1、3.3三角恒等变换与解三角形命题角度1利用正弦定理和余弦定理解三角形高考真题体验对方向1.(2018全国17)在平面四边形ABCD中,ADC=90,A=45,AB=2,BD=5.(1)求cosADB;(2)若DC=2,求BC.解(1)在ABD中,由正弦定理得.由题设知,所以sinADB=.由题设知,ADB90,所以cosADB=.(2)由题设及(1)知,cosBDC=sinADB=.在BCD中,由余弦定理得BC2=BD2+DC2-2BDDCcosBDC=25+8-252=25.所以BC=5.2.(2017全国17)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知ABC的面积为.(1)求sin
2、 Bsin C;(2)若6cos Bcos C=1,a=3,求ABC的周长.解(1)由题设得acsin B=,即csin B=.由正弦定理得sin Csin B=.故sin Bsin C=.(2)由题设及(1)得cos Bcos C-sin Bsin C=-,即cos(B+C)=-.所以B+C=,故A=.由题设得bcsin A=,即bc=8.由余弦定理得b2+c2-bc=9,即(b+c)2-3bc=9,得b+c=.故ABC的周长为3+.3.(2017全国17)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin(A+C)=8sin2.(1)求cos B;(2)若a+c=6,ABC的面积为2
3、,求b.解(1)由题设及A+B+C=,得sin B=8sin2,故sin B=4(1-cos B).上式两边平方,整理得17cos2B-32cos B+15=0,解得cos B=1(舍去),cos B=.(2)由cos B=得sin B=,故SABC=acsin B=ac.又SABC=2,则ac=.由余弦定理及a+c=6得b2=a2+c2-2accos B=(a+c)2-2ac(1+cos B)=36-2=4.所以b=2.4.(2017全国17)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin A+cos A=0,a=2,b=2.(1)求c;(2)设D为BC边上一点,且ADAC,求AB
4、D的面积.解(1)由已知可得tan A=-,所以A=.在ABC中,由余弦定理得28=4+c2-4ccos,即c2+2c-24=0.解得c=-6(舍去),c=4.(2)由题设可得CAD=,所以BAD=BAC-CAD=.故ABD面积与ACD面积的比值为=1.又ABC的面积为42sinBAC=2,所以ABD的面积为.5.(2016全国17)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2cos C(acos B+bcos A)=c.(1)求C;(2)若c=,ABC的面积为,求ABC的周长.解(1)由已知及正弦定理得,2cos C(sin Acos B+sin Bcos A)=sin C,即2co
5、s Csin(A+B)=sin C.故2sin Ccos C=sin C.可得cos C=,所以C=.(2)由已知,absin C=.又C=,所以ab=6.由已知及余弦定理得,a2+b2-2abcos C=7.故a2+b2=13,从而(a+b)2=25.所以ABC的周长为5+.新题演练提能刷高分1.(2018山东淄博一模)在ABC中,角A,B,C对边分别为a,b,c,已知2=a2-(b+c)2.(1)求角A的大小;(2)若a=6,b=2,求ABC的面积.解(1)由已知2=a2-(b+c)2,得2bccos A=a2-(b+c)2,由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,得4bccos A
6、=-2bc,所以cos A=-.又0A,故A=.(2)由(1)知cos A=-,sin A=,由正弦定理,得sin B=,所以B=(舍去).从而C=,所以ABC的面积为S=absin C=62=3.2.(2018河南郑州第二次质量预测)ABC内接于半径为R的圆,a,b,c分别是A,B,C的对边,且2R(sin2B-sin2A)=(b-c)sin C,c=3.(1)求A;(2)若AD是BC边上的中线,AD=,求ABC的面积.解(1)由正弦定理,得2R(sin2B-sin2A)=(b-c)sin C,可化为bsin B-asin A=bsin C-csin C,即b2-a2=bc-c2,cos A
7、=,A=60.(2)以AB,AC为邻边作ABEC,在ABE中,ABE=120,AE=.在ABE中,由余弦定理得AE2=AB2+BE2-2ABBEcos 120.即19=9+AC2-23AC-,解得AC=2.故SABC=bcsin A=.3.(2018山东济南一模)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且bcos A-acos B=2c.(1)证明:tan B=-3tan A;(2)若b2+c2=a2+bc,且ABC的面积为,求a.(1)证明根据正弦定理,由已知得sin Bcos A-cos Bsin A=2sin C=2sin(A+B),展开得sin Bcos A-cos Bsi
8、n A=2(sin Bcos A+cos Bsin A),整理得sin Bcos A=-3cos Bsin A,所以tan B=-3tan A.(2)解由已知得b2+c2-a2=bc,cos A=,由0A,得A=,tan A=,tan B=-,由0B0,sin B=cos A,即cos-B=cos A.A(0,),-B0,-B=A,即A+B=.C=.(2)设BD=x,CB=a.ABC=,ACB=,AC=a,AB=2a,AD=2a+x.SACD=ACADsin A=a(2a+x),即a(2a+x)=3.在BCD中,由余弦定理可得CD2=BC2+BD2-2BCBDcosDBC,即x2+a2+ax=
