1、高考资源网（） 您身边的高考专家2021年湖南省高考数学联考试卷（3月份）一、选择题（每小题5分）.1已知集合Ax|x22x30，Bx|xa，若ABx|axa+1，则a（）A2B1C0D12若（z+1）（1+i）i，则（）ABCiD3“a，b，c成等比数列”是“a2，b2，c2成等比数列”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件42019年底，武汉出现新型冠状病毒肺炎疫情，并快速席卷我国其他地区，口罩成了重要的防疫物资某口罩生产厂不断加大投入，提高产量现对其在2020年2月1日2月9日连续9天的日生产量yi（单位：十万只，i1，2，9）数据做了初步处理，得到如图所
2、示的散点图那么不可能作为y关于t的回归方程类型的是（）Aya+bBya+blntCya+betDya+bt25若曲线ysin（3x+）（2）关于直线x对称，则的最大值为（）ABCD6用1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，若从这些五位数中随机选取1个，则该五位数满足2，3相邻且1位于万位或千位的概率为（）ABCD7赵州桥始建于隋代，是一座位于河北省石家庄市赵县城南洨河之上的石拱桥，由匠师李春设计建造，距今已有1400余年的历史赵州桥的桥拱的跨度为37.7米，拱矢（拱顶至石拱两脚连线的高度）为7.23米设拱弧（假设桥拱的曲线是圆弧）的半径为R米，r为R精确到整数部分的近似值已知双曲线C：1
3、（a0）的焦距为r，则C的离心率为（）（参考数据：7.232+18.852407.6）A5B6C7D88在菱形ABCD中，BAD60，将ABD沿BD折起，使A到达A的位置，且二面角ABDC为60，则AD与平面BCD所成角的正切值为（）ABCD二、选择题（每小题5分）.9若sin，（0，），则（）AcosBsinCsin（）Dsin（）10设函数f（x）lg（+x），则（）Af（）f（log85）Bf（）f（log85）Cf（log85）f（）Df（）f（）11设函数f（x）mx2ex+1，若对任意a，b，c3，1，f（a），f（b），f（c）都可以作为一个三角形的三边长，则m的取值可能为（）A
4、BCD12已知三棱锥PABC的每个顶点都在球O的球面上，ABBC2，PAPC，ABBC，过B作平面ABC的垂线BQ，且BQAB，PQ3，P与Q都在平面ABC的同侧，则（）A三棱锥PABC的体积为BPAABCPCBQD球O的表面积为9三、填空题（每小题5分）.13已知A（0，4），B（4，0），C（1，2），且+，则点G的坐标为 14某公司有职工800人，其中不到30岁的有120人，30岁到40岁的有400人，40岁以上的有280人为了了解该公司职工与身体状况有关的某项指标，要从中抽取200名职工作为样本，职工年龄与这项指标有关，则应该选择的抽样方法是 ，40岁以上的职工应抽取 名15写出一个关
5、于a与b的等式，使+是一个变量，且它的最小值为16，则该等式为 16已知AB为抛物线x24y的一条长度为8的弦，当弦AB的中点离x轴最近时，直线AB的斜率为 四、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17已知数列nan的前n项和为2n1（1）求数列an的通项公式；（2）求数列n2an的前n项和Sn18在某工厂年度技术工人团体技能大赛中，有甲、乙两个团体进行比赛，比赛分两轮，每轮比赛必有胜负，没有平局第一轮比赛甲团体获胜的概率为0.6，第二轮比赛乙团体获胜的概率为0.7，第一轮获胜团体有奖金5000元，第二轮获胜团体有奖金8000元，未获胜团体每轮有1000元鼓励
6、奖金（1）求甲团体至少胜一轮的概率；（2）记乙团体两轮比赛获得的奖金总额为X元，求X的分布列及其数学期望19为了测出图中草坪边缘A，B两点间的距离，找到草坪边缘的另外两个点C与D（A，B，C，D四点共面），测得AC1.6m，CD2m，BD1.8m，已知cosBDC，tanACD3（1）求ACD的面积；（2）求A，B两点间的距离20如图，在四棱锥EABCD中，四边形ABCD为平行四边形，BCE为等边三角形，点O为BE的中点，且ACBC2OA2（1）证明：平面ABE平面BCE（2）若ABAE，求二面角BCED的正弦值21已知椭圆C：1（ab1）长轴的顶点与双曲线D：1实轴的顶点相同，且C的右焦点F
7、到D的渐近线的距离为（1）求C与D的方程；（2）若直线l的倾斜角是直线y（2）x的倾斜角的2倍，且l经过点F，l与C交于A，B两点，与D交于M，N两点，求22已知函数f（x）x3（a+）x2+3x（a0）（1）讨论f（x）的单调性（2）若a1，且x（，+），f（x）a3，求a的取值范围（3）是否存在正数a，使得f（x）2x1对x（2，3）恒成立？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合Ax|x22x30，Bx|xa，若ABx|axa+1，则a（）A2B1C0D1解：Ax|1x
