1、浙江省金华市东阳中学2019-2020学年高二数学下学期期中试题（含解析）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合A=1，2，3，4，B=2，4，6，则AB的元素个数是（ ）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个【答案】C【解析】试题分析：求出A与B的交集，找出交集元素的个数即可解：A=1，2，3，4，B=2，4，6，AB=2，4，则AB的元素个数是2个故选C考点：交集及其运算2.直线x+2y+3=0的斜率是（ ）A. B. C. D. 2【答案】A【解析】【分析】将直线的一般式方程整理为直线的斜截式方程,即可求出
2、直线的斜率【详解】解：由题可得,则直线斜率为故选A【点睛】本题考查直线的一般式方程与斜截式方程的转化,考查直线的斜率,是基础题3.“且”是“直线过点”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件【答案】A【解析】【分析】充分性：验证在直线上，充分性成立；必要性：点代入不一定得到且，必要性不成立.【详解】充分性：且则，验证在直线上，充分性成立；必要性：点代入得不一定得到且，必要性不成立.故选：A【点睛】充分、必要条件的三种判断方法(1)定义法：根据进行判断(2)集合法：根据成立对应的集合之间的包含关系进行判断(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命
3、题的等价性，把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断这个方法特别适合以否定形式给出的问题4.函数的最小正周期是（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据三角函数的周期公式得到结果.【详解】根据三角函数的周期公式的求法，得到：函数，=2，T=故选B【点睛】这个题目考查了三角函数的周期公式的应用，题目比较简单.存在周期性，其最小正周期为T=.5.已知，且，则实数的值为（ ）A. B. 2C. 8D. 【答案】B【解析】【分析】直接利用向量的平行的坐标运算，求出的值即可.【详解】解：已知，且，则，所以.故选：B.【点睛】本题考查平面向量共线的坐标运算，考查计算能力.6.已知等比数列中，
4、则由此数列的偶数项所组成的新数列的前n项的和为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】因为等比数列中，则由此数列的偶数项所组成的新数列的前n项的和为公比为9，首项为6，那么利用前n项和公式可知为，选D7.中，角所对的边分别为，若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据正弦定理得到，结合两角和的正弦公式即可得到答案.【详解】，则，即，因为，所以，所以，故选：C.【点睛】本题考查了正弦定理，意在考查学生的计算能力和应用能力.8.设椭圆的离心率为,焦点在轴上且长轴长为26,若曲线上的点到椭圆的两个焦点的距离的差的绝对值等于8,则曲线的标准方程为（ ）A. B. C.
5、D. 【答案】A【解析】【分析】根据椭圆焦点在轴上且长轴长为26，得到，再由椭圆的离心率为，得到，再根据曲线上的点到椭圆的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，得到双曲线与椭圆共焦点以及实半轴长求解.【详解】因为椭圆焦点在轴上且长轴长为26，所以，又因为椭圆离心率为，所以，因为曲线上的点到椭圆的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，所以，所以曲线的标准方程为.故选：A【点睛】本题主要考查椭圆和双曲线的几何性质，还考查了运算求解的能力，属于基础题.9.设x，y满足约束条件，若目标函数的最大值为12，则的最小值为（ ）A. B. C. 1D. 2【答案】A【解析】【分析】【详解】因为解：不等式表示的平面区
6、域如图所示阴影部分，当直线ax+by=z（a0，b0）过直线x-y+2=0与直线3x-y-6=0的交点A（4，6）时，目标函数z=ax+by（a0，b0）取得最大12，即，所以，当且仅当时等号成立.故选：A.10.定义域为的偶函数满足对任意的实数，有，且当时，若函数在上至少有三个零点，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】首先根据题意得到函数为上的偶函数，且周期为，令，画出，在区间的图象，将函数在上至少有三个零点，转化为函数与在上至少有三个交点，列出不等式组，从而得到的取值范围.【详解】由题知：，令，.因为为偶函数，所以，即.所以，即的周期为.又因为，所以函数的
7、图象关于对称.设，当时，画出，在区间的图象，如图所示：因为函数在上至少有三个零点，所以函数与在上至少有三个交点.所以，解得故选：B【点睛】本题主要考查函数的零点问题，根据题意画出函数的图象为解题的关键，同时考查了数形结合的思想，属于中档题.二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分.11.已知，则_，_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】利用二倍角公式和诱导公式计算即可.【详解】，.故答案为：；【点睛】本题主要考查二倍角公式和诱导公式，熟记公式为解题的关键，属于简单题.12.若函数是偶函数，则_，值域为_【答案】 (1). 2 (2). 【解析】【分析
8、】首先根据为偶函数，利用即可算出的值，再利用，即可得到函数的值域.【详解】，定义域为.因为为偶函数，所以.所以，即.，因为，所以.即值域为.故答案为：；【点睛】本题主要考查函数的奇偶性，同时考查了二次函数的值域问题，属于简单题.13.在等差数列中，若，则_，_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】首先根据，即可得到的值，再根据，利用诱导公式即可得到的值.【详解】因为，所以，.因为，所以.故答案为：；【点睛】本题主要考查等差数列的性质，同时考查了三角函数的诱导公式，属于简单题.14.一个几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的表面积为_该该几何体的体积为_【答案】 (1).
