CD的中点Q，连接BQ，C1QP是AB的中点，BQPDC1BQ是异面直线BC1与PD所成的角在C1BQ中，C1BBQC1Q，C1BQ60，即异面直线BC1与PD所成的角等于60，故选C.规律方法用平移法求异面直线所成的角的步骤(1)一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角；(2)二证：证明作出的角是异面直线所成的角；(3)三求：解三角形，求出作出的角.如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角；如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角. (1)已
13、知P是ABC所在平面外的一点，M，N分别是AB、PC的中点，若MNBC4，PA4，则异面直线PA与MN所成角的大小是( )A30 B45C60 D90(2)如图，已知圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，C是圆柱下底面弧AB的中点，C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，那么异面直线AC1与BC所成角的正切值为_(1)A(2)(1)取AC的中点O，连接OM，ON，则OM綊BC，ON綊PA.ONM就是异面直线PA与MN所成的角在OMN中，MN4，OM2，ON2，cosONM，ONM30即异面直线PA与MN所成角的大小为30，故选A.(2)取圆柱下底面弧AB的另一中点D，连接C1D，AD，因为C是圆柱下底面
14、弧AB的中点，所以ADBC，所以直线AC1与AD所成角等于异面直线AC1与BC所成角，因为C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，所以C1D圆柱下底面，所以C1DAD.因为圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，所以C1DAD，所以直线AC1与AD所成角的正切值为，所以异面直线AC1与BC所成角的正切值为.1(2017全国卷)已知直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC120，AB2，BCCC11，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为( )A. B.C. D.C将直三棱柱ABCA1B1C1补形为直四棱柱ABCDA1B1C1D1，如图所示，连接AD1，B1D1，BD.由题意知ABC120，AB2，BCCC1
15、1，所以AD1BC1，AB1，DAB60.在ABD中，由余弦定理知BD22212221cos 603，所以BD，所以B1D1.又AB1与AD1所成的角即为AB1与BC1所成的角，所以cos .故选C.2(2016全国卷)平面过正方体ABCDA1B1C1D1的顶点A，平面CB1D1，平面ABCDm，平面ABB1A1n，则m，n所成角的正弦值为( )A. B. C. D.A根据平面与平面平行的性质，将m，n所成的角转化为平面CB1D1与平面ABCD的交线及平面CB1D1与平面ABB1A1的交线所成的角设平面CB1D1平面ABCDm1.平面平面CB1D1，m1m.又平面ABCD平面A1B1C1D1，且平面CB1D1平面A1B1C1D1B1D1，B1D1m1.B1D1m.平面ABB1A1平面DCC1D1，且平面CB1D1平面DCC1D1CD1，同理可证CD1n.因此直线m与n所成的角即直线B1D1与CD1所成的角在正方体ABCDA1B1C1D1中，CB1D1是正三角形，故直线B1D1与CD1所成角为60，其正弦值为.自我感悟：_