1、专题六算法、复数、推理与证明、概率与统计 第一讲算法、复数、推理与证明(选择、填空题型)1(2014福建高考)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的n的值为 ( ) A1 B2 C3 D4解析：选B当n1时，2112成立，当n2时，2222不成立，所以输出n2，故选B. 2.(2014新课标全国卷)执行下面的程序框图，若输入的a，b，k分别为1,2,3，则输出的M()A. B. C. D.解析：选D第一次循环：M，a2，b，n2；第二次循环：M，a，b，n3；第三次循环：M，a，b，n4，则输出M，选D.3(2014山东高考)已知a，bR，i是虚数单位，若ai与2bi互为共轭复数，则(
2、abi)2()A54i B54i C34i D34i解析：选D根据已知得a2，b1，所以(abi)2(2i)234i.4(2014新课标全国卷)设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z12i，则z1z2()A5 B5 C4i D4i解析：选A由题意可知z22i，所以z1z2(2i)(2i)i245.5(2014陕西高考)观察分析下表中的数据：多面体面数(F)顶点数(V)棱数(E)三棱柱569五棱锥6610立方体6812猜想一般凸多面体中F，V，E所满足的等式是_解析：三棱柱中5692；五棱锥中66102；立方体中68122，由此归纳可得FVE2.答案：FVE21程序框图的逻辑结构顺序
3、结构、条件结构和循环结构2复数zabi(a，bR)的分类(1)z是实数b0；(2)z是虚数b0；(3)z是纯虚数a0且b0.3共轭复数复数abi(a，bR)的共轭复数是abi(a，bR)4复数的四则运算法则(1)(abi)(cdi)(ac)(bd)i；(2)(abi)(cdi)(acbd)(bcad)i；(3)(abi)(cdi)i(a，b，c，dR，cdi0)5两种合情推理的思维过程(1)归纳推理的思维过程：(2)类比推理的思维过程：热点一算 法 问 题命题角度(1)判断程序框图的功能，如T1；(2)根据程序框图求解输出结果问题，如T2；(3)根据程序框图填写或选取判断条件，如T3.1阅读如
4、图所示的程序框图，若输入的k10，则该算法的功能是()A计算数列2n1的前10项和B计算数列2n1的前9项和C计算数列2n1的前10项和D计算数列2n1的前9项和2(2014新课标全国卷)执行如图的程序框图，如果输入的x，t均为2，则输出的S()A4B5C6D73程序框图如图，如果程序运行的结果为S132，那么判断框中可填入()Ak10 Bk10Ck11 Dk11自主解答1.由程序框图可知：输出S122229，所以该算法的功能是计算数列2n1的前10项和2在循环体部分的运算为：第一步，M2，S5，k2；第二步，M2，S7，k3.故输出结果为7.3输出的S值是一个逐次累积的结果，第一次运行S12
5、，k11；第二次运行S132，k10，如果此时输出结果，则判断框中的k的最大值是10.答案1.A2.D3.A识别程序框图应注意的问题对于循环结构的框图的识图问题，应明确循环结构的框图的特征，明确框图中变量的变化特点，根据框图中的条件决定是否执行框图中的运算，从而确定程序运行的结果热点二复数的概念与运算命题角度(1)考查复数的概念及运算，如T1；(2)考查复数的几何意义，如T2；(3)考查复数代数形式的四则运算，如T3.1(2014江西高考)是z的共轭复数，若z2，(z)i2(i为虚数单位)，则z()A1i B1iC1i D1i2(2014蒲阳模拟)如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别
6、是OA，OB，则|z1z2|()A2 B3 C2 D33(2014安徽高考)设 i是虚数单位，复数i3 ()Ai Bi C1 D1 自主解答1.设zabi(a，bR)，则abi，又z2，即(abi)(abi)2，所以2a2，解得a1.又(z)i2，即(abi)(abi)i2，所以bi21，解得b1.所以z1i.2由图知，OA(2，1)，OB(0,1)，根据复数的几何意义可知，z12i，z2i，所以z1z22，从而|z1z2|2.故选A.3i3ii(1i)1.答案1.D2.A3.D题1中条件不变，对应的点在第几象限？解：由例题可知，z1i，1i，因此对应的点在第一象限内复数运算的技巧复数代数形式
7、的运算类似于多项式的运算，加法类似于合并同类项，乘法类似于多项式乘多项式，除法类似于分母有理化(实数化)，分子、分母同乘分母的共轭复数热点三推理与证明命题角度(1)归纳等式或不等式，如T1；(2)类比过程或类比结论，如T2.1.(2014陕西高考)已知f(x) ，x0，若 f1(x)f(x)，fn1(x)f(fn(x)，nN， 则f2 014(x)的表达式为_2(2014贵州六校联考)在平面几何中：ABC的C内角平分线CE分AB所成线段的比为.把这个结论类比到空间：在三棱锥ABCD中(如图)DEC平分二面角ACDB且与AB相交于E，则得到类比的结论是_自主解答1.由f1(x)f2(x)f；又可
8、得f3(x)f(f2(x)，故可猜想f2 014(x).2由类比推理的概念可知，平面中线段的比可转化为空间中面积的比，由此可得：.答案1.f2 014(x)2.合情推理的解题思路(1)在进行归纳推理时，要先根据已知的部分个体，把它们适当变形，找出它们之间的联系，从而归纳出一般结论(2)在进行类比推理时，要充分考虑已知对象性质的推理过程，然后通过类比，推导出类比对象的性质(3)归纳推理关键是找规律，类比推理关键是看共性热点四程序框图与其他数学知识的交汇命题角度程序框图是高考考查算法最为重要的考查内容，常与其他数学知识交汇命题，多以选择题、填空题形式出现，属中、低档题.(1)程序框图与函数交汇命题
9、；(2)程序框图与数列交汇命题；(3)程序框图与线性规划交汇命题；(4)程序框图与三角函数交汇命题；(5)程序框图与在概率统计交汇命题.例(1)(2014湖南高考)执行如图所示的程序框图，如果输入的t2,2，则输出的S属于()A6，2 B5，1C4,5 D3,6(2)(2014陕西高考)根据如图所示的框图，对大于2的整数N，输出的数列的通项公式是()Aan2n Ban2(n1)Can2n Dan2n1 第(2)题图 第(3)题图(3)(2014四川高考)执行如图所示的程序框图，如果输入的x，yR，那么输出的S的最大值为()A0 B1 C2 D3(4)(2014大连模拟)执行如图所示的程序框图，
10、若输入的x0，则输出y的取值范围是()A0,1 B. C. D1,1师生共研(1)由程序框图可得S其值域为(2,63，13,6，故选D.(2)由程序框图可知：a1212，a2224，a3248，a42816，归纳可得：an2n，故选C.(3)当时，由线性规划的图解法知，目标函数S2xy的最大值为2，否则，S的值为1.所以输出的S的最大值为2.(4)根据条件结构的条件，可知y为sin x，cos x的最大值，在同一坐标系中，画出ysin x，ycos x的图象，可知y的取值范围为0,1，故选A.答案(1)D(2)C(3)C(4)A解决算法的交汇性问题的方法(1)读懂程序框图、明确交汇知识；(2)
11、根据给出问题与程序框图处理问题；(3)注意框图中结构的判断1执行如图所示的程序框图，输出的k值是()A4 B5 C6 D7解析：选B开始将n5代进框图，5为奇数n35116，此时k1.此后n为偶数，则代入n中，因此，当k1时，n16；当k2时，n8；当k3时，n4；当k4时，n2；当k5时，n1，输出k5.故选B.2执行如图所示的程序框图，任意输入一次x(0x1)与y(0y1)，则能输出数对(x，y)的概率为()A. B. C. D.解析：选B依题意，不等式组表示的平面区域的面积等于121；不等式组表示的平面区域的面积等于x2dxx3，因此所求的概率等于，选B.3图(1)是某高三学生进入高中三
12、年来的数学考试成绩茎叶图，第1次到第14次的考试成绩依次记为A1，A2，A14.图(2)是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图那么算法流程图输出的结果是()图(1)图(2)A7 B8 C9 D10解析：选D从算法流程图可知，该图是统计成绩大于或等于90分的考试次数从茎叶图可知输出的结果为10. 一、选择题1(2014重庆高考)实部为2，虚部为1的复数所对应的点位于复平面的()A第一象限B第二象限C第三象限 D第四象限2(2014福建联考)执行如图所示的程序框图，若输入的x值为2，则输出的x值为()A3B126 C127D1283(2014广东高考)已知复数z满足(34i)z25
13、，则z()A34i B34iC34i D34i4(2014福建高考)复数z(32i)i的共轭复数等于()A23i B23iC23i D23i5(2014福建高考)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的S的值等于()A18 B20C21 D406(2014安徽考前模拟)如果执行如图所示的程序框图，那么输出的S，那么判断框内是()Ak2 013? Bk2 014?Ck2 013? Dk2 014?7(2014东北三校联考)执行如图所示的程序框图，若输入如下四个函数：f(x)sin x，f(x)cos x，f(x)，f(x)x2，则输出的函数是()Af(x)sin xBf(x)cos xCf
