1、第 4 讲 基本不等式最新考纲1了解基本不等式的证明过程2会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.知 识 梳 理1基本不等式：abab2(1)基本不等式成立的条件：a0，b0.(2)等号成立的条件：当且仅当 ab 时取等号(3)其中ab2 称为正数 a，b 的算术平均数，ab称为正数 a，b 的几何平均数2几个重要的不等式(1)重要不等式：a2b22ab(a，bR)当且仅当 ab 时取等号(2)abab22(a，bR)，当且仅当 ab 时取等号(3)a2b22ab22(a，bR)，当且仅当 ab 时取等号(4)baab2(a，b 同号)，当且仅当 ab 时取等号3利用基本不等式求最值已知 x
2、0，y0，则(1)如果积 xy 是定值 p，那么当且仅当 xy 时，xy 有最小值是 2 p(简记：积定和最小)(2)如果和 xy 是定值 s，那么当且仅当 xy 时，xy 有最大值是s24(简记：和定积最大)辨 析 感 悟1对基本不等式的认识(1)当 a0，b0 时，ab2 ab.()(2)两个不等式 a2b22ab 与ab2 ab成立的条件是相同的()2对几个重要不等式的认识(3)(ab)24ab(a，bR)()(4)2abab 21a1b abab2 a2b22.()(5)a2b2c2abbcca(a，b，cR)()3利用基本不等式确定最值(6)函数 ysin x 4sin x，x0，2
3、 的最小值为 4.()(7)(2014福州模拟改编)若 x3，则 x 4x3的最小值为 1.()(8)(2013四川卷改编)已知函数 f(x)4xax(x0，a0)在 x3 时取得最小值，则 a36.()感悟提升两个防范 一是在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正各项均为正；二定积或和为定值；三相等等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误对于公式 ab2 ab，abab22，要弄清它们的作用、使用条件及内在联系，两个公式也体现了 ab 和 ab 的转化关系如(2)、(4)、(6)二是在利用不等式求最值时，一定要尽量避免多次使用基本不等式若必须多次使用，则一定要保
4、证它们等号成立的条件一致.学生用书第 103 页考点一 利用基本不等式证明简单不等式【例 1】已知 x0，y0，z0.求证：yxzx xyzy xzyz 8.证明 x0，y0，z0，yxzx2 yzx0，xyzy2 xzy0，xzyz2 xyz0，yxzx xyzy xzyz 8 yz xzxyxyz8.当且仅当 xyz 时等号成立规律方法 利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，证明思路是从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理最后转化为需证问题【训练 1】已知 a0，b0，c0，且 abc1.求证：1a1b1c9.证明 a0，b0，c0
5、，且 abc1，1a1b1cabcaabcbabcc3bacaabcbacbc3baab caac cbbc32229，当且仅当 abc13时，取等号考点二 利用基本不等式求最值【例 2】(1)(2013山东卷)设正实数 x，y，z 满足 x23xy4y2z0，则当xyz 取得最大值时，2x1y2z的最大值为()A0 B1 C.94D3(2)(2014广州一模)已知2x2y1，(x0，y0)，则 xy 的最小值为()A1 B2 C4 D8审题路线(1)x23xy4y2z0变形得 zx23xy4y2代入 zxy变形后利用基本不等式取等号的条件把2x1y2z转化关于1y的一元二次函数利用配方法求最
6、大值解析(1)由 x23xy4y2z0，得 zx23xy4y2，xyz xyx23xy4y21xy4yx 3.又 x，y，z 为正实数，xy4yx 4，当且仅当 x2y 时取等号，此时 z2y2.2x1y2z 22y1y 22y21y22y1y1 21，当1y1，即 y1 时，上式有最大值 1.(2)x0，y0，xy(xy)2x2y 42xyyx 44xyyx8.当且仅当xyyx，即 xy4 时取等号答案(1)B(2)D规律方法 条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数代换的方法构造和或积为常