8、3，Bx|xa，ABx|axa+1，a+13，解得a2故选：A2若（z+1）（1+i）i，则（）ABCiD解：（z+1）（1+i）i，z+1，则z，故故选：C3“a，b，c成等比数列”是“a2，b2，c2成等比数列”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解：若a，b，c成等比数列，则b2ac，此时a2c2（ac）2b4，则a2，b2，c2成等比数列，即充分性成立，反之当a1，b1，c1时满足a2，b2，c2成等比数列，但a，b，c不成等比数列，即必要性不成立，即“a，b，c成等比数列”是“a2，b2，c2成等比数列”的充分不必要条件，故选：A42019年底，武汉
9、出现新型冠状病毒肺炎疫情，并快速席卷我国其他地区，口罩成了重要的防疫物资某口罩生产厂不断加大投入，提高产量现对其在2020年2月1日2月9日连续9天的日生产量yi（单位：十万只，i1，2，9）数据做了初步处理，得到如图所示的散点图那么不可能作为y关于t的回归方程类型的是（）Aya+bBya+blntCya+betDya+bt2解：由导数的几何意义可知，函数的导数表示该点处切线的斜率，对于A，ya+b，则，若函数为增函数，则b0，随着t的增大，y减小，故满足条件；对于B，ya+blnt，则，若函数为增函数，则b0，随着t的增大，y减小，故满足条件；对于C，ya+bet，则ybet，若函数为增函数
10、，则b0，随着t的增大，y减小，故满足条件；对于D，ya+bt2，则y2bt，若函数为增函数，则b0，随着t的增大，y增大，不满足条件故选：D5若曲线ysin（3x+）（2）关于直线x对称，则的最大值为（）ABCD解：ysin（3x+）图象关于直线x对称，3+k，kZ，+k，kZ，2，的最大值为故选：B6用1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，若从这些五位数中随机选取1个，则该五位数满足2，3相邻且1位于万位或千位的概率为（）ABCD解：用1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，从这些五位数中随机选取1个，基本事件总数n120，该五位数满足2，3相邻且1位于万位或千位包含的基本事件个
11、数：m+20，该五位数满足2，3相邻且1位于万位或千位的概率为P故选：D7赵州桥始建于隋代，是一座位于河北省石家庄市赵县城南洨河之上的石拱桥，由匠师李春设计建造，距今已有1400余年的历史赵州桥的桥拱的跨度为37.7米，拱矢（拱顶至石拱两脚连线的高度）为7.23米设拱弧（假设桥拱的曲线是圆弧）的半径为R米，r为R精确到整数部分的近似值已知双曲线C：1（a0）的焦距为r，则C的离心率为（）（参考数据：7.232+18.852407.6）A5B6C7D8解：由题意知，R2+（R7.23）2，14.46R7.232+18.852407.6，R28.19，r28，a2+192142196，a2，离心率
12、e7故选：C8在菱形ABCD中，BAD60，将ABD沿BD折起，使A到达A的位置，且二面角ABDC为60，则AD与平面BCD所成角的正切值为（）ABCD解：设AC于BD交于点O，设菱形的边长为2，在ABD中，因为A60，AB2，所以，过点A作AE平面BCD，垂足为E，连结EO，因为O为BD的中点，且ADAB，所以AOBD，故EOBD，所以AOE即为二面角ABDC的平面角，故AOE60，连结ED，则ADE即为AD与平面BCD所成的角，在RtAOE中，在RtAED中，AD2，所以，故故选：C二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分
13、，部分选对的得2分，有选错的得0分9若sin，（0，），则（）AcosBsinCsin（）Dsin（）解：sin，（0，），（0，），cos则cos1，故A正确；sin2sincos，故B错误；sin（），故C正确；sin（）sincoscossin，故D错误故选：AC10设函数f（x）lg（+x），则（）Af（）f（log85）Bf（）f（log85）Cf（log85）f（）Df（）f（）解：函数f（x）lg（+x），定义域为R，f（x）lg（x）lglg（+x）f（x），所以f（x）为奇函数，所以f（）f（），当x0，+）时，由复合函数的单调性可知f（x）lg（+x）单调递增，因为log8