14、(x)Df(x)x28(2014黄冈模拟)用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a，b，c中恰有一个是偶数”正确的反设为()Aa，b，c中至少有两个偶数Ba，b，c中至少有两个偶数或都是奇数Ca，b，c都是奇数Da，b，c都是偶数9(2014河南三市联考)如图给出的是计算的值的一个程序框图，则图中判断框内(1)处和执行框中的(2)处应填的语句是()Ai100，nn1Bi100，nn2Ci50，nn2Di50，nn210.在直角坐标系xOy中，一个质点从A(a1，a2)出发沿图中路线依次经过B(a3，a4)，C(a5，a6)，D(a7，a8)，按此规律一直运动下去，则a2 013a2 014a2
15、 015()A1 006 B1 007C1 008 D1 009二、填空题11(2014北京高考)复数2_.12(2014江苏高考)已知复数z(52i)2(i为虚数单位)，则z的实部为_13(2014新课标全国卷)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一城市由此可判断乙去过的城市为_14观察下列等式：1312,132332,13233362，13233343102，根据上述规律，第n个等式为_15(2014湖北高考)设a是一个各位数字都不是0且没有重复数字的三位数，将组成a的3个数字按从小到大排
16、成的三位数记为I(a)，按从大到小排成的三位数记为D(a)(例如a815，则I(a)158，D(a)851)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个a，输出的结果b_.16对于命题：若O是线段AB上一点，则有 | .将它类比到平面的情形是：若O是ABC内一点，则有，将它类比到空间的情形应该是：若O是四面体ABCD内一点，则有_答案一、选择题1 解析：选B实部为2，虚部为1的复数为2i，所对应的点位于复平面的第二象限，选B.2 解析：选C若输入的x2，则x2213，而3126，故x2317，而7126，所以输出的x值为127.3解析：选D(34i)z25z34i.4解析：选C因为复数
17、z(32i)i23i，所以23i，故选C.5解析：选BS0，n1，S02113，n2，因为315不成立，执行循环：S32229，n3，因为915不成立，执行循环：S923320，n4，因为2015成立，停止循环，输出S的值等于20，故选B.6解析：选A当判断框内是kn时，S1，若S，则n2 013.7解析：选A结合题中的程序框图，输出的函数为奇函数，且存在零点，比较选项知A正确8 解析：选Ba，b，c恰有一个是偶数说明有且只有一个是偶数其否定是a，b，c均为奇数或a，b，c至少有两个偶数9解析：选C因为，共50个数，所以算法框图应运行50次，所以变量i应满足i50，因为是求偶数的和，所以应使变
18、量n满足nn2，故选C.10.解析：选B通过观察得a11，a21，a31，a42，a52，a63，a72，a84，a93，a105，a113，a126，所以a1a2a3a4341，a5a6a7a8781，a9a10a11a1211121，所以a2 013a2 014a2 015a2 0162 01612 015，又a42，a84，a126，所以a2 0161 008，所以a2 013a2 014a2 0152 0151 0081 007.二、填空题11解析：21.答案：112解析：复数z(52i)22120i，其实部是21.答案：2113 解析：根据甲和丙的回答推测乙没去过B城市，又知乙没去过
19、C城市，故乙去过A城市答案：A14解析：由题知，1312；13232；1323332；132333432；132333n32.答案：132333n32.15解析：当a123时，b321123198123；当a198时，b981189792198；当a792时，b972279693792；当a693时，b963369594693；当a594时，b954459495594；当a495时，b954459495495a，终止循环，输出b495.答案：49516解析：将平面中的相关结论类比到空间，通常是将平面中的图形的面积类比为空间中的几何体的体积，因此依题意可知：若O为四面体ABCD内一点，则有 答案
20、： 第二讲排列、组合与二项式定理(选择、填空题型)1(2014辽宁高考)6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为()A144B120C72 D24解析：选D3人中每两人之间恰有一个空座位，有A212种坐法，3人中某两人之间有两个空座位，有AA12种坐法，所以共有121224种坐法2(2014湖南高考)5的展开式中x2y3的系数是()A20 B5 C5 D20解析：选A由二项展开式的通项可得，第四项T4C2(2y)320x2y3，故x2y3的系数为20，选A.3(2014新课标全国卷)(xy)(xy)8的展开式中x2y7的系数为_(用数字填写答案)解析：(xy)8中，Tr1Cx
21、8ryr，令r7，再令r6，得x2y7的系数为CC82820.答案：204(2014北京高考)把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有_种解析：将A、B捆绑在一起，有A种摆法，再将它们与其他3件产品全排列，有A种摆法，共有AA48种摆法，而A、B、C 3件在一起，且A、B相邻，A、C相邻有CAB、BAC两种情况，将这3件与剩下2件全排列，有2A12种摆法故A、B相邻，A、C不相邻的摆法有481236种答案：361两个计数原理(1)分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共
22、有Nmn种不同的方法(2)分步乘法计数原理完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有Nmn种不同的方法2两个重要公式(1)排列数公式An(n1)(n2)(nm1)(n，mN*，且mn)(2)组合数公式C(n，mN*，且mn)3三个重要性质和定理(1)组合数性质C(n，mN*，且mn)；C(n，mN*，且mn)；C1.(2)二项式定理(ab)nCanCan1b1Can2b2CankbkCbn，其中通项Tr1Canrbr.(3)二项式系数的性质CC，CC，CC；CCCC2n；CCCCCC2n1.热点一两个计数原理的应用命题角度(1)两个计数原理的
23、应用问题，如T1，T2；(2)同时利用两个计数原理解决综合问题，如T3；(3)几何图形中的涂色问题，如T4.1某展览馆在一周内(周一至周日)安排三所学校的学生来参观，若每天最多安排一所学校，要求甲学校连续参观两天，其余学校均只参观一天，那么不同的安排方法有()A50种 B60种 C120种D210种2将9个相同的小球放入3个不同的盒子，要求每个盒子中至少有1个小球，且每个盒子中的小球个数都不同，则不同的放法共有()A15种 B18种 C19种 D21种3(2014齐鲁名校联考)某校开设了9门课程供学生选修，其中A，B，C三门课程由于上课时间相同，所以每位学生至多选修1门，学校规定每位学生选修4
24、门，则不同的选修方案共有()A15种 B60种 C75种 D100种 4.(2014潍坊模拟)现将如图所示的5个小正方形涂上红、黄两种颜色，其中3个涂红色，2个涂黄色，若恰有2个相邻的小正方形涂红色，则不同的涂法共有_种(用数字作答)自主解答1.第一步，先安排甲学校的参观时间，一周内两天连排的方法一共有6种：(1,2)、(2,3)、(3,4)、(4,5)、(5,6)、(6,7)，甲任选一种为C，第二步，安排另两所学校，在剩下的五天中任选两天有序地安排其余两所学校参观，安排方法有A种，按照分步乘法计数原理可知共有CA120种不同的安排方法，故选C.2依题意，对这3个盒子中所放的小球的个数情况进行
25、分类计数：第一类，这3个盒子中所放的小球的个数是1,2,6，此类放法有A6(种)；第二类，这3个盒子中所放的小球的个数是1,3,5，此类放法有A6(种)；第三类，这3个盒子中所放的小球的个数是2,3,4，此类放法有A6(种)因此满足题意的放法共有66618(种)，选B.3由题意知，满足题意的选修方案有两类：第一类是所选的4门全来自于除A，B，C外的6门课程，相应的不同选修方案有C15种；第二类是所选的4门中有且仅有1门来自于A，B，C，另3门从除A，B，C外的6门课程中选择，相应的不同选修方案有CC60种由分类加法计数原理可得满足题意的选修方案总数是156075.故选C.4从5个小正方形中选取