7、数的式子，然后利用基本不等式求解最值【训练 2】(1)若正数 x，y 满足 x3y5xy，则 3x4y 的最小值是()A.245B.285C5 D6(2)(2014浙江十校联考)若正数 x，y 满足 4x29y23xy30，则 xy 的最大值是()A.43B.53C2 D.54解析(1)由 x3y5xy 可得 15y 35x1，3x4y(3x4y)15y 35x 95453x5y12y5x 135 125 5(当且仅当3x5y12y5x，即x1，y12时，等号成立)，3x4y 的最小值是 5.(2)由 x0，y0，得 4x29y23xy2(2x)(3y)3xy(当且仅当 2x3y 时等号成立)
8、，12xy3xy30，即 xy2，xy 的最大值为 2.答案(1)C(2)C考点三 基本不等式的实际应用【例 3】(2014济宁期末)小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为 3 万元，每生产 x 万件，需另投入流动成本为 W(x)万元，在年产量不足 8 万件时，W(x)13x2x(万元)在年产量不小于 8 万件时，W(x)6x100 x 38(万元)每件产品售价为 5 元通过市场分析，小王生产的商品能当年全部售完(1)写出年利润 L(x)(万元)关于年产量 x(万件)的函数解析式；(注：年利润年销售收入固定成本流动成本)(2)年产量为多少
9、万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？解(1)因为每件商品售价为 5 元，则 x 万件商品销售收入为 5x 万元，依题意得，当 0 x8 时，L(x)5x13x2x 313x24x3；当 x8 时，L(x)5x 6x100 x 38 3 35 x100 x.所 以 L(x)13x24x3，0 x8，35x100 x，x8.(2)当 0 x8 时，L(x)13(x6)29.此时，当 x6 时，L(x)取得最大值 L(6)9 万元，当 x8 时，L(x)35x100 x352x100 x 352015，此时，当且仅当 x100 x 时，即 x10 时，L(x)取得最大值 15
10、 万元915，所以当年产量为 10 万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大最大利润为 15 万元规律方法(1)利用基本不等式解决实际问题时，应先仔细阅读题目信息，理解题意，明确其中的数量关系，并引入变量，依题意列出相应的函数关系式，然后用基本不等式求解(2)在求所列函数的最值时，若用基本不等式时，等号取不到，可利用函数单调性求解【训练 3】为响应国家扩大内需的政策，某厂家拟在 2013 年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量(即该厂的年产量)x 万件与年促销费用 t(t0)万元满足 x4k2t1(k 为常数)如果不搞促销活动，则该产品的年销量只能是 1 万件已知 2013 年生产该产品
11、的固定投入为 6 万元，每生产 1 万件该产品需要再投入 12 万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的 1.5 倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分)(1)将该厂家 2013 年该产品的利润 y 万元表示为年促销费用 t 万元的函数；(2)该厂家 2013 年的年促销费用投入多少万元时，厂家利润最大？解(1)由题意有 14k1，得 k3，故 x432t1.y1.5612xxx(612x)t36xt36432t1 t27 182t1t(t0)(2)由(1)知：y27 182t1t27.59t12 t12.由基本不等式 9t12t12 2 9t12t12 6，当且仅当 9t12t1
12、2，即 t2.5 时等号成立，故 y27 182t1t27.59t12 t1227.5621.5.当且仅当 9t12t12时，等号成立，即 t2.5 时，y 有最大值 21.5.所以 2013 年的年促销费用投入 2.5 万元时，该厂家利润最大，最大利润为 21.5 万元1基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常常用于比较数(式)的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用基本不等式的切入点2连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致 教你审题 7如何挖掘基本不等式中的“相等”【典例】(2013天
13、津卷)设 ab2，b0，则 12|a|a|b 取得最小值为_审题 一审条件：ab2，b0，转化为条件求最值问题；二审问题：12|a|a|b 转化为“1”的代换；三审过程：利用基本不等式时取等号的条件解析 因为 ab2，所以 12|a|a|b ab4|a|a|b a4|a|b4|a|a|b a4|a|2b4|a|a|b a4|a|114134，当且仅当 b4|a|a|b，a0，即 a2，b4 时取等号，故12|a|a|b 的最小值为34.答案 34反思感悟 在求解含有两个变量的代数式的最值问题时，通常的解决办法是变量替换或常值“1”的替换，即由已知条件得到某个式子的值为常数，然后将欲求最值的代数
