1、第 1 页（共 4 页）第 2 页（共 4 页）2020 届高三年级寒假考试理科数学试题（四）命题人：杨青林 2020 年 2 月 7 日 注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第（）卷 一、选择题（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合20|Mx x x，2,1,0,
2、1,2N ，则 MN （）A.0,1B.2,1-C.1D.0,1,22.已知复数 z 在复平面中对应点,x y 满足2211xy，则1z （）A.0B.1C.2D.23.“纹样”是中国艺术宝库的瑰宝，“火纹”是常见的一种传统纹样，为了测算某火纹纹样（如图阴影部分所示）的面积，作一个边长为3的正方形将其包含在内，并向该正方形内随机投掷2000个点，己知恰有800个点落在阴影部分，据此可估计阴影部分的面积是（）A.516B.518C.10D.532 4.已知正项等比数列 na中，354a a，且467,1,a aa成等差数列，则该数列公比q 为（）A.14 B.12 C.2 D.45.我国数学家陈
3、最润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界瞩目的成就.哥德巴赫猜想简述为“每个大于 2 的偶数可以表示为两个素数的和”(注:如果一个大于1的整数除了1和自身外无其他正因数，则称这个整数为素数)，如403 37.在不超过40 的素数，随机选取2 个不同的数，这两个数的和等于40 的概率是（）A.126B.122C.117D.1156.圆22 2410 xyxy 关于直线300,0axbyab 对称，则 12ab的最小值是（）A.1B.3C.5D.97.函数 23xxeecos xf xx（e 为自然对数的底数）的大致图象为（）A.B.C.D.8.若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A
4、2B1CD9.已知点12,F F 分别是双曲线2222:10,0 xyCabab的左，右焦点，O 为坐标原点，点 P 在双曲线C 的右支上，且满足1221 2,4F FOP tan PF F，则双曲线C 的离心率为（）A.5B.5C.173D.17910.设 f x 是定义在 R 上的函数，满足条件11f xfx，且当1x 时，3xf xe，则27af log，21.533,3bfcf的大小关系是（）A.abcB.acbC.bacD.cba11.已知三棱锥ABCP 内接于球O，PA平面ABC，ABC为等边三角形，且边长为3，球O的表面积为16，则直线PC与平面PAB所成的角的正弦值为（）A.7
5、15B.515C.215D.101512.已知正项数列 na的前n 项和为1,1nS a ，且2632nnnSaa.若对于任意实数2,2a.不等式2*1()211natatnNn 恒成立，则实数t 的取值范围为（）A (),22,-B.,21,()-C.,12),(-D.2 2,第（）卷 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13.平面向量a 与b 的夹角为60，且3,0a，1b ，则2ab _ 14.若实数,x y 满足约束条件,4,3,yxxyy ，则2zxy的最小值是_ 第 3 页（共 4 页）第 4 页（共 4 页）15.已知焦点在 x 轴的椭圆222:13xy
6、Cb(0)b 的左、右焦点分别为12,F F，直线 AB 过右焦点2F，和椭圆交于,A B 两点，且满足223AFF B，0160F AB，则椭圆C 的标准方程为 .16.已知函数 12,flnxaxaxg xx，且 0f x g x 在定义域内恒成立，则实数a 的取值范围为_ 三、解答题（共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22,23 题为选考题，考生根据要求作答）（一）必考题：共 60 分 17.（本小题满分 12 分）已知an，bn均为正项数列，其前 n 项和分别为 Sn，Tn，且 a1=，b1=1，b2=2，当 n
7、2，nN*时，Sn-1=1-2an，bn=-2Tn-1（1）求数列an，bn的通项公式；（2）设 cn=，求数列cn的前 n 项和 Pn 18.（本小题满分 12 分）如图，已知四边形 ABCD 为等腰梯形，BDEF 为正方形，平面 BDEF 平面 ABCD，/,1ADBC ADAB，60ABC.(1)求证:平面CDE 平面 BDEF；(2)点 M 为线段 EF 上一动点，求 BD 与平面 BCM 所成角正弦值的取值范围.19（本小题满分 12 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点(2,1)M在抛物线C：2xay上，直线l：(0)ykxb b与抛物线C 交于 A，B 两点，且直线OA，O
8、B的斜率之和为 1.（1）求a 和 k 的值；（2）若1b ，设直线l 与 y 轴交于 D 点，延长 MD 与抛物线C 交于点 N，抛物线C 在点 N 处的切线为n，记直线n，l 与 x 轴围成的三角形面积为S，求 S 的最小值.20.（本小题满分 12 分）设函数 3211232xf xexkxkx.(1)若1k，求 f x 的单调区间；(2)若 f x 存在三个极值点123,x x x，且123xxx，求k 的取值范围，并证明:13 22x xx+.21.（本小题满分 12 分）“公平正义”是社会主义和谐社会的重要特征，是社会主义法治理念的价值追求.“考试”作为一种公平公正选拔人才的有效途
9、径，正被广泛采用.每次考试过后，考生最关心的问题是:自己的考试名次是多少?自已能否被录取?能获得什么样的职位?某单位准备通过考试(按照高分优先录取的原则)录用300名，其中275 个高薪职位和25 个普薪职位.实际报名人数为2000 名，考试满分为400 分.(一般地，对于一次成功的考试来说，考试成绩应服从正态分布.)考试后考试成绩的部分统计结果如下:考试平均成绩是180分，360分及其以上的高分考生30 名.(1)最低录取分数是多少?(结果保留为整数)(2)考生甲的成绩为286 分，若甲被录取，能否获得高薪职位?若不能被录取，请说明理由.参考资料:(1)当2(,)XN 时，令XY，则0,1Y
10、N.(2)当0,1YN时，2.17()0.985P Y，1.280.900,1.()09()0.863P YP Y，1.04()0.85P Y.(二)选考题（共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分）22.在极坐标系中，已知圆的圆心6,3C，半径3r，Q 点在圆C 上运动.以极点为直角坐标系原点，极轴为 x 轴正半轴建立直角坐标系.（1）求圆C 的参数方程；（2）若 P 点在线段OQ 上，且:2:3OPPQ，求动点 P 轨迹的极坐标方程.23.已知 x，y，z 均为正数（1）若 xy1，证明：|x+z|y+z|4xyz；（2）若=，求 2xy2yz2xz的最小值