26、2个相邻的情况有4种，如图所示，当1和2涂红色时，有2种涂法，当2和3涂红色时，有1种涂法，当3和4涂红色时，有1种涂法，当4和5涂红色时，有2种涂法，所以一共有6种涂法.12345答案1.C2.B3.C4.6应用两个计数原理解题的方法(1)在应用分类计数原理和分步计数原理时，一般先分类再分步，每一步当中又可能用到分类计数原理(2)对于复杂的两个原理综合使用的问题，可恰当列出示意图或表格，使问题形象化、直观化热点二排列与组合问题命题角度(1)有限制条件的排列应用题，如T1；(2)有限制条件的组合应用题，如T2；(3)排列与组合的综合应用，如T3.1(2014重庆高考)某次联欢会要安排3个歌舞类
27、节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是()A72 B120 C144 D1682(2014济南四校联考)某著名高中现有4名优秀学生甲、乙、丙、丁全部被保送到A、B、C三所名校，每所学校至少去1名，且甲不去A校，则不同的保送方案有_种3(2014浙江高考)在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有_种(用数字作答)自主解答1.依题意，先仅考虑3个歌舞类节目互不相邻的排法种数为AA144，其中3个歌舞类节目互不相邻但2个小品类节目相邻的排法种数为AAA24，因此满足题意的排法种数为14424120，选B
28、.2若甲单独去一所学校，则有CCA12种；若甲不单独去一所学校，则有CCA12种，所以不同的保送方案有24种3分情况：一种情况将有奖的奖券按2张、1张分给4个人中的2个人，种数为CCA36；另一种将3张有奖的奖券分给4个人中的3个人，种数为A24，则获奖情况总共有362460(种)答案1.B2.243.601若题1中改为“同类节目必须相邻”，则有多少种不同的排法？解：(捆绑法)将歌舞类节目，2个小品类节目分别各自作一个节目与相声类节目排列，共有A种不同排法又歌舞类节目有A种排法，小品类节目有A种排法，所以共有AAA72种不同排法2若题1中改为“相声类节目不排第一个，小品类节目不排最后一个，则有
29、多少种不同的排法？”解：分两类：第一类，若第一个节目排歌舞类，由于最后一个不排小品类节目，有AAA343321216(种)排法；第二类：若第一个节目排小品类节目，则有AAA192(种)排法故共有216192408(种)不同的排法 1解决排列组合问题应遵循的原则先特殊后一般，先选后排，先分类后分步2解决排列组合问题的11个策略(1)相邻问题捆绑法；(2)不相邻问题插空法；(3)多排问题单排法；(4)定序问题倍缩法；(5)多元问题分类法；(6)有序分配问题分步法；(7)交叉问题集合法；(8)至少或至多问题间接法；(9)选排问题先选后排法；(10)局部与整体问题排除法；(11)复杂问题转化法3解决排
30、列组合问题的四个角度解答排列组合应用题要从“分析”“分辨”“分类”“分步”的角度入手(1)“分析”就是找出题目的条件、结论，哪些是“元素”，哪些是“位置”；(2)“分辨”就是辨别是排列还是组合，对某些元素的位置有无限制等；热点三二项式定理及应用命题角度(1)利用通项公式求特定项或特定项系数，如T1，T2；(2)与二项式系数有关的问题，如T3.1(2014新课标全国卷)(xa)10的展开式中，x7的系数为15，则a_.(用数字填写答案)2(2014安徽高考)设a0，n是大于1的自然数，n的展开式为a0a1xa2x2anxn.若点Ai(i，ai)(i0,1,2)的位置如图所示，则a_.3(2014
31、临沂模拟)已知5的展开式中各项系数之和为1，则该展开式中含x项的系数为_自主解答1.二项展开式的通项公式为Tr1Cx10rar，当10r7时，r3，T4Ca3x7，则Ca315，故a.2由题图可知a01，a13，a24，由题意知故可得3在5中，令x1，得各项系数之和为(2a)51，a1，Tr1C(2x)5rrC25r(1)rx52r，令52r1，r2，含x项的系数为C23(1)280.答案1.2.33.80应用通项公式要注意五点(1)Tr1表示二项展开式中的任意项，只要n与r确定，该项就随之确定；(2)Tr1是展开式中的第r1项，而不是第r项；(3)公式中a，b的指数和为n，且a，b不能随便颠
32、倒位置；(4)要将通项中的系数和字母分离开，以便于解决问题；(5)对二项式(ab)n展开式的通项公式要特别注意符号问题热点四多项式中特定项(系数)问题命题角度在高考中，常常涉及一些多项式二项式问题，主要考查学生的化归能力，归纳起来常见的命题角度有：(1)几个多项式和的展开式中的特定项(系数)问题；(2)几个多项式积的展开式中的特定项(系数)问题；(3)三项展开式中的特定项(系数)问题.例(1)48的展开式中的常数项为()A32 B34 C36 D38(2)(2014浙江高考)在(1x)6(1y)4的展开式中，记xmyn项的系数为f(m，n)，则f(3,0)f(2,1)f(1，2)f(0,3)(
33、)A45 B60 C120 D210(3)5的展开式中的常数项为_(用数字作答)师生共研(1)4的展开式的通项为Tm1C(x3)4mmC(2)mx124m，令124m0，解得m3，8的展开式的通项为Tn1Cx8nnCx82n，令82n0，解得n4，所以所求常数项为C(2)3C38.(2)由题意知f(3,0)CC，f(2,1)CC，f(1，2)CC，f(0,3)CC，因此f(3,0)f(2,1)f(1，2)f(0,3)120，选C.(3)原式5(x)25(x)10.求原式的展开式中的常数项，转化为求(x)10的展开式中含x5项的系数，即C()5.所以所求的常数项为.答案(1)D(2)C(3)多项
34、式中特定项问题的求解策略(1)对于几个多项式和的展开式中的特定项(系数)问题，只需依据二项展开式的通项，从每一项中分别得到含所要求的项，再求和即可(2)对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏(3)对于三项式问题，一般先变形化为二项式再解决1(x2x1)10展开式中x3项的系数为()A210 B210 C30 D30解析：选A(x2x1)10x2(x1)10C(x2)10C(x2)9(x1)C(x2)(x1)9C(x1)10，所以含x3项的系数为：CCC(C)210，故选A.2(1xx2)6的展开式中的常
35、数项为m，则函数yx2与ymx的图象所围成的封闭图形的面积为()A. B. C. D.解析：选D二项式6的展开式的通项公式为Tr1(1)rCx62r，当62r0时，可得r3，则6展开式的常数项为(1)3C20，当62r2时，可得r4，则6展开式的x2项的系数为(1)4C15，由此可得(1xx2)6展开式的常数项m20155，图中封闭图形的面积S(x25x)dxx3x2，故应选D.一、选择题1(2014合肥一检)将包含甲、乙两队的8支球队平均分成2个小组参加某项比赛，则甲、乙两队被分在不同小组的分组方案有()A20种B35种C40种D60种2(2014全国高考)有6名男医生、5名女医生，从中选出
36、2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有()A60种 B70种 C75种 D150种3(2014湖北高考)若二项式7的展开式中的系数是84，则实数a()A2 B. C1 D.4(2014辽宁五校联考)若n展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式的常数项是()A360 B180 C90 D455(2014绵阳二诊)现有1位老师、2位男学生、3位女学生共6人站成一排照相，若男学生站两端，3位女学生中有且只有2位相邻，则不同排法的种数是()A12 B24 C36 D726(2014四川高考)六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有()A192种
37、 B216种 C240种 D288种7(2014烟台模拟)已知n的展开式中各二项式系数之和为32，常数项为80，则a的值为()A1 B1 C2 D28(2014贵州六校联考)在(1x)na0a1xa2x2a3x3anxn中，若2a2an50，则自然数n的值是()A10 B9 C8 D79(2014南昌模拟)若x4(x3)8a0a1(x2)a2(x2)2a12(x2)12，则log2(a1a3a5a11)等于()A27 B28 C7 D810(2014安徽高考)从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60的共有()A24对 B30对 C48对 D60对二、填空题11二项式5的展开
38、式中第3项的系数为_12已知(1kx2)6(k是正整数)的展开式中，x6的系数小于2 014，则k的最大值为_13(2014山东高考)若6的展开式中x3项的系数为20，则a2b2的最小值为_14(2014湖北省八校联考)航空母舰“辽宁舰”将进行一次编队配置科学实验，要求2艘攻击型核潜艇一前一后，2艘驱逐舰和2艘护卫舰分列左、右，同侧不能都是同种舰艇，则舰艇分配方案的方法数为_15.已知一个公园的形状如图所示，现有3种不同的植物要种在此公园的A，B，C，D，E这五个区域内，要求有公共边界的两块相邻区域种不同的植物，则不同的种法共有_种16对一个各边长均不相等的凸五边形的各边染色，每条边可以染红、