14、式乘上常数，再对代数式进行变形整理，从而可利用基本不等式求最值【自主体验】(2013台州一模)设 x，y 均为正实数，且 32x 32y1，则 xy 的最小值为()A4 B4 3C9 D16解析 由 32x 32y1 可化为 xy8xy，x，y 均为正实数，xy8xy82 xy(当且仅当 xy 时等号成立)，即 xy2 xy80，解得 xy4，即 xy16，故 xy 的最小值为 16.答案 D对应学生用书 P303基础巩固题组(建议用时：40 分钟)一、选择题1(2014泰安一模)若 a，bR，且 ab0，则下列不等式中，恒成立的是()Aab2 abB.1a1b 2abC.baab2 Da2b
15、22ab解析 因为 ab0，即ba0，ab0，所以baab2baab2.答案 C2(2014杭州一模)设 a0，b0.若 ab1，则1a1b的最小值是()A2 B.14C4 D8解析 由题意1a1baba abb 2baab22baab4，当且仅当baab，即 ab12时，取等号，所以最小值为 4.答案 C3(2013金华十校模拟)已知 a0，b0，a，b 的等比中项是 1，且 mb1a，na1b，则 mn 的最小值是()A3 B4 C5 D6解析 由题意知：ab1，mb1a2b，na1b2a，mn2(ab)4 ab4.答案 B4(2012陕西卷)小王从甲地到乙地的时速分别为 a 和 b(ab
16、)，其全程的平均时速为 v，则()Aav abBv abC.abvab2Dvab2解析 设甲、乙两地之间的距离为 s.ab，v 2ssasb 2sababs 2ababa2a2ab 0，va.答案 A5(2014兰州模拟)已知函数 yx4 9x1(x1)，当 xa 时，y 取得最小值b，则 ab()A3 B2 C3 D8解析 yx4 9x1x1 9x15，由 x1，得 x10，9x10，所以由基本不等式得 yx1 9x152x1 9x151，当且仅当 x19x1，即(x1)29，所以 x13，即 x2 时取等号，所以 a2，b1，ab3.答案 C二、填空题6(2014广州模拟)若正实数 a，b
17、 满足 ab2，则(12a)(1b)的最小值为_解析(12a)(1b)52ab52 2ab9.当且仅当 2ab，即 a1，b2时取等号答案 97已知 x，yR，且满足x3y41，则 xy 的最大值为_解析 x0，y0 且 1x3y42xy12，xy3.当且仅当x3y4，即当 x32，y2 时取等号答案 38函数 ya1x(a0，a1)的图象恒过定点 A，若点 A 在直线 mxny10(mn0)上，则1m1n的最小值为_解析 ya1x 恒过点 A(1,1)，又A 在直线上，mn1.而1m1nmnm mnn2nmmn224，当且仅当 mn12时，取“”，1m1n的最小值为 4.答案 4三、解答题9
18、已知 a0，b0，ab1，求证：1a1b 1ab8.证明 1a1b 1ab1a1babab 21a1b，ab1，a0，b0，1a1baba abb 2abba224，1a1b 1ab8当且仅当ab12时等号成立.10已知 x0，y0，且 2x5y20.(1)求 ulg xlg y 的最大值；(2)求1x1y的最小值解(1)x0，y0，由基本不等式，得 2x5y2 10 xy.2x5y20，2 10 xy20，xy10，当且仅当 2x5y 时，等号成立因此有2x5y20，2x5y，解得x5，y2，此时 xy 有最大值 10.ulg xlg ylg(xy)lg 101.当 x5，y2 时，ulg
19、xlg y 有最大值 1.(2)x0，y0，1x1y1x1y 2x5y20 12075yx 2xy 12072 5yx 2xy 72 1020，当且仅当5yx 2xy 时，等号成立由2x5y20，5yx 2xy，解得x10 10203，y204 103.1x1y的最小值为72 1020.能力提升题组(建议用时：25 分钟)一、选择题1已知 x0，y0，且2x1y1，若 x2ym22m 恒成立，则实数 m 的取值范围是()A(，24，)B(，42，)C(2,4)D(4,2)解析 x0，y0 且2x1y1，x2y(x2y)2x1y 44yx xy42 4yx xy8，当且仅当4yx xy，即 x4