14、4log85，所以f（）f（log85）f（），结合选项可知A，B正确故选：AB11设函数f（x）mx2ex+1，若对任意a，b，c3，1，f（a），f（b），f（c）都可以作为一个三角形的三边长，则m的取值可能为（）ABCD解：设函数g（x）x2ex，x3，1，则g（x）x（x+2）ex，可得函数g（x）在3，2），（0，1上单调递增，在（2，0）上单调递减又g（3），g（2），g（0）0，g（1）e，可得函数g（x）的值域为0，e根据f（a），f（b），f（c）都可以作为一个三角形的三边长，当m0时，2f（0）f（1），即21me+1，解得0m；当m0时，2f（1）f（0），即2（me+1
15、）1，解得m0综上可得：m故选：BD12已知三棱锥PABC的每个顶点都在球O的球面上，ABBC2，PAPC，ABBC，过B作平面ABC的垂线BQ，且BQAB，PQ3，P与Q都在平面ABC的同侧，则（）A三棱锥PABC的体积为BPAABCPCBQD球O的表面积为9解：如图，长方体的高为1，底面是边长为2的正方形，满足ABBC2，PAPC，ABBC，三棱锥PABC的体积为，故A正确；PB，满足PA2+AB2PB2，可得PAAB，故B正确；BQ平面ABC，PD平面ABC，则BQPD，假设PCBQ，则PCPD，与PD与PC相交于P矛盾，故C错误；三棱锥PABC的外接球即长方体DG的外接球，设其半径为R
16、，则2R，即R，可得球O的表面积为，故D正确故选：ABD三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在答题卡中的横线上13已知A（0，4），B（4，0），C（1，2），且+，则点G的坐标为（1，2）解：设G（x，y），因为A（0，4），B（4，0），C（1，2），则，又+，所以，解得，所以点G的坐标为（1，2）故答案为：（1，2）14某公司有职工800人，其中不到30岁的有120人，30岁到40岁的有400人，40岁以上的有280人为了了解该公司职工与身体状况有关的某项指标，要从中抽取200名职工作为样本，职工年龄与这项指标有关，则应该选择的抽样方法是分层抽样，40岁以上的职工应抽
17、取70名解：为了了解该公司职工与身体状况有关的某项指标，要从中抽取200名职工作为样本，职工年龄与这项指标有关，则应该选择的抽样方法是分层抽样，40岁以上的职工应抽取：20070名故答案为：分层抽样，7015写出一个关于a与b的等式，使+是一个变量，且它的最小值为16，则该等式为a2+b21解：该等式为a2+b21，下面证明该等式符合条件+（+）（a2+b2），当且仅当b23a2时取等号，所以+是一个变量，且它的最小值为16故答案为：a2+b2116已知AB为抛物线x24y的一条长度为8的弦，当弦AB的中点离x轴最近时，直线AB的斜率为1解：由题意得抛物线的准线方程为l：y1，过A作AA1l于
18、A1，过B作BB1l于B1，设弦AB的中点为M，过M作MM1l于M1，则2|MM1|AA1|+|BB1|，设抛物线的焦点为F，则|AF|+|BF|AB|，即|AA1|+|BB1|AF|+|BF|8（当且仅当A，B，F三点共线时等号成立），所以|AA1|+|BB1|2|MM1|8，解得|MM1|4，即弦AB的中点到x轴的最短距离为：413所以点M的纵坐标为（x0，3），A（x1，y1），B（x2，y2），F（0，1），4y1，4y2，所以直线AB的斜率k，x02，此时k1，当弦AB的中点离x轴最近时，直线AB的斜率为1，故答案为：1四、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程
19、或演算步骤17已知数列nan的前n项和为2n1（1）求数列an的通项公式；（2）求数列n2an的前n项和Sn解：（1）设数列nan的前n项和为Tn，则Tn2n1，当n1时，a1T11，当n2时，Tn12n11，所以nanTnTn12n1（2n11）2n1，n1时，a11满足上式，所以an，nN*（2）n2ann2n1，所以Sn120+221+322+n2n1，2Sn121+222+323+n2n，得Sn20+21+22+2n1n2nn2n（1n）2n1，所以Sn（n1）2n+118在某工厂年度技术工人团体技能大赛中，有甲、乙两个团体进行比赛，比赛分两轮，每轮比赛必有胜负，没有平局第一轮比赛甲团
20、体获胜的概率为0.6，第二轮比赛乙团体获胜的概率为0.7，第一轮获胜团体有奖金5000元，第二轮获胜团体有奖金8000元，未获胜团体每轮有1000元鼓励奖金（1）求甲团体至少胜一轮的概率；（2）记乙团体两轮比赛获得的奖金总额为X元，求X的分布列及其数学期望解：（1）第一轮甲胜第二轮乙胜的概率为P0.60.70.42，第一轮乙胜第二轮甲胜的概率为P0.40.30.12，第一轮甲胜第二轮甲胜的概率P0.60.30.18，故甲团体至少胜一轮的概率为0.42+0.12+0.180.72；（2）由已知可得X的可能取值为2000，6000，9000，13000，则P（X2000）0.60.30.18，P（