39、黄、蓝三种颜色中的一种，但是不允许相邻的边染相同的颜色，则不同的染色方法共有_种答案一、选择题1解析：选A将8支球队平均分成2组，每组4支，要使甲、乙两队被分在不同的小组，可从剩下6支中选3支放在其中一组，另外3支放在另一组中，故满足题意的分组方案有C20种，选A.2解析：选C从中选出2名男医生的选法有C15种，从中选出1名女医生的选法有C5种，所以不同的选法共有15575种，故选C.3解析：选CTk1C(2x)7kkC27kakx72k，令72k3，得k5，即T51C22a5x384x3，解得a1.选C.4解析：选B展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式总共11项，所以n10，通项公式
40、为Tr1C()10rrC2rx5r，所以r2时，常数项为180.5解析：选B依题意，满足题意的不同排法种数是A(CA)A24，选B.6解析：选B当最左端排甲时，不同的排法共有A种；当最左端排乙时，甲只能排在中间四个位置之一，则不同的排法共有CA种故不同的排法共有ACA216种7解析：选C由题意知2n32，即n5，二项展开式的通项公式为Tr1C()5rrarCx，令0，得r3，所以T4a3C80，即a2.故选C.8解析：选C由二项式定理可得a2C，an5C(1)n5，故2CC(1)n50，把各选项代入验证可得n8成立9解析：选C取x1得(1)4(13)8a0a1a2a11a12，取x3得(3)4
41、(33)8a0a1a2a11a12，与两式左、右两边分别相减得282(a1a3a5a11)，所以a1a3a5a1127，所以log2(a1a3a5a11)7.10 解析：选C法一：直接法：如图，在上底面中选B1D1，四个侧面中的面对角线都与它成60，共8对，同样A1C1对应的也有8对，下底面也有16对，这共有32对；左右侧面与前后侧面中共有16对所以全部共有48对法二：间接法：正方体的12条面对角线中，任意两条垂直、平行或成角为60，所以成角为60的共有C12648(对)二、填空题11解析：依题意，5的展开式的第3项为T3C(2x2)3280x4，即第3项的系数为80.答案：8012解析：由T
42、r1C(kx2)rkrCx2r，得x6的系数为k3C，由k3C2 014，得20k32 014，即k30，b0 Ba0，b0Ca0 Da0，b0解析：选B根据题中表内数据画出散点图(图略)，由散点图可知b0.3(2014广东高考)已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为()A200,20 B100,20C200,10 D100,10解析：选A易知(3 5004 5002 000)2%200，即样本容量；抽取的高中生人数为2 0002%40，由于其近视率为50%，所以近视
43、的人数为4050%20.4(2014江苏高考)从1,2,3,6这4个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的乘积为6的概率是_解析：从1,2,3,6中随机取2个数，共有6种不同的取法，其中所取2个数的乘积是6的有1,6和2,3，共2种，故所求概率是.答案：5(2014重庆高考)某校早上8：00开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7：307：50之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为_(用数字作答)解析：设小张与小王的到校时间分别为7：00后第x分钟，第y分钟根据题意可画出图形，如图所示，则总事件所占的面积为(5030)2400.小张比小王至少早
44、5分钟到校表示的事件A(x，y)|yx5,30x50,30y50，如图中阴影部分所示，阴影部分所占的面积为1515，所以小张比小王至少早5分钟到校的概率为P(A).答案：1随机事件的概率(1)随机事件的概率范围：0P(A)1；必然事件的概率为1；不可能事件的概率为0.(2)古典概型的概率P(A).(3)几何概型的概率P(A).(4)事件的相互独立性设事件A、B为两个事件，若P(AB)P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立(5)条件概率P(B|A).2直方图的三个有用结论(1)小长方形的面积组距频率(2)各小长方形的面积之和等于1.(3)小长方形的高，所有小长方形高的和为.3统计中的四个数
45、据特征(1)众数、中位数；(2)样本平均数(x1x2xn)xi；(3)样本方差s2 (xi)2；(4)样本标准差s .4线性回归方程线性回归方程为x，一定过样本中心点(，)热点一古典概型与几何概型命题角度(1)求解与长度、面积有关的几何概型问题，如T1，T2；(2)求解简单古典概型的概率，如T3，T4.1(2014湖南高考)在区间 2,3上随机选取一个数X，则 X1的概率为()A. B. C. D.2(2014辽宁高考)若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中，其中AB2，BC1，则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是()A. B. C. D.3(2014陕西高考)从正方形四个顶点及其中
46、心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为()A. B. C. D.4(2014新课标全国卷)4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为()A. B. C. D.自主解答1.区间2,3的长度为3(2)5，2，1的长度为1(2)3，故满足条件的概率P.故选B.2由几何概型的概率公式可知，质点落在以AB为直径的半圆内的概率P，故选B.3从这5个点中任取2个，有C10种取法，满足两点间的距离不小于正方形边长的取法有C6种，因此所求概率P.故选C.4由题知所求概率P，选D.答案1.B2.B3.C4.D古典概型与几何概型的妙解(
47、1)解决古典概型概率问题，关键是弄清基本事件的总数n以及某个事件A所包含的基本事件的个数m，然后由公式P(A)求出概率(2)几何概型解决的关键在于把所有基本事件转化为与之对应的区域(3)对于较复杂的互斥事件的概率求法可考虑利用对立事件去求热点二抽 样 方 法命题角度(1)系统抽样的概念，如T1，T2；(2)分层抽样中的数值计算，如T3.1(2014广东高考)为了解1 000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为()A50 B40 C25 D202(2014潍坊一模)高三某班有学生56人，现将所有同学随机编号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知
48、5号、33号、47号学生在样本中，则样本中还有一个学生的编号为()A13 B17 C19 D213(2014天津高考)某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4556，则应从一年级本科生中抽取_名学生自主解答1.由25，可得分段的间隔为25.故选C.2因为473314，所以由系统抽样的定义可知样本中的另一个学生的编号为51419.故选C.3由分层抽样的特点可得应该从一年级本科生中抽取30060(名)学生答案1.C2.C3.60三类抽样方法的抽样步骤
49、1简单随机抽样的步骤：(1)将总体中的个体随机编号；(2)选定开始的数字；(3)获取样本号码2系统抽样的步骤：(1)将总体中的个体随机编号；(2)将编号分段；(3)在第1段中用简单随机抽样确定起始的个体编号；(4)按照事先研究的规则抽取样本3分层抽样的步骤：(1)分层；(2)按比例确定分层抽取个体的个数；(3)各层抽样；(4)汇合成样本热点三用样本估计总体命题角度(1)用统计图表估计总体，如T1；(2)用样本的数字特征估计总体，如T2，T3.1(2014山东高考)为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验所有志愿者的舒张压数据(单位：kPa)的分组区间为12,13)，13,14)，14
50、,15)，15,16)，16,17，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，第五组如图是根据试验数据制成的频率分布直方图已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为() A6 B8 C12 D182(2014陕西高考)设样本数据x1，x2，x10的均值和方差分别为1和4，若yixia(a为非零常数， i1,2，10)，则y1，y2，y10的均值和方差分别为()A1a,4 B1a,4aC1,4 D1,4a3(2014临沂模拟)某学校从高二甲、乙两个班中各选6名同学参加数学竞赛，他们取得的成绩(满分100分)的茎叶图如图，其中甲班学生成绩的众数是85，乙班
