1、第十六单元 算法初步、复数、推理与证明教材复习课“算法初步、复数、推理与证明”相关基础知识一课过算法的三种结构过双基三种基本逻辑结构名称内容 顺序结构条件结构循环结构定义由若干个依次执行的步骤组成，这是任何一个算法都离不开的基本结构算法的流程根据条件是否成立有不同的流向，条件结构就是处理这种过程的结构从某处开始，按照一定的条件反复执行某些步骤的情况，反复执行的步骤称为循环体程序框图1(2018成都质检)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果是()AB0C. D336解析：选C由框图知输出的结果ssinsinsin，因为函数ysinx的周期是6，所以s336sinsin3360.2
2、执行如图所示的程序框图若输出y，则输入的角()A. BC. D解析：选D由输出y2? Bn3?Cn4? Dn5?解析：选B运行程序：p1，n0；n1，p2；n2，p6；n3，p15；n4，p31，根据题意，此时满足条件，输出p31，即n3时不满足条件，n4时满足条件，故选B.清易错1易混淆处理框与输入框，处理框主要是赋值、计算，而输入框只是表示一个算法输入的信息2易忽视循环结构中必有选择结构，其作用是控制循环进程，避免进入“死循环”，是循环结构必不可少的一部分某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是，则a_.解析：由已知可得该程序的功能是计算并输出S1112.若该程序运行后输出的值是， 则
3、2， 解得a3.答案：3 复数的基本运算过双基1复数的有关概念名称内容备注复数的概念形如abi(aR，bR)的数叫复数，其中实部为，虚部为若b0，则abi为实数；若a0且b0，则abi为纯虚数复数相等abicdiac且bd(a，b，c，dR)共轭复数abi与cdi共轭ac且bd(a，b，c，dR)复平面建立平面直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫实轴，y轴叫虚轴实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，各象限内的点都表示虚数复数的模设对应的复数为zabi，则向量的长度叫做复数zabi的模|z|abi|2.复数的几何意义复数集C和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，复
4、数集C与复平面内所有以原点O为起点的向量组成的集合也是一一对应的，即(1)复数zabi复平面内的点Z(a，b)(a，bR)(2)复数zabi(a，bR)平面向量.3复数的运算设z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，则加法：z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i；减法：z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i；乘法：z1z2(abi)(cdi)(acbd)(adbc)i；除法：(cdi0)1(2016全国卷)若z43i，则()A1 B1C.i D.i解析：选Dz43i，43i，|z|5，i.2若复数z满足(1i)z|i|，则在复平面内，对应的点位于()A第一象限 B第二象限C
5、第三象限 D第四象限解析：选A由题意，得z1i，所以1i，其在复平面内对应的点为(1,1)，位于第一象限3复数(i为虚数单位)实部与虚部的和为()A2 B1C0 D2解析：选A因为1i，所以复数(i为虚数单位)实部与虚部的和为2.4已知(12i)43i，则z_.解析：2i，z2i.答案：2i清易错1利用复数相等abicdi列方程时，注意a，b，c，dR的前提条件2注意不能把实数集中的所有运算法则和运算性质照搬到复数集中来例如，若z1，z2C，zz0，就不能推出z1z20；z2bc，且abc0，求证：0 Bac0C(ab)(ac)0 D(ab)(ac)0解析：选Cab2ac3a2(ac)2ac3
6、a2a22acc2ac3a202a2acc20(ac)(2ac)0(ac)(ab)0.4 表示不超过 的最大整数若S1 3，S2 10，S3 21，则Sn()An(n2) Bn(n3)C(n1)21 Dn(2n1)解析：选D观察得到：Sn是从开始到(不含)之前共2n1个n的和，所以Sn为n(2n1)即n(2n1)5(2017北京高考)执行如图所示的程序框图，输出的s值为()A2 B.C. D.解析：选C运行该程序，k0，s1，k3；k011，s2，k3；k112，s，k3；k123，s，此时不满足循环条件，输出s，故输出的s值为.6若数列an是等差数列，bn，则数列bn也为等差数列类比这一性质
7、可知，若正项数列cn是等比数列，且dn也是等比数列，则dn的表达式应为()AdnBdnCdn Ddn解析：选D因为数列an是等差数列，所以bna1(n1)(d为等差数列an的公差)，bn也为等差数列，因为正项数列cn是等比数列，设公比为q，则dnc1q，所以dn也是等比数列7执行如图所示的程序框图，若输出的结果是，则判断框内应填的内容是()An98? Bn99?Cn100? Dn101?解析：选B由， 可知程序框图的功能是计算并输出S的值由题意令，解得n99, 即当n99时，执行循环体，若不满足此条件，则退出循环，输出S的值8已知“整数对”按如下规律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)