20、，y2 时取等号，(x2y)min8，要使 x2ym22m 恒成立，只需(x2y)minm22m 恒成立，即 8m22m，解得4m1，xy0，若目标函数 zxy 取得最大值 4，则实数 a 的值为()A4 B3 C2 D.32解析 作出可行域，由题意可知可行域为ABC 内部及边界，yxz，则 z 的几何意义为直线在 y 轴上的截距，将目标函数平移可知当直线经过点 A 时，目标函数取得最大值 4，此时 A 点坐标为(a，a)，代入得 4aa2a，所以 a2.答案 C9(2014湖州模拟)设 x，y 满足约束条件3xy60，xy20，x0，y0.若目标函数 zaxby(a0，b0)的最大值为 12
21、，则2a3b的最小值为()A.256B.83C.113D4解析 不等式表示的平面区域如图所示阴影部分当直线 axbyz(a0，b0)过直线 xy20 与直线 3xy60 的交点(4,6)时，目标函数 zaxby(a0，b0)取得最大值 12，即 4a6b12，即 2a3b6.所以2a3b2a3b 2a3b6136 baab136 2256(当且仅当 ab65时等号成立)答案 A10(2014金丽衢十二校联考)已知任意非零实数 x，y 满足 3x24xy(x2y2)恒成立，则实数 的最小值为()A4 B5 C.115D.72解析 依题意，得 3x24xy3x2x2(2y)24(x2y2)，因此有
22、3x24xyx2y2 4，当且仅当 x2y 时取等号，即3x24xyx2y2 的最大值是 4，结合题意得 3x24xyx2y2，故 4，即 的最小值是 4.答案 A二、填空题11(2013烟台模拟)已知关于 x 的不等式 ax22xc0 的解集为13，12，则不等式cx22xa0 的解集为_解析 由 ax22xc0 的解集为13，12 知 a0，即 2x22x12k 的解集为x|x2，求 k 的值；(2)若对任意 x0，f(x)t 恒成立，求实数 t 的范围解(1)f(x)kkx22x6k0，由已知其解集为x|x2，得 x13，x22 是方程 kx22x6k0 的两根，所以232k，即 k25
23、.(2)x0，f(x)2xx26 2x6x 66，由已知 f(x)t 对任意 x0 恒成立，故实数 t 的取值范围是66，.17(2013广州诊断)某单位决定投资 3 200 元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价 40 元，两侧墙砌砖，每米长造价 45 元，顶部每平方米造价 20 元，求：仓库面积 S 的最大允许值是多少？为使 S 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？解 设铁栅长为 x 米，一侧砖墙长为 y 米，则顶部面积 Sxy，依题设，得 40 x245y20 xy3 200，由基本不等式，得 3 2002 40 x90y
24、20 xy120 xy20 xy120 S20S，则S6 S1600，即(S10)(S16)0，故0 S10，从而 0S100，所以 S 的最大允许值是 100 平方米，取得此最大值的条件是 40 x90y 且 xy100，解得 x15，即铁栅的长应设计为 15 米18(2014泉州调研)已知函数 f(x)x33ax23x1.(1)当 a 2时，讨论 f(x)的单调性；(2)若 x2，)时，f(x)0，求 a 的取值范围解(1)当 a 2时，f(x)x33 2x23x1.f(x)3x26 2x3.令 f(x)0，得 x 21 或 21.当 x(，21)时，f(x)0，f(x)在(，21)上是增
25、函数；当 x(21，21)时，f(x)0，f(x)在(21，21)上是减函数；当 x(21，)时，f(x)0，f(x)在(21，)上是增函数(2)法一 当 x2，)时，f(x)0，3ax2x33x1，ax31x 13x2，设 g(x)x31x 13x2，求 g(x)的最大值即可，则 g(x)13 1x2 23x3x33x23x3，设 h(x)x33x2，则 h(x)3x23，当 x2 时，h(x)0，h(x)在2，)上单调递减，g(x)在2，)上单调递减，g(x)g(2)0，g(x)在(2，)上单调递减，g(x)maxg(2)54，a54.法二 因为 x2，)时，f(x)0，所以由 f(2)0，得 a54.当 a54，x(2，)时，f(x)3(x22ax1)3x252x1 3x12(x2)0，所以 f(x)在(2，)上是增函数，于是当 x2，)时，f(x)f(2)0.综上，a 的取值范围是54，.学生用书第 105 页教育工作中的百分之一的废品，就会使国家遭受严重的损失。马卡连柯教师应当善于组织，善于行动，善于运用诙谐，既要快乐适时，又要生气得当。教师应当能让自己的每一举动都能对自己起教育的作用，并且永远应当知道当时自己所希望的是什么，所不希望的是什么。如果一个教师不了解这一点，那他还能教育谁呢？马卡连柯
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