51、学生成绩的平均分为81，则xy的值为()A6 B7 C8 D9自主解答1.由题意，第一组和第二组的频率之和为0.240.160.4，故样本容量为50，又第三组的频率为0.36，故第三组的人数为500.3618，故该组中有疗效的人数为18612.2给每个数据都加上常数a后，均值也增加a，方差不变，故选A.3由众数的定义知x5，由乙班的平均分为81得81，解得y4，故xy9.答案1.C2.A3.D题1中利用频率分布直方图求出舒张压的中位数解：12,13)，13,14)和14,15)的频率分别为0.24,0.16和0.36，因此中位数在14,15)内设中位数为x，则0.240.16(x14)0.36
52、0.5，解得x14.28.故中位数约为14.28.众数、中位数、平均数与直方图的关系(1)众数为频率分布直方图中最高矩形的底边中点的横坐标(2)中位数为平分频率分布直方图面积且垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标(3)平均数等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之积的和热点四线性回归分析与独立性检验命题角度(1)求回归直线方程问题，如T1；(2)利用回归分析对有关变量作出估计，如T2；(3)独立性检验，如T3.1(2014重庆高考)已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数3，3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是()A.0.4x2.3 B.2x2.4C.2
53、x9.5 D.0.3x4.42(2014石家庄模拟)登山族为了了解某山高y(km)与气温x()之间的关系，随机统计了4次山高与相应的气温，并制作了对照表：气温()1813101山高(km)24343864由表中数据，得到线性回归方程2x(R)由此估计山高为72(km)处气温的度数为()A10 B8 C6 D43(2014江西高考)某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系，随机抽查了52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是()表1成绩性别不及格及格总计男61420女102232总计163652表2视力性别好差总计男41620女122032总
54、计163652表3智商性别偏高正常总计男81220女82432总计163652表4阅读量性别丰富不丰富总计男14620女23032总计163652A成绩 B视力C智商 D阅读量自主解答1.依题意知，相应的回归直线的斜率应为正，排除C、D.且直线必过点(3,3.5)代入A、B得A正确210，40，样本中心点为(10,40)，回归直线过样本中心点，4020，即60，线性回归方程为2x60，山高为72(km)处气温的度数为6，故选C.3因为1，2，3，4，则有4231，所以阅读量与性别关联的可能性最大答案1.A2.C3.D进行线性回归分析时应注意的问题(1)正确理解计算、的公式和准确的计算，是求线性
55、回归方程的关键其中线性回归方程必过样本中心点(，)(2)在分析两个变量的相关关系时，可根据样本数据作出散点图来确定两个变量之间是否具有相关关系，若具有线性相关关系，则可通过线性回归方程估计和预测变量的值热点五与古典概型、几何概型交汇问题的求解命题角度古典概型、几何概型在高考中常与平面向量、集合、函数、解析几何、统计等知识交汇命题，命题的角度新颖，考查知识面全，能力要求较高，归纳起来常见的交汇命题角度有：(1)与平面向量相结合；(2)古典概型与直线、圆相结合；(3)与三角形、矩形、圆等平面图形面积有关的问题；(4)与定积分交汇命题的问题.例(1)(2014商丘三模)已知P是ABC所在平面内一点，
56、现将一粒黄豆随机撒在ABC内，则黄豆落在PBC内的概率是()A. B. C. D.(2)连掷骰子两次得到的点数分别记为a和b，则使直线3x4y0与圆(xa)2(yb)24相切的概率为()A. B. C. D.(3)(2013陕西高考)如图，在矩形区域ABCD的A，C两点处各有一个通信基站，假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF(该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常)若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是()A1 B.1 C2 D.(4)(2014辽宁高考)正方形的四个顶点A(1，1)，B(1，1)，C(1,1)，D(1,1)分别在抛物线yx2和yx2上，如
57、图所示若将一个质点随机投入正方形ABCD中，则质点落在图中阴影区域的概率是_师生共研(1)则，点A、P、D三点共线，且P为AD的中点由题意知，所求概率P，故选C. (2)连掷骰子两次总的试验结果有36种，要使直线3x4y0与圆(xa)2(yb)24相切，则2，即满足|3a4b|10，符合题意的(a，b)有(6,2)，(2,4)，共2种，由古典概型的概率计算公式可得所求概率为P.(3)由题意知，两个四分之一圆补成半圆其面积为12，矩形面积为2，则所求概率为1.(4)由几何概型的概率计算公式可知，所求概率P.答案(1)C(2)B(3)A(4)求解与古典概型、几何概型交汇问题的方法(1)解决与古典概
58、型交汇命题的问题时，把相关的知识转化为事件，列举基本事件，求出基本事件和随机事件的个数，然后利用古典概型的概率计算公式进行计算(2)求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，以求面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解1已知A是圆上固定的一点，在圆上其他位置上任取一点A，则AA的长度小于半径的概率为()A. B. C. D.解析：选D如图，满足AA的长度小于半径的点A位于劣弧上，其中ABO和ACO为等边三角形，可知BOC，故所求事件的概率P.2在区间1,5和2,4内分别取一个数，记为a，b，则方程1表示焦点在x轴上且离心率小
59、于的椭圆的概率为_解析：方程1表示焦点在x轴上且离心率小于的椭圆，故即化简得又a1,5，b2,4，画出满足不等式组的平面区域，如图阴影部分所示，求得阴影部分的面积为，故所求的概率P.答案：一、选择题1(2014湖南高考)对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p1、p2、p3，则()Ap1p2p3Bp2p3p1Cp1p3p2 Dp1p2p32(2014忻州模拟)样本中共有五个个体，其值分别为a,0,1,2,3.若该样本的平均值为1，则样本方差为()A2B2.3 C3D3.53(2014南昌三模)从编号
60、为001,002，500的500个产品中用系统抽样的方法抽取一个样本，已知样本中编号最小的两个编号分别为007,032，则样本中最大的编号应该为()A480 B481 C482 D4834(2014新课标全国卷)某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是()A0.8 B0.75 C0.6 D0.455(2014佛山模拟)某市要对两千多名出租车司机的年龄进行调查，现从中随机抽出100名司机，已知抽到的司机年龄都在20,45)岁之间，根据调查结果得出司机的年龄情况残缺的频率分布直方图如图
61、所示，利用这个残缺的频率分布直方图估计该市出租车司机年龄的中位数大约是()A31.6岁 B32.6岁 C33.6岁 D36.6岁6(2014湖北高考)随机掷两枚质地均匀的骰子，它们向上的点数之和不超过5的概率记为p1，点数之和大于5的概率记为p2，点数之和为偶数的概率记为p3，则()Ap1p2p3 Bp2p1p3 Cp1p3p2 Dp3p1p27(2014陕西高考)某公司10位员工的月工资(单位：元)为x1，x2，x10，其均值和方差分别为和s2，若从下月起每位员工的月工资增加100元，则这10位员工下月工资的均值和方差分别为()A.，s21002 B. 100, s21002C.，s2 D.
62、100, s28.为了了解甲、乙两名艺术生数学的学习情况，对他们两人5次数学测试成绩进行统计，作出如图所示的茎叶图，则下列说法一定正确的是()甲乙848834229333A甲生成绩的众数大于乙生成绩的众数B甲生成绩的中位数大于乙生成绩的中位数C甲生成绩的平均数小于乙生成绩的平均数D甲生成绩的方差小于乙生成绩的方差9(2014郑州二模)某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：单价x(元)456789销量y(件)908483807568由表中数据，求得线性回归方程为4xa.若在这些样本点中任取一点，则它在回归直线左下方的概率为()A. B. C.