9、(2). 【解析】【分析】首先将三视图还原几何体得到直观图为正四棱锥，再根据三视图的长度计算表面积和体积即可.【详解】由题知：该几何体为正四棱锥，为底面的中心，直观图如图所示：因为，所以该几何体的表面积，所以该几何体的体积故答案为：；【点睛】本题主要考查三视图的还原，同时考查了四棱锥的体积和表面积，属于简单题.15.过点的直线与抛物线交于两点，且则此直线的方程为_.【答案】8x-y-15=0【解析】【分析】为中点，设，相减得到，故，计算得到答案.【详解】，故为中点，设，则，相减得到，故，故直线方程为：，即.故答案为：.【点睛】本题考查了点差法求直线方程，意在考查学生的计算能力和转化能力.16.
10、若函数在区间内是增函数，则实数的取值范围是_ .【答案】【解析】【分析】先求得导函数，根据导函数与函数单调性关系，结合所给区间，即可求得的取值范围.【详解】函数，则，函数在区间内是增函数，所以在区间内恒成立，即在区间内恒成立，所以在区间内恒成立，所以，即.故答案为：.【点睛】本题考查了导函数与函数单调性关系，根据函数单调区间求参数的取值范围，属于基础题.17.若对任意且，不等式恒成立， 则实数的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】等价变形分离变量，再利用换元法及已知范围求解.【详解】,设 ，且，故答案为：【点睛】解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数一般地，知道谁的范围，就选谁当主元，
11、求谁的范围，谁就是参数即把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18.已知向量，且分别是锐角三角形三边所对的角.（1）求的大小； （2）若成等比数列，且，求的值.【答案】（1）（2）6【解析】【分析】（1）根据向量数量积得到，计算得到答案.（2）根据题意，计算得到答案.【详解】（1） ，即，所以，又因为是锐角三角形内角，所以.（2）因为，又，所以，即，即，所以.【点睛】本题考查了向量的数量积，等比数列的性质，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.19.设数列是公差大于零的等差数列，已
12、知. （1）求数列的通项公式；（2）设数列是以为首项，以为公比的等比数列，求数列的前项和【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）直接利用等差数列公式计算得到答案.（2），利用分组求和法计算得到答案.【详解】（1），故，解得或（舍去）.故.（2），则，故.【点睛】本题考查了等差数列的通项公式，分组求和法，意在考查学生对于数列公式方法的灵活运用.20.在四棱锥中，平面，.（1）证明：平面；（2）若二面角的大小为，求的值.【答案】（1）见解析（2）【解析】【详解】试题分析：（1）要证平面，从而通过证明，即可（2）作于点，连接由（1）知平面，故所以平面，从而得，故是二面角的平面角，由在中，得出等式解
13、方程即可试题解析：（1）证明：设为与的交点，作于点由四边形是等腰梯形得，所以，从而得，所以，即由平面得，因为，所以平面 （2）解：作于点，连接由（1）知平面，故所以平面，从而得，故是二面角的平面角，所以在中，由，得在中，设，可得解得，即21.已知椭圆离心率，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.（1）求椭圆的方程；（2）设过点直线与椭圆相交另一点，若，求直线的倾斜角.【答案】（1）；（2） 或【解析】【分析】（1）根据离心率，和菱形的面积为4，即求解。（2）由（1）可知点A的坐标是（-2，0）.设点B的坐标为，直线l的斜率为k.则直线l的方程为y=k（x+2）.与椭圆方程联立消去y并整理，得
14、.再利用两点间的距离公式，通过求解。【详解】（1）由，得.因为，所以.由题意可知，即.所以.所以椭圆的方程为.（2）由（1）可知点A的坐标是（-2，0）.设点B的坐标为，直线l的斜率为k.则直线l的方程为y=k（x+2）.直线l的方程与椭圆方程联立消去y并整理，得.由，得.从而.所以.由，得.整理得，即，解得k=.适合所以直线l的倾斜角为或.【点睛】本题主要考查椭圆方程的求法和直线与椭圆的位置关系，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题。22.设函数（1）求函数的最小值；（2）设，讨论函数的单调性；（3）斜率为的直线与曲线交于、两点，求证：【答案】（1）；（2）当时，在上增函数；当
15、时，在上单调递增，在上单调递减；（3）见解析.【解析】【分析】（1）对函数求导，求其单调区间，即可求出极值，可得最小值；（2）分别讨论和时函数的单调性；（3）将直线斜率用表示出来，将要证的不等式转化为证（），最后讨论函数（）和（）单调性，即可证明原题.【详解】（1），令，得因为当时；当时，所以当时，（2），当时，恒有，在上是增函数；当时，令，得，解得；令，得，解得，综上，当时，在上是增函数；当时，在上单调递增，在上单调递减 (3) 要证，即证，等价于证，令，则只要证，由知，故等价于证 (*) 设，则，故在上是增函数， 当时，即 设，则，故在上是增函数， 当时，即由知(*)成立，得证【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、最值以及不等式的证明，属于难题.不等式证明问题是近年高考命题的热点，利用导数证明不等主要方法有两个，一是比较简单的不等式证明，不等式两边作差构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出函数的最值即可；二是较为综合的不等式证明，要观察不等式特点，结合已解答的问题把要证的不等式变形，并运用已证结论先行放缩，然后再化简或者进一步利用导数证明.