9、3.联立可解得x=a=1.即BD=1.命题角度2解三角形中的最值与范围问题高考真题体验对方向(2013全国17)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=bcos C+csin B.(1)求B;(2)若b=2,求ABC面积的最大值.解(1)由已知及正弦定理得sin A=sin Bcos C+sin Csin B.又A=-(B+C),故sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C.由,和C(0,)得sin B=cos B,又B(0,),所以B=.(2)ABC的面积S=acsin B=ac.由已知及余弦定理得4=a2+c2-2accos.又a2+c22ac,
10、故ac,当且仅当a=c时,等号成立.因此ABC面积的最大值为+1.新题演练提能刷高分1.(2018四川资阳4月模拟)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且(a+b)(sin A-sin B)=c(sin C-sin B).(1)求A.(2)若a=4,求b2+c2的取值范围.解(1)根据正弦定理,得(a+b)(a-b)=c(c-b),即a2-b2=c2-bc,则,即cos A=.由于0A16,所以b2+c2的取值范围是(16,32.2.(2018山东烟台一模)在ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,(b-c)(sin B+sin C)=a(sin A-sin C).(1)求B
11、的值;(2)若b=3,求a+c的最大值.解(1)在ABC中,由正弦定理得,(b-c)(b+c)=a(a-c),即b2=a2+c2-ac,由余弦定理,得cos B=.B(0,),B=.(2)由(1)知,9=a2+c2-ac=(a+c)2-3ac.于是=ac2,解得a+c6,当且仅当a=c=3时,取等号.所以a+c的最大值为6.3.(2018辽宁大连一模)已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若b=2,且2bcos B=acos C+ccos A.(1)求B的大小;(2)求ABC面积的最大值.解(1)由2bcos B=acos C+ccos A,可得2sin Bcos B=sin Ac
12、os C+sin Ccos A=sin B,sin B0,cos B=,B=.(2)方法一:由b=2,B=,根据余弦定理可得ac=a2+c2-4,由基本不等式可得ac=a2+c2-42ac-4,所以ac4,当且仅当a=c时,等号成立.从而SABC=acsin B4,故ABC面积的最大值为.方法二:因为,所以a=sin A,c=sin C,S=acsin B=sin Asin Csin B=sin Asin-A=cos2A-+,当2A-=0,即A=时,Smax=,故ABC面积的最大值为.4.(2018贵州凯里模拟)已知在ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,m=(2cos C,acos
13、B+bcos A),n=(c,-1),且mn.(1)求角C;(2)若c=3,求ABC周长的最大值.解(1)mn,2ccos C-(acos B+bcos A)=0.由正弦定理得2sin Ccos C-(sin Acos B+cos Asin B)=0.即2sin Ccos C-sin(A+B)=0.2sin Ccos C-sin C=0.在ABC中,0C,sin C0.cos C=.C(0,),C=.(2)由余弦定理可得:c2=a2+b2-2abcos C=(a+b)2-2ab(1+cos C)=9.即(a+b)2-3ab=9,ab=(a+b)2-92.(a+b)236.a+b6,当且仅当a=
14、b=3时取等号,ABC周长的最大值为6+3=9.5.(2018山西太原二模)已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且atan A=(ccos B+bcos C).(1)求角A;(2)若点D满足=2,且BD=3,求2b+c的取值范围.解(1)atan A=(ccos B+bcos C),sin Atan A=(sin Ccos B+sin Bcos C),sin Atan A=sin(B+C)=sin A.0A3,32b+c6.6.(2018东北三省三校二模)已知ABC的三个内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若(a-c)(sin A+sin C)=b(sin A-sin B).
15、(1)求角C;(2)若ABC的外接圆半径为2,求ABC周长的最大值.解(1)由正弦定理得(a-c)(a+c)=b(a-b),a2-c2=ab-b2,即cos C=.0Ct1+,所以若小张9点半出发,则无法乘上这班客轮.(2)在ABC中,cosBAC=-,sinACB=,所以ACB为锐角,sinBAC=,cosACB=.所以sin B=sin180-(BAC+ACB)=sin(BAC+ACB)=sinBACcosACB+cosBACsinACB=.由正弦定理得,所以BC=15,所以小张由岛C直接乘小艇去城市B的总费用为f(v)=v2+v+50)=15v+1+152+1=165(v(0,30),当且仅当v=,即v=10时,f(v)min=165(元).所以若小张由岛C直接乘小艇去B市,其费用至少需165元.