63、D.二、填空题10(2014湖北高考)甲、乙两套设备生产的同类型产品共4 800件，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本进行质量检测若样本中有50件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为_件11(2014江苏高考)为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长(单位：cm)，所得数据均在区间80,130上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有_株树木的底部周长小于100 cm.12(2014广东高考)从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为_13(2014新课标全国卷)将2本不同的数学书和1本语文
64、书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为_14(2014江西高考)10件产品中有7件正品，3件次品，从中任取4件，则恰好取到1件次品的概率是_15(2014石家庄模拟)已知函数f(x)cosx，a为抛掷一颗骰子得到的点数，则函数f(x)在0,4上零点的个数小于5或大于6的概率为_答案一、选择题1解析：选D根据抽样方法的概念可知，简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种抽样方法，每个个体被抽到的概率都是，故p1p2p3，故选D.2解析：选A样本的平均值为1，1，从而a1.再根据方差的定义，有s22.3解析：选C由题意知，间隔k25，则编号ak725(k1)，由ak500，即725(k1)50
65、0，所以k，又kN*，所以k的最大值为20，此时样本中最大编号为72519482.故选C.4解析：选A根据条件概率公式P(B|A)，可得所求概率为0.8.5解析：选C由频率分布图可知25,30)的频率应为0.2，又20,25)的频率为0.05，30,35)的频率为0.35，由中位数的计算可得x33.57，故选C.6解析：选C总的基本事件个数为36，向上的点数之和不超过5的有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，共10个，则向上的点数之和不超过5的概率p1；向上的点数之和大于5的概率p21；向上的点数之和为偶数与向
66、上的点数之和为奇数的个数相等，故向上的点数之和为偶数的概率p3.即p1p3p2，选C.7解析：选D法一：对平均数和方差的意义深入理解可巧解因为每个数据都加上了100，故平均数也增加100，而离散程度应保持不变，故选D.法二：由题意知x1x2xnn，s2(x1)2(x2)2(xn)2，则所求均值(x1100)(x2100)(xn100)(nn100)100，而所求方差t2(x1100)2(x2100)2(xn100)2(x1)2(x2)2(xn)2s2，故选D. 8. 解析：选D甲生成绩的众数是92，中位数是92，平均数是(8488929294)90，方差为(8490)2(8890)2(9290
67、)2(9290)2(9490)212.8，同理可求得乙生成绩的众数、中位数、平均数、方差分别为93,93,90,16，故选D.9解析：选B由表中数据得x6.5，y80，由y4xa得a106，故线性回归方程为4x106.将(4,90)，(5,84)，(6,83)，(7,80)，(8,75)，(9,68)分别代入回归方程可知有6个基本事件，因844510686,684910670，故(5,84)和(9,68)在直线的左下方，满足条件的只有2个，故所求概率为，选B.二、填空题10解析：分层抽样中各层的抽样比相同样本中甲设备生产的有50件，则乙设备生产的有30件在4 800件产品中，甲、乙设备生产的产
68、品总数比为53，所以乙设备生产的产品的总数为1 800件答案：1 80011解析：由频率分布直方图可得树木底部周长小于100 cm的频率是(0.0250.015)100.4，又样本容量是60，所以频数是0.46024.答案：2412解析：十个数中任取七个不同的数共有C种情况，七个数的中位数为6，那么6只有处在中间位置，有C种情况，于是所求概率P.答案：13解析：设2本数学书分别为A、B，语文书为C，则所有的排放顺序有ABC、ACB、BAC、BCA、CAB、CBA，共6种情况，其中数学书相邻的有ABC、BAC、CAB、CBA，共4种情况，故2本数学书相邻的概率P.答案：14解析：从10件产品中任
69、取4件共有C210种不同的取法，因为10件产品中有7件正品、3件次品，所以从中任取4件恰好取到1件次品共有CC105种不同的取法，故所求的概率为P.答案：15解析：设函数f(x)cosx在区间0,4上零点个数为n，f(x)cosx的周期为，则(n1)4，即n1，由4n15得a4，函数f(x)cosx在区间0,4上零点的个数小于5或大于6的概率为1.答案：第四讲高考中的概率与统计(解答题型)1(2014湖南高考)某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为和，现安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B，设甲、乙两组的研发相互独立(1)求至少有一种新产品研发成功的概率；(2)若新产品A
70、研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B研发成功，预计企业可获利润100万元，求该企业可获利润的分布列和数学期望解：记E甲组研发新产品成功，F乙组研发新产品成功由题设知P(E)，P()，P(F)，P().且事件E与F，E与，与F，与都相互独立(1)记H至少有一种新产品研发成功，则 ，于是P()P()P()，故所求的概率为P(H)1P()1.(2)设企业可获利润为X(万元)，则X的可能取值为0,100,120,220.因P(X0)P( )，P(X100)P(F)，P(X120)P(E)，P(X220)P(EF).故所求的X分布列为X0100120220P数学期望为E(X)01001202
71、20140.2(2014四川高考)一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分(即获得200分)设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立(1)设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列；(2)玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？(3)玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因解：(1)X可能的取值为：10,20,100，200.根据
72、题意，有P(X10)C12，P(X20)C21，P(X100)C30，P(X200)C03.所以X的分布列为X1020100200P(2)设“第i盘游戏没有出现音乐”为事件Ai(i1,2,3)，则P(A1)P(A2)P(A3)P(X200).所以“三盘游戏中至少有一次出现音乐”的概率为1P(A1A2A3)131.因此，玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是.(3)X的数学期望为E(X)1020100200.这表明，获得分数X的均值为负，因此，多次游戏之后分数减少的可能性更大1独立重复试验的概率公式Pn(k)Cpk(1p)nk，k0,1,2，n.2超几何分布的概率一般地，在含有M件次品的N件产品中
73、，任取n件，其中恰有X件次品，则事件(Xk)发生的概率为P(Xk)(k0,1,2，m)(mM，mn，MN)3离散型随机变量的均值、方差(1)均值E(X)x1p1x2p2xipixnpn；(2)方差D(X)xiE(x)2pi.4两点分布与二项分布的均值、方差(1)若X服从两点分布，则E(X)p，D(X)p(1p)；(2)若XB(n，p)，则E(X)np，D(X)np(1p)5均值与方差的性质(1)E(axb)aE(x)b；(2)D(axb)a2D(x)6正态分布的三个常用数据(1)P(X)0.682 6；(2)P(2X2)0.954 4；(3)P(3X3)0.997 4.热点一超几何分布问题命题
74、角度超几何分布是一种重要的概率分布模型，高考经常考查高考对超几何分布问题的考查主要有以下几个角度：(1)求某事件的概率；(2)利用超几何分布求事件概率后再求离散型随机变量的均值与方差.例1(2014天津高考)某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同)(1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；(2)设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列和数学期望师生共研(1)设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”
75、为事件A，则P(A).所以选出的3名同学是来自互不相同学院的概率为.(2)随机变量X的所有可能值为0,1,2,3.P(Xk)(k0,1,2,3)所以，随机变量X的分布列是X0123P随机变量X的数学期望E(X)0123.在超几何分布中，随机变量X取每一个值的概率是用古典概型计算的，明确每一个基本事件的性质是解答此类问题的关键1某班研究性学习小组在今年11月11日“双11购物节”期间，对25,55)岁的人群随机抽取1 000人进行了一次是否参加“抢购商品”的调查，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图组数分组抢购商品的人数占本组的频率第一组25,30)1200.6第二组30,35)195p第
