1、2.1.2数列的递推公式(选学)1.理解递推公式的含义.(重点)2.掌握递推公式的应用.(难点)3.会求数列中的最大(小)项.(易错点)基础初探教材整理数列的递推公式阅读教材P29P30，完成下列问题.1.数列递推公式(1)两个条件：已知数列的第1项(或前几项)；从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示.(2)结论：具备以上两个条件的公式叫做这个数列的递推公式.2.数列递推公式与通项公式的关系递推公式通项公式区别表示an与它的前一项an1(或前几项)之间的关系表示an与n之间的关系联系(1)都是表示数列的一种方法；(2)由递推公式求出前几项
2、可归纳猜想出通项公式1.下列说法中正确的有_.(填序号)根据通项公式可以求出数列的任意一项；有些数列可能不存在最大项；递推公式是表示数列的一种方法；所有的数列都有递推公式.【解析】正确.只需将项数n代入即可求得任意项.正确.对于无穷递增数列，是不存在最大项的.正确.递推公式也是给出数列的一种重要方法.错误.不是所有的数列都有递推公式.例如 精确到1,0.1,0.01,0.001，的近似值排列成一列数：1，1.4，1.41,1.414，就没有递推公式.【答案】2.已知数列an满足a11，an2an11(n2)，则a5_.【解析】因为a11，an2an11(n2)，所以a23，a37，a415，所
3、以a52a4131.【答案】313.已知非零数列an的递推公式为a11，anan1(n1)，则a4_.【解析】依次对递推公式中的n赋值，当n2时，a22；当n3时，a3a23；当n4时，a4a34.【答案】44.已知数列an中，a1，an11，则a5_.【解析】因为a1，an11，所以a21123，a31，a41，a5123.【答案】3小组合作型由递推关系写数列的项(1)已知数列an满足关系anan11an1(nN)且a2 0162，则a2 015等于()A.B.C.D.(2)已知数列an，a11，a22，anan1an2(n3)，则a5_.【精彩点拨】结合已知项逐步代入递推公式求解.【自主解
4、答】(1)由anan11an1，得an1，又a2 0162，a2 015，故选C.(2)由题知a3a2a13，a4a3a25，a5a4a38.【答案】(1)C(2)8由递推公式写出数列的项的方法：(1)根据递推公式写出数列的前几项，首先要弄清楚公式中各部分的关系，依次代入计算即可.(2)若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式，如an2an11.(3)若知道的是首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式，如an1.再练一题1.已知数列an的第一项a11，以后的各项由公式an1给出，试写出这个数列的前5项. 【导学号：18082018】【解】a11，an1，a
5、2，a3，a4，a5.故该数列的前5项为1，.数列的最大(小)项的求法已知数列an的通项公式an(n1)n(nN)，试问数列an有没有最大项？若有，求最大项和最大项的项数；若没有，说明理由.【精彩点拨】【自主解答】法一：an1an(n2)n1(n1)nn，当n0，即an1an；当n9时，an1an0，即an1an；当n9时，an1an0，即an1an，故a1a2a3a11a12，所以数列中有最大项，最大项为第9、10项，即a9a10.法二：设ak是数列an的最大项.则即整理得得9k10，k9或10，即数列an中的最大项为a9a10.求数列的最大(小)项的两种方法：一是利用判断函数增减性的方法，
6、先判断数列的增减情况，再求数列的最大项或最小项；如本题利用差值比较法来探讨数列的单调性，以此求解最大项.二是设ak是最大项，则有对任意的kN且k2都成立，解不等式组即可.再练一题2.已知数列an的通项公式为ann25n4.(1)数列中有多少项是负数？ 【导学号：18082019】(2)n为何值时，an有最小值？并求出最小值.【解】(1)由n25n40，解得1n4.nN，n2,3.数列中有两项是负数.(2)法一：ann25n4，可知对称轴方程为n2.5.又nN，故n2或3时，an有最小值，且a2a3，其最小值为225242.法二：设第n项最小，由得解这个不等式组，得2n3，n2,3.a2a3且最
7、小.a2a3225242.探究共研型数列的递推公式与通项公式的关系探究1某剧场有30排座位，从第一排起，往后各排的座位数构成一个数列an，满足a120，an1an2，你能归纳出数列an的通项公式吗？【提示】由a120，an1an2得a2a1222，a3a2224，a4a3226，a5a4228，由以上各项归纳可知an20(n1)22n18.即an2n18(nN，n30).探究2在数列an中，a13，2，照此递推关系，你能写出an任何相邻两项满足的关系吗？若将这些关系式两边分别相乘你能得到什么结论？【提示】按照2可得2，2，2，2(n2)，将这些式子两边分别相乘可得222.则2n1，所以an32
8、n1(nN).探究3在数列an中，若a13，an1an2，照此递推关系试写出前n项中，任何相邻两项的关系，将这些式子两边分别相加，你能得到什么结论？【提示】由an1an2得a2a12，a3a22，a4a32，anan12(n2，nN)，将这些式子两边分别相加得：a2a1a3a2a4a3anan12(n1)，即ana12(n1)，所以有an2(n1)a12n1，(nN).设数列an是首项为1的正项数列，且an1an(nN)，求数列的通项公式.【精彩点拨】由递推公式，分别令n1,2,3，得a2，a3，a4，由前4项观察规律，可归纳出它的通项公式；或利用an1an反复迭代；或将an1an变形为进行累
9、乘；或将an1an变形式1，构造数列nan为常数列.【自主解答】因为an1an.法一：(归纳猜想法)a11，a21，a3，a4猜想an.法二：(迭代法)因为an1an，所以anan1an2a1，从而an.法三：(累乘法)因为an1an，所以，则，所以an.法四：(转化法)因为，所以1，故数列nan是常数列，nana11，an.由数列的递推公式求通项公式时，若递推关系为an1anf(n)或an1g(n)an，则可以分别通过累加或累乘法求得通项公式，即：(1)累加法：当anan1f(n)时，常用an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1求通项公式.(2)累乘法：当g(n)时，常用ana1求
10、通项公式.再练一题3.已知数列an中，a12，an1an3(nN)，写出这个数列的前5项，猜想an并加以证明.【解】a12，a2a135，a3a238，a4a3311，a5a4314，猜想：an3n1.证明如下：由an1an3得a2a13，a3a23，a4a33，anan13.将上面的(n1)个式子相加，得ana13(n1)，an23(n1)3n1.1.已知数列an中，a11，则数列an的通项公式是()A.an2nB.anC.anD.an【解析】a11，a2，a3，a4，观察得an.【答案】C2.符合递推关系式anan1的数列是()A.1,2,3,4，B.1, ，2,2，C.，2, ，2，D.
11、0, ，2,2，【解析】由递推公式可知符合该递推公式的数列，每一项的倍为后一项，所以只有B符合.【答案】B3.若数列an满足an12an1，且a816，则a6_【解析】由an12an1，得an(an11)，a7(a81)，a6(a71).【答案】4.若数列中的最大项是第k项，则k_. 【导学号：18082020】【解析】由题意得化简得 又因为kN，所以k4.【答案】45.已知数列an满足下列条件，写出它的前5项，并归纳出数列的一个通项公式.(1)a10，an1an(2n1)；(2)a11，an1.【解】(1)a10，an1an(2n1)，a2a1(211)011；a3a2(221)134；a4a3(231)459；a5a4(241)9716.故该数列的一个通项公式是an(n1)2.(2)a11，an1，a2，a3，a4，a5.它的前5项依次是1，.它的前5项又可写成，故它的一个通项公式为an.