1、第九节函数模型及其应用考纲传真1.了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义.2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用1常见的几种函数模型(1)一次函数模型：ykxb(k0)(2)反比例函数模型：yb(k，b为常数且k0)(3)二次函数模型：yax2bxc(a，b，c为常数，a0)(4)指数函数模型：yabxc(a，b，c为常数，b0，b1，a0)(5)对数函数模型：ymlogaxn(m，n，a为常数，a0，a1，m0)(6)幂函数模型：yaxnb(a0)2三种函数模
2、型之间增长速度的比较函数性质yax(a1)ylogax(a1)yxn(n0)在(0，)上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x的增大逐渐表现为与y轴平行随x的增大逐渐表现为与x轴平行随n值变化而各有不同值的比较存在一个x0，当xx0时，有logaxxnax3.解函数应用问题的步骤(四步八字)(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；(3)解模：求解数学模型，得出数学结论；(4)还原：将数学问题还原为实际问题以上过程用框图表示如下：
3、1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)函数y2x的函数值比yx2的函数值大()(2)幂函数增长比直线增长更快()(3)不存在x0，使ax0xlogax0.()(4)f(x)x2，g(x)2x，h(x)log2x，当x(4，)时，恒有h(x)f(x)g(x)()答案(1)(2)(3)(4)2已知某种动物繁殖量y(只)与时间x(年)的关系为yalog3(x1)，设这种动物第2年有100只，到第8年它们发展到()A100只B.200只C300只 D.400只B由题意知100alog3(21)，a100，y100log3(x1)，当x8时，y100log3 9200.3(
4、教材改编)在某种新型材料的研制中，试验人员获得了下列一组试验数据现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是()x1.953.003.945.106.12y0.971.591.982.352.61A.y2x B.ylog2xCy(x21) D.y2.61cos xB由表格知当x3时，y1.59，而A中y238，不合要求，B中ylog23(1,2)，C中y(321)4，不合要求，D中y2.61cos 30，不合要求，故选B.4一根蜡烛长20 cm，点燃后每小时燃烧5 cm，燃烧时剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(h)的函数关系用图象表示为() 【导学号：0177206
5、9】B由题意h205t,0t4.结合图象知应选B.5某市生产总值连续两年持续增加第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为_1设年平均增长率为x，则(1x)2(1p)(1q)， x1.用函数图象刻画变化过程(1)某工厂6年来生产某种产品的情况是：前3年年产量的增长速度越来越快，后3年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系图象正确的是()ABC D(2)已知正方形ABCD的边长为4，动点P从B点开始沿折线BCDA向A点运动设点P运动的路程为x，ABP的面积为S，则函数Sf(x)的图象是()【导学号：01772070】ABCD(1)
6、A(2)D(1)前3年年产量的增长速度越来越快，说明呈高速增长，只有A、C图象符合要求，而后3年年产量保持不变，产品的总产量应呈直线上升，故选A.(2)依题意知当0x4时，f(x)2x；当4x8时，f(x)8；当80)，小王骑自行车以匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又以匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图象为()Dy为“小王从出发到返回原地所经过的路程”而不是位移，故排除A，C.又因为小王在乙地休息10分钟，故排除B，故选D.应用所给函数模型解决实际问题某企业生产A，B两种产品，根据市场调查与预测，A产品的利润与投
7、资成正比，其关系如图291；B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图291.(注：利润和投资单位：万元)图291(1)分别将A，B两种产品的利润表示为投资的函数关系式；(2)已知该企业已筹集到18万元资金，并将全部投入A，B两种产品的生产若平均投入生产两种产品，可获得多少利润？问：如果你是厂长，怎样分配这18万元投资，才能使该企业获得最大利润？其最大利润约为多少万元？解(1)f(x)0.25x(x0)，g(x)2(x0).3分(2)由(1)得f(9)2.25，g(9)26，所以总利润y8.25万元.5分设B产品投入x万元，A产品投入(18x)万元，该企业可获总利润为y万元则y(18x)
8、2，0x18.7分令t，t0,3，则y(t28t18)(t4)2.所以当t4时，ymax8.5，9分此时x16,18x2.所以当A，B两种产品分别投入2万元、16万元时，可使该企业获得最大利润，约为8.5万元.12分规律方法求解所给函数模型解决实际问题的关注点：(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数(3)利用该模型求解实际问题易错警示：解决实际问题时要注意自变量的取值范围变式训练2(2017西城区二模)某市家庭煤气的使用量x(m3)和煤气费f(x)(元)满足关系f(x)已知某家庭2016年前三个月的煤气费如下表：月份用气量煤气费一月份4
9、m34元二月份25 m314元三月份35 m319元若四月份该家庭使用了20 m3的煤气，则其煤气费为()A11.5元B.11元C10.5元 D.10元A根据题意可知f(4)C4，f(25)CB(25A)14，f(35)CB(35A)19，解得A5，B，C4，所以f(x)所以f(20)4(205)11.5，故选A.构建函数模型解决实际问题(1)(2016四川高考)某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg 1.120.05，lg
10、1.30.11，lg 20.30)()A2018年 B.2019年C2020年 D.2021年(2)一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为x(xN*)件当x20时，年销售总收入为(33xx2)万元；当x20时，年销售总收入为260万元记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y万元，则y(万元)与x(件)的函数关系式为_，该工厂的年产量为_件时，所得年利润最大(年利润年销售总收入年总投资)(1)B(2)y(xN*)16(1)设2015年后的第n年该公司投入的研发资金开始超过200万元由130(112%)n200，得1.12n，两边取常用
11、对数，得n，n4，从2019年开始，该公司投入的研发资金开始超过200万元(2)当0x20时，y(33xx2)x100x232x100；当x20时，y260100x160x.故y(xN*)当0x20时，yx232x100(x16)2156，x16时，ymax156.而当x20时，160x140，故x16时取得最大年利润规律方法构建函数模型解决实际问题的常见类型与求解方法：(1)构建二次函数模型，常用配方法、数形结合、分类讨论思想求解(2)构建分段函数模型，应用分段函数分段求解的方法(3)构建f(x)x(a0)模型，常用基本不等式、导数等知识求解易错警示：求解过程中不要忽视实际问题是对自变量的限
12、制变式训练3(2016宁波模拟)某工厂生产某种产品固定成本为2 000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元又知总收入K是单位产品数Q的函数，K(Q)40QQ2，则总利润L(Q)的最大值是_万元2 500L(Q)40QQ210Q2 000Q230Q2 000(Q300)22 500.当Q300时，L(Q)的最大值为2 500万元思想与方法1认真分析题意，合理选择数学模型是解决应用问题的基础2实际问题中往往解决一些最值问题，可以利用二次函数的配方法、函数的单调性、基本不等式等求得最值3解函数应用题的程序是：审题；建模；解模；还原易错与防范1函数模型应用不当，是常见的解题错误所以，要正确理解题意，选择适当的函数模型2要特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域 3注意问题反馈在解决函数模型后，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性