76、三组35,40)1000.5第四组40,45)a0.4第五组45,50)300.3第六组50,55)150.3(1)求统计表中a，p的值；(2)从年龄在40,50)岁参加“抢购商品”的人群中，采取分层抽样取9人参加满意度调查，其中3人感觉满意，记感到满意的3人中年龄在40,45)岁的人数为X，求X的分布列和数学期望E(X)解：(1)因为总人数为1 000，所以年龄在40,45)岁的人数为1 00050.03150，所以a1500.460.因为年龄在30,35)岁的人数的频率为15(0.040.040.030.020.01)0.3，所以年龄在30,35)岁的人数为1 0000.3300，所以p0
77、.65.(2)依题抽取年龄在40,45)岁之间6人，抽取年龄在40,50)岁之间3人，X0,1,2,3，P(X0)，P(X1)，P(X2)，P(X3).所以X的分布列为X0123P所以E(X)01232.热点二事件的相互独立性命题角度互斥事件与相互独立事件的概率是高考的必考内容高考中主要有以下几个命题角度：(1)互斥事件的概率；(2)相互独立事件同时发生的概率；(3)利用两种概率模型求随机变量的分布列、均值和方差.例2(2014陕西高考)在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1 000元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：作物产量(kg)300500
78、概率0.50.5作物市场价格(元/kg)610概率0.40.6(1)设X表示在这块地上种植1季此作物的利润，求X的分布列；(2)若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于2 000元的概率师生共研(1)设A表示事件“作物产量为300 kg”，B表示事件“作物市场价格为6元/kg”，由题设知P(A)0.5，P(B)0.4，因为利润产量市场价格成本，所以X所有可能的取值为500101 0004 000,50061 0002 000，300101 0002 000,3 0061 000800.P(X4 000)P()P()(10.5)(10.4)0.3，P(X2 000)P()
79、P(B)P(A)P()(10.5)0.40.5(10.4)0.5，P(X800)P(A)P(B)0.50.40.2，所以X的分布列为X4 0002 000800P0.30.50.2(2)设Ci表示事件“第i季利润不少于2 000元”(i1,2,3)，由题意知C1，C2，C3相互独立，由(1)知，P(Ci)P(X4 000)P(X2 000)0.30.50.8(i1,2,3)，3季的利润均不少于2 000元的概率为P(C1C2C3)P(C1)P(C2)P(C3)0.830.512；3季中有2季的利润不少于2 000元的概率为P(1C2C3)P(C12C3)P(C1C23)30.820.20.38
80、4，所以，这3季中至少有2季的利润不少于2 000元的概率为0.5120.3840.896.(1)求复杂事件的概率，要正确分析复杂事件的构成，看复杂事件能转化为几个彼此互斥事件的和事件，还是能转化为几个相互独立事件同时发生的积事件，然后用概率公式求解(2)一个复杂事件若正面情况比较多，反面情况较少，则一般利用对立事件进行求解对于“至少”“至多”等问题往往用这种方法求解2在某中学举办的校园文化周活动中，从周一到周五的五天中，每天安排一项内容不同的活动供学生选择参加，要求每位学生必须参加三项活动，其中甲同学必须参加周一的活动，不参加周五的活动，其余的三天的活动随机选择两项参加，乙同学和丙同学可以在
81、周一到周五中随机选择三项参加(1)求甲同学选周三的活动且乙同学未选周三的活动的概率；(2)设X表示甲、乙、丙三名同学选择周三的活动的人数之和，求X的分布列和数学期望解：(1)设A表示事件“甲同学选周三的活动”，B表示事件“乙同学选周三的活动”，则P(A)，P(B).事件A，B相互独立，甲同学选周三的活动且乙同学未选周三的活动的概率为P(A)P(A)P().(2)设C表示事件“丙同学选周三的活动”，则P(C).X的可能取值为0,1,2,3.P(X0)P()，P(X1)P(A )P( B )P( C)，P(X2)P(A B )P(A C)P( B C)，P(X3)P(ABC).X的分布列为X012
82、3PX的数学期望E(X)0123.热点三独立重复试验与二项分布命题角度独立重复试验与二项分布是高考中的热点之一，多以解答题形式呈现，试题难度相对较大，多为中高档题目高考中对本考点的考查主要有以下几个角度：(1)独立重复试验下某事件恰好发生k次的概率；(2)二项分布的期望和方差；(3)以互斥事件、相互独立事件、独立重复试验为载体，综合考查某事件的概率、数学期望与方差.例3(2014辽宁高考)一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图如图所示将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立(1)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的
83、日销售量低于50个的概率；(2)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，期望E(X)及方差D(X)师生共研(1)设A1表示事件“日销售量不低于100个”，A2表示事件“日销售量低于50个”，B表示事件“在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个”，因此P(A1)(0.0060.0040.002)500.6，P(A2)0.003500.15，P(B)0.60.60.1520.108.(2)X可能取的值为0,1,2,3，相应的概率为P(X0)C(10.6)30.064，P(X1)C0.6(10.6)20.288，P(X2)C0
84、.62(10.6)0.432，P(X3)C0.630.216.X的分布列为X0123P0.0640.2880.4320.216因为XB(3,0.6)，所以期望E(X)30.61.8，方差D(X)30.6(10.6)0.72.1注意辨别独立重复试验的基本特征：(1)在每次试验中，试验结果只有发生与不发生两种情况；(2)在每次试验中，事件发生的概率相同2牢记公式Pn(k)Cpk(1p)nk，k0,1,2，n，并深刻理解其含义3为向国际化大都市目标迈进，沈阳市今年新建三大类重点工程，它们分别是30项基础设施类工程、20项民生类工程和10项产业建设类工程现有来沈阳的3名工人相互独立地从这60个项目中任
85、选一个项目参与建设(1)求这3人选择的项目所属类别互异的概率；(2)将此3人中选择的项目属于基础设施类工程或产业建设类工程的人数记为X，求X的分布列和数学期望解：记第i名工人选择的项目属于基础设施类、民生类、产业建设类分别为事件Ai、Bi、Ci，i1,2,3.由题意知A1、A2、A3、B1、B2、B3、C1、C2、C3均相互独立则P(Ai)，P(Bi)，P(Ci)，i1，2,3，(1)3人选择的项目所属类别互异的概率：P1AP(A1B2C3)6.(2)任一名工人选择的项目属于基础设施类或产业建设类工程的概率：P2，由XB，得P(Xk)Ck3k(k0,1,2,3)，X的分布列为X0123P其数学
86、期望E(X)32.热点四均值与方差的实际应用命题角度离散型随机变量的均值与方差是高考命题的热点之一，多以解答题形式呈现，多为中档题高考对均值与方差的考查主要有以下几个角度：(1)已知离散型随机变量符合某条件，求其均值与方差；(2)已知离散型随机变量的均值与方差，求参数值；(3)已知离散型随机变量满足两种方案，试作出判断.例4(2014福建高考)为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1 000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额(1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求：顾客所
87、获的奖励额为60元的概率；顾客所获的奖励额的分布列及数学期望；(2)商场对奖励总额的预算是60 000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由师生共研(1)设顾客所获的奖励额为X.依题意，得P(X60)，即顾客所获的奖励额为60元的概率为.依题意，得X的所有可能取值为20,60.P(X60)，P(X20)，即X的分布列为X2060P所以顾客所获的奖励额的期望为E(X)206040(元)(2)根据商场的预算，每
88、个顾客的平均奖励额为60元所以，先寻找期望为60元的可能方案对于面值由10元和50元组成的情况，如果选择(10,10,10,50)的方案，因为60元是面值之和的最大值，所以期望不可能为60元；如果选择(50,50,50,10)的方案，因为60元是面值之和的最小值，所以期望也不可能为60元，因此可能的方案是(10,10,50,50)，记为方案1.对于面值由20元和40元组成的情况，同理可排除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案，所以可能的方案是(20,20,40,40)，记为方案2.以下是对两个方案的分析：对于方案1，即方案(10,10,50,50)，设顾客所获的奖励额为
