1、教案61 等差数列与等比数列（3）一、课前检测1.x=是a、x、b成等比数列的( D )条件A.充分非必要 B.必要非充分 C.充要 D.既非充分又非必要2等比数列中，若，则等于（ C ）（A）4 （B）5 （C）6 （D）42直面考点：1）等比数列的定义；2）等比数列的通项公式。略解：注：等比数列得到的方程，常常用除法消元。二、知识梳理1.基本量的思想：常设首项、（公差）比为基本量，借助于消元思想及解方程组思想等。转化为“基本量”是解决问题的基本方法。解读：“知三求二”。2.等差数列与等比数列的联系1）若数列是等差数列，则数列是等比数列，公比为，其中是常数，是的公差。（a0且a1）；2）若数
2、列是等比数列，且，则数列是等差数列，公差为，其中是常数且，是的公比。3）若既是等差数列又是等比数列,则是非零常数数列。解读：1） 2） 3）非零常数数列。3.等差与等比数列的定义、通项公式、求和公式重要性质比较等 差 数 列等 比 数 列定义an为等差数列an+1-an=d（常数），nN+2an=an-1+an+1（n2，nN+）通项公式=+（n-1）d=+（n-k）d（）求和公式中项公式等差中项：若a、b、c成等差数列，则b称a与c的等差中项，且b=；a、b、c成等差数列是2b=a+c的充要条件. an为等比数列是an+12=anan+2的充分但不必要条件.重要性质1(反之不一定成立)；特别
3、地,当时,有；特例：a1+an=a2+an-1=a3+an-2=。若m、n、l、kN*，且m+n=k+l，则aman=akal，反之不成立.特别地，。另：即：首尾颠倒相乘，则积相等2下标成等差数列且公差为m的项ak，ak+m，ak+2m，组成的数列仍为等差数列，公差为md.下标成等差数列且公差为m的项ak，ak+m，ak+2m，组成的数列仍为等比数列，公比为qm.3 成等差数列。成等比数列。三、典型例题分析题型1 等差数列与等比数列的联系例1 （2010陕西文16）已知an是公差不为零的等差数列，a11，且a1，a3，a9成等比数列.（）求数列an的通项;（）求数列2an的前n项和Sn.解：（
4、）由题设知公差d0，由a11，a1，a3，a9成等比数列得，解得d1，d0（舍去）， 故an的通项an1+（n1）1n.()由（）知=2n，由等比数列前n项和公式得Sm=2+22+23+2n=2n+1-2.变式训练1 （2010北京文16）已知an为等差数列，且，。（）求an的通项公式；（）若等比数列满足，求的前n项和公式解：（）设等差数列的公差。 因为 所以 解得所以 （）设等比数列的公比为。 因为所以即=3。 所以的前项和公式为小结与拓展：数列是等差数列，则数列是等比数列，公比为，其中是常数，是的公差。（a0且a1）.题型2 与“前n项和Sn与通项an”、常用求通项公式的结合例2 （200
5、9广东三校一模）数列an是公差大于零的等差数列，,是方程的两根。数列的前项和为,且，求数列,的通项公式。解：由.且得 , 在中,令得当时,T=,两式相减得, 变式训练2 已知数列an的前三项与数列bn的前三项对应相同，且a12a222a32n1an8n对任意的nN*都成立，数列bn1bn是等差数列求数列an与bn的通项公式。解：a12a222a32n1an8n(nN*) 当n2时，a12a222a32n2an18(n1)(nN*) 得2n1an8，求得an24n，在中令n1，可得a18241，an24n(nN*) 由题意知b18，b24，b32，b2b14，b3b22，数列bn1bn的公差为2
6、(4)2，bn1bn4(n1)22n6，法一（迭代法）bnb1(b2b1)(b3b2)(bnbn1)8(4)(2)(2n8)n27n14(nN*)法二（累加法）即bnbn12n8，bn1bn22n10，b3b22，b2b14，b18，相加得bn8(4)(2)(2n8)8n27n14(nN*)小结与拓展：1）在数列an中，前n项和Sn与通项an的关系为：.是重要考点；2）韦达定理应引起重视；3）迭代法、累加法及累乘法是求数列通项公式的常用方法。题型3 中项公式与最值（数列具有函数的性质）例3 （2009汕头一模）在等比数列an中，an0 (nN），公比q(0,1)，且a1a5 + 2a3a5 +
7、a 2a825，a3与as的等比中项为2。（1）求数列an的通项公式；（2）设bnlog2 an，数列bn的前n项和为Sn当最大时，求n的值。解：（1）因为a1a5 + 2a3a5 +a 2a825，所以， + 2a3a5 +25 又ano，a3a55 又a3与a5的等比中项为2，所以，a3a54而q（0,1），所以，a3a5，所以，a34，a51，a116，所以， （2）bnlog2 an5n，所以，bn1bn1，所以，bn是以4为首项，1为公差的等差数列。所以， 所以，当n8时，0，当n9时，0，n9时，0，当n8或9时，最大。变式训练3 （2009常德期末）已知数列的前n项和为且，数列满
8、足且（）求的通项公式；（）求证：数列为等比数列;（）求前n项和的最小值解：(1)由得, (2),; 由上面两式得,又数列是以-30为首项,为公比的等比数列. (3)由(2)得，= ，是递增数列 当n=1时, 0；当n=2时, 0；当n=3时, 0，所以,从第4项起的各项均大于0,故前3项之和最小.且 小结与拓展：1）利用配方法、单调性法求数列的最值；2）等差中项与等比中项。四、归纳与总结（以学生为主，师生共同完成）1重要思想：基本量思想、分类讨论思想、函数与方程思想。2重要方法：配方法、迭代法、累加法及累乘法。3重要考点：1）数列an中，前n项和Sn与通项an的关系为：. 2）韦达定理：一元二次方程的两个根为、，则；反过来，若，则、是方程的两根。4.等差数列与等比数列的联系1）若数列是等差数列，则数列是等比数列，公比为，其中是常数，是的公差。（a0且a1）；2）若数列是等比数列，且，则数列是等差数列，公差为，其中是常数且，是的公比。3）若既是等差数列又是等比数列,则是非零常数数列。.精品资料。欢迎使用。高考资源网w。w-w*k&s%5￥u高考资源网w。w-w*k&s%5￥u