21、X6000）0.40.30.12，P（X9000）0.60.70.42，P（X13000）0.40.70.28，所以X的分布列如下： X 2000 6000 9000 13000 P 0.18 0.12 0.42 0.28E（X）20000.18+60000.12+90000.42+130000.28850019为了测出图中草坪边缘A，B两点间的距离，找到草坪边缘的另外两个点C与D（A，B，C，D四点共面），测得AC1.6m，CD2m，BD1.8m，已知cosBDC，tanACD3（1）求ACD的面积；（2）求A，B两点间的距离解：（1）因为tanACD3，可得sinACD，所以SACDACC
22、DsinACDm2（2）因为tanACD3，所以cosACD，所以AD21.62+2225.76，则AD2.4，因为cosADC，所以sinADC，又cosBDC，所以ADB，所以AB3m20如图，在四棱锥EABCD中，四边形ABCD为平行四边形，BCE为等边三角形，点O为BE的中点，且ACBC2OA2（1）证明：平面ABE平面BCE（2）若ABAE，求二面角BCED的正弦值【解答】（1）证明：连接OC，因为BCE为等边三角形，所以OCBE，因为AC2，OA1，OC2，所以AC2AO2+OC2，所以OCOA，又因为OABEO，所以OC平面ABE，又因为OC平面BCE，所以平面BCE平面ABE，
23、故平面ABE平面BCE（2）解：因为ABAE，所以OABE，所以OE、OC、OA两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，E（1，0，0），B（1，0，0），A（0，0，1），C（0，0），（1，0），（1，0，1），设平面ECD的法向量为（x，y，z），令x，（，1，），平面BEC的法向量为（0，0，1），设二面角BCED的大小为，则|cos|，sin，所以二面角BCED的正弦值为21已知椭圆C：1（ab1）长轴的顶点与双曲线D：1实轴的顶点相同，且C的右焦点F到D的渐近线的距离为（1）求C与D的方程；（2）若直线l的倾斜角是直线y（2）x的倾斜角的2倍，且l经过点F，l与C交于A，B两点，与
24、D交于M，N两点，求解：（1）因为椭圆C长轴的顶点与双曲线D实轴的顶点相同，所以a2，双曲线D的渐近线为yx，即bx2y0，所以右焦点F（c，0）到渐近线bx2y0的距离为，又a2b2+c2，由解得b23，c21，所以椭圆的方程为+1，双曲线的方程为1（2）设直线y（2）x倾斜角为，则tan2，所以tan2，所以直线l的方程为y（x1），设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x3，y3），N（x4，y4），联立，得4x22x110，所以x1+x2，x1x2，所以|AB|x1x2|，联立，得2x2+2x130，所以x3+x41，x3x4，所以|MN|x3x4|，所以22已知函数f（x）x3（
25、a+）x2+3x（a0）（1）讨论f（x）的单调性（2）若a1，且x（，+），f（x）a3，求a的取值范围（3）是否存在正数a，使得f（x）2x1对x（2，3）恒成立？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由解：（1）f（x）3x23（a+）+3，令f（x）0，解得：xa或x，当a1时，f（x）0，f（x）在R单调递增，当0a1时，a，由f（x）0，得x（a，），由f（x）0，得x（，a）（，+），故f（x）在（a，）上单调递减，在（，a），（，+）单调递增，当a1时，a，由f（x）0，得x（，a），由f（x）0，得：x（，）（a，+），故f（x）在（，a）上单调递减，在（，），（a，+）
26、单调递增，综上：当a1时，f（x）在R单调递增，当0a1时，f（x）在（a，）上单调递减，在（，a），（，+）单调递增，当a1时，f（x）在（，a）上单调递减，在（，），（a，+）单调递增；（2）a1，f（x）在（，a）单调递减，在（a，+）单调递增，故f（x）minf（a）a3，整理得：a3a，又a1，故1a，故a的取值范围是（1，）；（3）f（x）2x1，（a+）在x（2，3）上恒成立，设g（x）x+，g（x）1，设k（x）x3x2，则k（x）3x21，当x（2，3）时，k（x）0，故k（x）在（2，3）上单调递增，k（x）k（2）40，故g（x）0在（2，3）恒成立，g（x）在（2，3）单调递增，则g（x）g（2），又a+22，（当且仅当a1时“”成立），故（a+）3，故不存在正数a，使得f（x）2x1对x（2，3）恒成立- 18 - 版权所有高考资源网