89、X1，则X1的分布列为X12060100PX1的期望为E(X1)206010060，X1的方差为D(X1)(2060)2(6060)2(10060)2.对于方案2，即方案(20,20,40,40)，设顾客所获的奖励额为X2，则X2的分布列为X2406080PX2的期望为E(X2)40608060，X2的方差为D(X2)(4060)2(6060)2(8060)2.由于两种方案的奖励额的期望都符合要求，但方案2奖励额的方差比方案1的小，所以应该选择方案2.求离散型随机变量的均值与方差的方法先根据随机变量的意义，确定随机变量可以取哪些值，然后根据随机变量取这些值的意义求出取这些值的概率，列出分布列，
90、根据数学期望和方差的公式计算若随机变量服从二项分布，则可以直接使用E()np，D()np(1p)求解4据IEC(国际电工委员会)调查显示，小型风力发电项目投资较少，且开发前景广阔，但受风力自然资源影响，项目投资存在一定风险根据测算，风能风区分类标准如下：风能分类一类风区二类风区平均风速m/s8.5106.58.5假设投资A项目的资金为x(x0)万元，投资B项目的资金为y(y0)万元，调研结果是：未来一年内，位于一类风区的A项目获利30%的可能性为0.6，亏损20%的可能性为0.4；位于二类风区的B项目获利35%的可能性为0.6，亏损10%的可能性是0.1，不赔不赚的可能性是0.3.(1)记投资
91、A，B项目的利润分别为和，试写出随机变量与的分布列和期望E()，E()；(2)某公司计划用不超过100万元的资金投资于A，B项目，且公司要求对A项目的投资不得低于B项目，根据(1)的条件和市场调研，试估计一年后两个项目的平均利润之和zE()E()的最大值解：(1)A项目投资利润的分布列为0.3x0.2xP0.60.4E()0.18x0.08x0.1x，B项目投资利润的分布列为0.35y0.1y0P0.60.10.3E()0.21y0.01y0.2y.(2)由题意可知x，y满足的约束条件为由(1)可知，zE()E()0.1x0.2y，当x50，y50时，z取得最大值15.对A，B项目各投资50万
92、元，可使公司获得最大利润，最大利润是15万元.课题8“三步法”求解离散型随机变量的分布列与期望典例(2014重庆高考)一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1,3张卡片上的数字是2,2张卡片上的数字是3.从盒中任取3张卡片(1)求所取3张卡片上的数字完全相同的概率；(2)X表示所取3张卡片上的数字的中位数，求X的分布列与数学期望(注：若三个数a，b，c满足abc，则称b为这三个数的中位数)考题揭秘本题主要考查概率及离散型随机变量的分布列与数学期望等基础知识，意在考查或然与必然的数学思想方法，以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识审题过程第一步：审条件.4张卡片上数字是1,
93、3张卡片上数字是2,2张卡片上数字是3.第二步，审结论第(1)问求所取3张卡片上的数字完全相同的概率；第(2)问求分布列与数学期望第三步，建联系(1)由于3张卡片上的数字完全相同，只能是1或2，故用组合数进行计数，用古典概型计算概率；(2)随机变量X1,2,3，由此求分布列和数学期望规范解答(1)由古典概型中的概率计算公式知所求概率为p.(2)X的所有可能值为1,2,3，且P(X1)，P(X2)，P(X3)，故X的分布列为X123P从而E(X)123.跟踪训练(2014兰州模拟)某学校实施“十二五高中课程改革”计划，高三理科班学生的化学与物理水平测试的成绩抽样统计如下表成绩分A(优秀)、B(良
94、好)、C(及格)三种等级，设x，y分别表示化学、物理成绩例如：表中化学成绩为B等级的共有2018442人已知x与y均为B等级的概率为0.18. xyABCA7205B9186Ca4b(1)求抽取的学生人数；(2)若在该样本中，化学成绩的优秀率是0.3，求a，b的值；(3)物理成绩为C等级的学生中，已知a10,12b17，随机变量|ab|，求的分布列和数学期望解：(1)设抽取的学生人数为n，依题意，0.18，得n100.(2)由0.3，得a14.79a2018456b100，b17.(3)由题意，知ab31，且a10,12b17，满足条件的(a，b)有：(14,17)，(15,16)，(16,1
95、5)，(17,14)，(18,13)，(19,12)，共6组|ab|，的取值为1,3,5,7.P(1)，P(3)，P(5)，P(7).故的分布列为1357PE()1357.1(2014新课标全国卷)从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s2(同一组中的数据用该区间的中点值作代表)；(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(，2)，其中近似为样本平均数，2近似为样本方差s2.利用该正态分布，求P(187.8Z212.2)；某用户从该企业购买了100件这种产品，记
96、X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数利用的结果，求E(X)附：12.2.若ZN(，2)，则P(Z)0.682 6，P(2Z2)0.2(2014山西四校联考)学校设计了一个实验学科的考查方案：考生从6道备选题中一次随机抽取3道题，按照题目要求独立完成全部实验操作，并规定：在抽取的3道题中，至少正确完成其中2道题便可通过考查已知6道备选题中考生甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都为，且每题正确完成与否互不影响(1)求考生甲正确完成题目个数的分布列和数学期望；(2)用统计学知识分析比较甲、乙两考生哪位实验操作能力强及哪位通过考查的可
97、能性大？3(2014北京高考)李明在10场篮球比赛中的投篮情况统计如下(假设各场比赛相互独立)：场次投篮次数命中次数场次投篮次数命中次数主场12212客场1188主场21512客场21312主场3128客场3217主场4238客场41815主场52420客场52512(1)从上述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6的概率；(2)从上述比赛中随机选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率；(3)记为表中10个命中次数的平均数从上述比赛中随机选择一场，记X为李明在这场比赛中的命中次数比较E(X)与的大小(只需写出结论)4(2014安徽高考
98、)甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完 5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立(1)求甲在4局以内(含4局)赢得比赛的概率；(2)记X为比赛决出胜负时的总局数，求X的分布列和均值(数学期望)答案1解：(1)抽取产品的质量指标值的样本平均数和样本方差s2分别为1700.021800.091900.222000.332100.242200.082300.02200，s2(30)20.02(20)20.09(10)20.2200.331020.242020.083020.02150.(2)由(1)知，ZN(200
99、,150)，从而P(187.8Z212.2)P(20012.2Z20012.2)0.682 6.由知，一件产品的质量指标值位于区间(187.8，212.2)的概率为0.682 6，依题意知XB(100,0.682 6)，所以E(X)1000.682 668.26.2 解：(1)设考生甲正确完成实验操作的题目个数为，则的可能取值为1,2,3，P(1)，P(2)，P(3)，所以，考生甲正确完成题目数的分布列为123P所以E()1232.(2)设考生乙正确完成实验操作的题目个数为，因为B，其分布列为：P(k)Ck3k，k0,1,2,3，所以E()32.又因为D()(12)2(22)2(32)2，D(
100、)3，所以D()P(2)从做对题数的数学期望来看，两人水平相当；从做对题数的方差来看，甲较稳定从至少完成两道题的概率来看，甲获得通过的可能性较大，因此可以断定甲的实验操作能力强3解：(1)根据投篮统计数据，在10场比赛中，李明投篮命中率超过0.6的场次有5场，分别是主场2，主场3，主场5，客场2，客场4.所以在随机选择的一场比赛中，李明的投篮命中率超过0.6的概率是0.5.(2)设事件A为“在随机选择的一场主场比赛中李明的投篮命中率超过0.6”，事件B为“在随机选择的一场客场比赛中李明的投篮命中率超过0.6”，事件C为“在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超
101、过0.6”则CAB，A，B独立根据投篮统计数据，P(A)，P(B).P(C)(A)P(B).所以在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率为.(3)E(X).4解：用A表示“甲在4局以内(含4局)赢得比赛”，Ak表示“第k局甲获胜”，Bk表示“第k局乙获胜”，则P(Ak)，P(Bk)，k1,2,3,4,5.(1)P(A)P(A1A2)P(B1A2A3)P(A1B2A3A4)P(A1)P(A2)P(B1)P(A2)P(A3)P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)222.(2)X的可能取值为2,3,4,5.P(X2)P(A1A2)P(B1B2)P(A1)P(A2)P(B1)P(B2)，P(X3)P(B1A2A3)P(A1B2B3)P(B1)P(A2)P(A3)P(A1)P(B2)P(B3)，P(X4)P(A1B2A3A4)P(B1A2B3B4)P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)P(B1)P(A2)P(B3)P(B4)，P(X5)1P(X2)P(X3)P(X4).故X的分布列为X2345PX的数学期望E(X)2345.