8、，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，则第60个“整数对”是()A(7,5) B(5,7)C(2,10) D(10,1)解：选B依题意，把“整数对”的和相同的分为一组，不难得知第n组中每个“整数对”的和均为n1，且第n组共有n个“整数对”，这样的前n组一共有个“整数对”，注意到60，因此第60个“整数对”处于第11组(每个“整数对”的和为12的组)的第5个位置，结合题意可知每个“整数对”的和为12的组中的各对数依次为：(1,11)，(2,10)，(3,9)，(4,8)，(5,7)，因此第60个“整数对”是(5,7)二、填空题9M与1的大小关系为_
9、解析：因为M1，所以M1.答案：M110若复数z(其中i为虚数单位)的实部与虚部相等，则实数a_.解析：因为复数z1ai，所以a1，即a1.答案：111下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著九章算术中的“更相减损术”执行该程序框图，若输入的a，b分别为14,18，则输出的a_.解析：a14，b18.第一次循环：1418且144，a14410；第三次循环：104且104，a1046；第四次循环：64且64，a642；第五次循环：24且2x不成立且x不能被b整除，故b3，这时b2x成立，故a1，输出a的值为1.当输入x9时，b2，因为b2x不成立且x不能被b整除，故b3，这时b2x不成立且x能
10、被b整除，故a0，输出a的值为0.答案(1)B(2)D方法技巧解决程序框图推结果问题要注意几个常用变量(1)计数变量：用来记录某个事件发生的次数，如ii1.(2)累加变量：用来计算数据之和，如SSi.(3)累乘变量：用来计算数据之积，如ppi.即时演练1(2016全国卷)执行如图所示的程序框图，如果输入的x0，y1，n1，则输出x，y的值满足()Ay2x By3xCy4x Dy5x解析：选C输入x0，y1，n1，运行第一次，x0，y1，不满足x2y236；运行第二次，x，y2，不满足x2y236；运行第三次，x，y6，满足x2y236，输出x，y6.由于点在直线y4x上，故选C.2执行如图所示
11、的程序框图，输出的s是_解析：第一次循环：i1，s1；第二次循环：i2，s1；第三次循环：i3，s2；第四次循环：i4，s2，此时i5，执行s3(2)6，故输出s6.答案：6程序框图的补全及逆向求解问题典例(1)九章算术是中国古代数学名著，体现了古代劳动人民数学的智慧，其中第六章“均输”中，有一竹节容量问题，某教师根据这一问题的思想设计了如图所示的程序框图，若输出的m的值为35，则输入的a的值为()A4 B5C7 D11(2)一个算法的程序框图如图所示，该程序输出的结果为，则空白处应填入的条件为()Ai9? Bi6?Ci9? Di8?解析(1)起始阶段有m2a3，i1, 第一次循环：m2(2a
12、3)34a9，i2, 第二次循环：m2(4a9)38a21，i3, 第三次循环：m2(8a21)316a45，i4, 第四次循环：m2(16a45)332a93, 跳出循环，输出m32a9335，解得a4.(2)由及题意知，该程序框图的功能是计算S1的值，由S，得i9.故空白处应填入的条件为：i9.答案(1)A(2)A方法技巧程序框图的补全及逆向求解问题(1)先假设参数的判断条件满足或不满足；(2)运行循环结构，一直到运行结果与题目要求的输出结果相同为止；(3)根据此时各个变量的值，补全程序框图即时演练1执行如图所示的程序框图，若输出k的值为16，则判断框内可填入的条件是()AS？CS？ DS
13、？解析：选D运行程序：k10，S1；S，k11；S，k12；S，k13；S，k14；S，k15；S，k16，此时不满足条件，循环结束，输出k16，所以判断框内可填入条件是S1 000的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入()AA1 000和nn1BA1 000和nn2CA1 000和nn1DA1 000和nn2解析：选D程序框图中A3n2n，且判断框内的条件不满足时输出n，所以判断框中应填入A1 000，由于初始值n0，要求满足A3n2n1 000的最小偶数，故执行框中应填入nn2.2(2017全国卷)执行如图所示的程序框图，为使输出S的值小于91，则输入的正整数N的最小值为()A5
14、 B4C3 D2解析：选D执行程序框图，S0100100，M10，t2；S1001090，M1，t3，S2，结束循环，s17.4.(2016全国卷)执行如图所示的程序框图，如果输入的a4，b6，那么输出的n()A3 B4C5 D6解析：选B程序运行如下：开始a4，b6，n0，s0.第1次循环：a2，b4，a6，s6，n1；第2次循环：a2，b6，a4，s10，n2；第3次循环：a2，b4，a6，s16，n3；第4次循环：a2，b6，a4，s20，n4.此时，满足条件s16，退出循环，输出n4.故选B.5.(2015全国卷)执行如图所示的程序框图，如果输入的t0.01，则输出的n()A5 B6C
