1、第七章测评(时间:120分钟满分:150分)一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(2019北京高考)已知复数z=2+i,则z=() A.2B.4C.3D.5解析z=2+i,=2-i.z=(2+i)(2-i)=5.故选D.答案D2.若复数z满足z(2+3i)=i,则在复平面上对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析z=,i,对应的点为,位于第四象限.答案D3.(2019全国高考)设z=,则|z|=()A.2B.C.D.1解析z=,z=i,|z|=.故选C.答案C4.若复数z的实部为1,且|z|=2
2、,则复数z的虚部是()A.-B.C.iD.i解析依题意设z=1+bi(bR),则=2,解得b=,即复数z的虚部是.答案B5.若复数z的共轭复数是,且z+=6,z=10,则z=()A.13iB.3iC.3+iD.3-i解析设z=a+bi(a,bR),则=a-bi,所以解得即z=3i.答案B6.已知复数z1=cos 23+isin 23和复数z2=cos 37+isin 37,则z1z2为()A.iB.iC.iD.i解析z1z2=cos(23+37)+isin(23+37)=cos 60+isin 60=i.答案A7.已知z是复数,且p:z=i;q:z+R.则p是q的()A.充分不必要条件B.必要
3、不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析显然,当z=i时,z+i+i+=1R,但当z+R时,若令z=a+bi(a,bR),则a+bi+=a+b-i,所以有b=0或a2+b2=1,不一定有z=i.故p是q的充分不必要条件,选A.答案A8.关于复数z的方程|z|+2z=13+6i的解是()A.3+4iB.4+3iC.+3iD.3+i解析设z=x+yi(x,yR),则有+2x+2yi=13+6i,于是解得因为13-2x0,故x,所以x=不符合要求,故z=4+3i.答案B二、多项选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分,在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的
4、得3分,有选错的得0分)9.在复平面内,复数z对应的点与复数对应的点关于实轴对称,则()A.复数z=1+iB.|=C.复数z对应的点位于第一象限D.复数的实部是-1解析复数=-1-i对应的点的坐标为(-1,-1).复数z对应的点与复数对应的点关于实轴对称,复数z对应的点的坐标为(-1,1),复数z=-1+i.故A,C均错.=-1-i,|=的实部是-1,B,D正确.答案BD10.(2020广东六校联考)已知复数z=a+bi(a,bR),且a+b=1,下列说法正确的是()A.z不可能为纯虚数B.若z的共轭复数为,且z=,则z是实数C.若z=|z|,则z是实数D.|z|可以等于解析当a=0时,b=1
5、,此时z=i为纯虚数,A错误;若z的共轭复数为,且z=,则a+bi=a-bi,所以b=0,B正确;由|z|是实数,且z=|z|知,z是实数,C正确;由|z|=得a2+b2=,又a+b=1,所以8a2-8a+3=0,=64-483=-320,无实数解,即|z|不可以等于,D错误.答案BC11.实数x,y满足(1+i)x+(1-i)y=2,设z=x+yi,则下列说法正确的是()A.z在复平面内对应的点在第一象限B.|z|=C.z的虚部是iD.z的实部是1解析实数x,y满足(1+i)x+(1-i)y=2,可化为x+y-2+(x-y)i=0,解得x=y=1,z=x+yi=1+i.对于A,z在复平面内对
6、应的点的坐标为(1,1),位于第一象限,故A正确.对于B,|z|=,故B正确.对于C,z的虚部是1,故C错误.对于D,z的实部是1,故D正确.答案ABD12.设f()=cos +isin (i为虚数单位),则f2()=cos 2+isin 2,f3()=cos 3+isin 3,若f10()为实数,则的值可能等于()A.B.C.D.解析f10()=cos 10+isin 10,要使f10()为实数,则sin 10=0,10=k(kZ),故=(kZ),当k=1时,=,当k=2时,=.答案AC三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)13.(2020湖北武汉检测)若=a+bi(i为虚数单位,
7、a,bR),则a+b=.解析因为=1+i=a+bi,所以a=b=1.故a+b=2.答案214.6=.解析原式=cos+isin=3i.答案i15.如果复数z满足|z+i|+|z-i|=2,那么|z+1+i|的最小值是,最大值是.解析由于|z+i|+|z-i|=2,则点Z在以(0,1)和(0,-1)为端点的线段上,|z+1+i|表示点Z到点(-1,-1)的距离.由图知最小值为1,最大值为.答案116.设复数z=(a2-1)+(a2-3a+2)i,若z20,则实数a的值为.解析由z20知z一定为纯虚数,所以得解得a=-1.答案-1四、解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演
8、算步骤)17.(10分)已知复数z满足|z|=1+3i-z,求的值.解设z=a+bi(a,bR),|z|=1+3i-z,-1-3i+a+bi=0,即解得z=-4+3i,=3+4i.18.(12分)当实数m为何值或何取值范围时,复数z=+(m2-2m)i为(1)实数?(2)虚数?(3)纯虚数?解(1)若z为实数,可得解得m=2.当m=2时,z为实数.(2)z为虚数,则虚部m2-2m0,且m0,解得m2,且m0.当m的取值范围为(-,0)(0,2)(2,+)时,z为虚数.(3)z为纯虚数,则解得m=-3.当m=-3时,z为纯虚数.19.(12分)已知z为复数,z+2i和均为实数,其中i是虚数单位.
