1、第七节双曲线(一)1(2013福州质检)设F1、F2分别是双曲线x21的左、右焦点若点P在双曲线上，且|PF1|5，则|PF2|()A5 B3 C7 D3或7解析：因为|PF1|PF2|2，所以|PF2|7或3.故选D.答案：D2已知M(2,0)、N(2,0)，|PM|PN|3，则动点P的轨迹是()A双曲线 B双曲线左边一支C双曲线右边一支 D一条射线解析：因为|PM|PN|34，由双曲线定义知，其轨迹为双曲线的一支，又因为|PM|PN|，所以点P的轨迹为双曲线的右支故选C.答案：C3已知F1、F2为双曲线C：x2y22的左、右焦点，点P在C上，|PF1|2|PF2|，则cosF1PF2()A
2、. B. C. D.解析：由x2y22，得ab，c2.因为|PF1|PF2|2a，|PF1|2|PF2|，所以|PF1|4，|PF2|2，|F1F2|2c4.由余弦定理，得cosF1PF2.答案：C4(2013深圳一模)双曲线x2my21的实轴长是虚轴长的2倍，则m等于()A1 B2 C3 D4解析：双曲线x2my21化为x21，所以a21，b2，因为实轴长是虚轴长的2倍，所以2a22b，化为a24b2,1，解得m4.故选D.答案：D5已知双曲线C：1的焦距为10，点P(2,1)在C 的渐近线上，则C的方程为()A.1 B.1C.1 D.1解析：设双曲线C：1的半焦距为c，则2c10，c5.又
3、双曲线的渐近线为yx，点P (2,1)在C的渐近线上，12，即a2b.又c2a2b2，a2，b，所以C的方程为1.故选A.答案：A6已知双曲线C：1，直线l过其左焦点F1，交双曲线左支于A，B两点，且|AB|4，F2为双曲线的右焦点，ABF2的周长为20，则m的值为()A8 B9 C16 D20解析：由已知，|AB|AF2|BF2|20，又|AB|4，则|AF2|BF2|16.据双曲线定义知，2a|AF2|AF1|BF2|BF1|，4a(|AF2|BF2|)(|AF1|BF1|)16412，即a3，ma29.故选B. 答案：B7P是双曲线1的右支上一点，点M，N分别是圆(x5)2y24和(x5
4、)2y21上的动点，则|PM|PN|的最小值为()A1 B2 C3 D4解析：设双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，依题意有|PF1|PF2|2a6，两圆的半径分别为r12，r21，又由三角形中的边的关系可得：|PM|r1|PF1|，|PN|PF2|r2，即|PN|PF2|r2，|PM|PN|PF1|PF2|r1r23.故选C.答案：C8(2013陕西卷)双曲线1的离心率为， 则m_.解析：依题意有，即，解得m9.答案：99. (2013揭阳二模)过双曲线1的右焦点，且平行于经过一、三象限的渐近线的直线方程是_解析：因为双曲线的方程为1，所以a29，b216，得c5，因此，该双曲线右焦点的坐标
5、为F(5,0)因为双曲线1的渐近线方程为yx，所以双曲线经过一、三象限的渐近线斜率为k，所以经过双曲线右焦点，且平行于经过一、三象限的渐近线的直线方程是y(x5)化为一般式，得4x3y200.答案：4x3y20010F1，F2是双曲线x21的两个焦点，过点F2作与x轴垂直的直线和双曲线的一个交点为A，满足|，则m的值为_解析：由|，可知2c.又a1，b，c，m2，解得m22.又m0，m22.答案：2211已知动圆M与圆C1：(x4)2y22外切，与圆C2：(x4)2y22内切，求动圆圆心M的轨迹方程解析：设动圆M的半径为r，则由已知|MC1|r，|MC2|r，|MC1|MC2|2.又C1(4,
6、0)，C2(4,0)，|C1C2|8，2|C1C2|.根据双曲线定义知，点M的轨迹是以C1(4,0)，C2(4,0)为焦点的双曲线的右支a，c4，b2c2a214，点M的轨迹方程是1(x)12已知点M(2,0)，N(2,0)，动点P满足条件|PM|PN|2.记动点P的轨迹为W.(1)求W的方程；(2)若A，B是W上的不同两点，O是坐标原点，求的最小值解析：(1)依题意，点P的轨迹是以M，N为焦点的双曲线的右支，所求方程为1 (x)(2)当直线AB的斜率不存在时，设直线AB的方程为xx0，此时A(x0, )，B(x0，)，则2.当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为ykxb，代入双曲线方程1
7、中，得(1k2)x22kbxb220.依题意可知方程有两个不相等的正数根，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 解得|k|1.又x1x2y1y2x1x2(kx1b)(kx2b)(1k2)x1x2kb(x1x2)b222.综上可知，的最小值为2.13双曲线C：1(a0，b0)的一条渐近线方程是yx，坐标原点到直线AB的距离为，其中A(a,0)，B(0，b)(1)求双曲线的方程；(2)若B1是双曲线虚轴在y轴正半轴上的端点，过点B作直线交双曲线于点M，N，求当时，直线MN的方程解析：(1)设直线AB的方程为1，由已知条件得解得a，b3.双曲线方程为1. (2)由(1)知B(0，3)，B1(0,
8、3)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线l：ykx3.由消去y，整理得(3k2)x26kx180，x1x2，y1y2k(x1x2)6，x1x2，y1y2k2x1x23k(x1x2)99.(x1，y13)，(x2，y23)，0，x1x2y1y23(y1y2)90，即990，解得k25，k，代入ykx3中，得yx3为所求方程14(2013大纲全国卷)已知双曲线C：1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1、F2，离心率为3，直线y2与C的两个交点间的距离为.(1)求a，b；(2)设过F2的直线l与C的左、右两支分别交于A，B两点，且|AF1|BF1|，证明：|AF2|，|AB|，|BF2|成等比
9、数列(1)解析：由题设知3，即9，故b28a2.所以C的方程为8x2y28a2.将y2代入上式，求得x.由题设知，2，解得a21.所以a1，b2.(2)证明：由(1)知，F1(3,0)，F2(3,0)，C的方程为8x2y28.由题意可设l的方程为yk(x3)，|k|2 ，代入并化简得(k28)x26k2x9k280.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x11，x21，x1x2，x1x2.于是|AF1|(3x11)，|BF1|3x21.由|AF1|BF1|得(3x11)3x21，即x1x2.故，解得k2，从而x1x2.由于|AF2|13x1，|BF2|3x21，故|AB|AF2|BF2|23(x1x2)4，|AF2|BF2|3(x1x2)9x1x2116.因而|AF2|BF2|AB|2，所以|AF2|，|AB|，|BF2|成等比数列