9、(1)求复数z和|z|;(2)若z1=i对应的点在第四象限,求实数m的取值范围.解(1)设z=a+bi(a,bR),则b+2=0,解得b=-2.因为i为实数,所以=0,解得a=4.所以z=4-2i,|z|=2.(2)z1=4+2-i对应的点在第四象限,则解得-2m,或1m.故实数m的取值范围为.20.(12分)设ABC的两个内角A,B所对的边分别为a,b,复数z1=a+bi,z2=cos A+icos B,若复数z1z2为纯虚数,试判断ABC的形状,并说明理由.解ABC为等腰三角形或直角三角形.理由如下:因为z1=a+bi,z2=cos A+icos B,所以z1z2=(acos A-bcos
10、 B)+i(acos B+bcos A).又因为z1z2为纯虚数,所以由及正弦定理,得sin Acos A=sin Bcos B,即sin 2A=sin 2B.因为A,B为ABC的内角,所以02A2,02B2,且2A+2B2.所以2A=2B或2A=-2B,即A=B或A+B=.即A=B或C=.故ABC为等腰三角形或直角三角形.21.(12分)已知复数z1=m+ni,z2=2-2i和z=x+yi,设z=i-z2,m,n,x,yR.若复数z1所对应的点M(m,n)在曲线y=(x+2)2+上运动,求复数z所对应的点P(x,y)的轨迹C的方程.解z1=m+ni,z2=2-2i,z=i-z2=(m-ni)
11、i-(2-2i)=(n-2)+(m+2)i.x+yi=(n-2)+(m+2)i.x=n-2,y=m+2,即n=x+2,m=y-2.又点M(m,n)在曲线y=(x+2)2+上运动,x+2=(y-2)+22+,整理上式,得点P(x,y)的轨迹C的方程为y2=2.22.(12分)已知z1,z2是复数,定义复数的一种运算“”为:z1z2=是否存在复数z,使得(1+2i)z为纯虚数,而z(1+2i)是实数?若存在,求出复数z;若不存在,说明理由.解存在.假设存在复数z,使得(1+2i)z为纯虚数,而z&#
12、1051723;(1+2i)是实数,设z=x+yi(x,yR).由于|1+2i|=,所以(1)当|z|时,根据题意,(1+2i)z=(1+2i)z=(1+2i)(x+yi)=(x-2y)+(y+2x)i是纯虚数,所以又z(1+2i)=z+(1+2i)=(x+yi)+(1+2i)=(x+1)+(y+2)i是实数,所以y+2=0,由得所以z=-4-2i,但这时|z|=2与|z|矛盾,故当|z|时,符合条件的复数不存在.(2)当|z|时,根据题意,(1+2i)z=(1+2i)+z=(1+2i)+(x+yi)=(1+x)+(2+y)i是纯虚数,所以又z(1+2i)=z(1+2i)=(x+yi)(1+2i)=(x-2y)+(y+2x)i是实数,所以y+2x=0,由得所以z=-1+2i,这时|z|=与|z|不矛盾,故符合条件的复数存在,z=-1+2i.