15、7 D8解析：选C运行第一次：S10.5，m0.25，n1，S0.01；运行第二次：S0.50.250.25，m0.125，n2，S0.01；运行第三次：S0.250.1250.125，m0.062 5，n3，S0.01；运行第四次：S0.1250.062 50.062 5，m0.031 25，n4，S0.01；运行第五次：S0.031 25，m0.015 625，n5，S0.01；运行第六次：S0.015 625，m0.007 812 5，n6，S0.01；运行第七次：S0.007 812 5，m0.003 906 25，n7，S3；第二次循环，8不能被3整除，N8173；第三次循环，7不能
16、被3整除，N7163；第四次循环，6能被3整除，N25(或i6？)7下图为某一函数的求值程序框图，根据框图，如果输出y的值为3，那么应输入x()A1 B2C3 D6解析：选B该程序的作用是计算分段函数y的函数值， 由题意，若x6，则当y3时，x33，解得x6，舍去；若x2，则当y3时，5x3，解得x2，故输入的x值为2.8给出30个数：1,2,4,7，其规律是：第1个数是1；第2个数比第1个数大1；第3个数比第2个数大2；第4个数比第3个数大3，以此类推，要计算这30个数的和，现已给出了该问题的程序框图如图所示，那么框图中判断框处和执行框处应分别填入()Ai30？；ppi1 Bi29？；ppi
17、1Ci31？；ppi Di30？；ppi解析：选D由于要计算30个数的和，故循环要执行30次，由于循环变量的初值为1，步长为1，故中应填写“i30？”又由第1个数是1，第2个数比第1个数大1，第3个数比第2个数大2，第4个数比第3个数大3，故中应填ppi.二、填空题9(2017江苏高考)如图是一个算法流程图若输入x的值为，则输出y的值是_解析：由流程图可知其功能是运算分段函数y所以当输入的x的值为时，y2log2242.答案：210按下列程序框图来计算： 如果输入的x5，则应该运算_次才停止解析：由题意，该程序按如下步骤运行：经过第一次循环得到x35213，不满足x200，进入下一步循环；经过
18、第二次循环得到x313237，不满足x200，进入下一步循环；经过第三次循环得到x3372109，不满足x200，进入下一步循环；经过第四次循环得到x31092325，因为325200，结束循环并输出x的值因此，运算进行了4次后，输出x值而程序停止故答案为4.答案：411中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，该算法的程序框图如图所示. 执行该程序框图，若输入的x3，n3，输入的a依次为由小到大顺序排列的质数(从最小质数开始)，直到结束为止，则输出的s_.解析：运行程序：x3，n3，k0，s0；a2，s2，k1；a3，s9，k2；a5，s32，k3；a7，s103，k4，此时满足条件，循环结束，输
19、出s103.答案：10312阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是a_.解析：运行程序，可得a10，i1，不满足i5，不满足a是奇数，a5，i2，不满足i5，满足a是奇数，a16，i3，不满足i5，不满足a是奇数，a8，i4，不满足i5，不满足a是奇数，a4，i5，满足i5，退出循环，输出a的值为4.答案：413已知某程序框图如图所示，则程序运行结束时输出的结果为_解析：第一次循环结束时，n2，x3，y1；第二次循环结束时，n4，x9，y3；第三次循环结束时，n6，x27，y3.此时满足n4，结束循环，输出logyxlog3273.答案：314(2018黄山调研)我国古代数学典籍
20、九章算术“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”现用程序框图描述，如图所示，则输出结果n_.解析：第一次循环，得S2；第二次循环，得n2，a，A2，S；第三次循环，得n3，a，A4，S；第四次循环，得n4，a，A8，S10，结束循环，输出的n4.答案：41图1是某学习小组学生数学考试成绩的茎叶图，1号到16号同学的成绩依次是A1，A2，A16，图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内的学生情况的程序框图，那么该程序框图输出的结果是()图1图2A6B7C10D16解析：选C由程序框图可知，其统计的是数学成绩大于等于90的人数，所以由
21、茎叶图知，数学成绩大于等于90的人数为10，因此输出结果为10.2如果执行程序框图，如果输出的S2 550，则判断框内应填入的条件是()Ak50? Bk51?Ck50? Dk51?解析：选A根据题中的程序框图，可得该程序经过第一次循环得到S2，k2；经过第二次循环得到S24，k3；经过第三次循环得到S246，k4；设经过第n次循环得到2462nn2n2 550，解得n50，由此说明，当n50时不满足判断框中的条件，则正好输出S2 550，判断框应填入的条件是k50？.高考研究课(二)数系的扩充与复数的引入的命题3角度概念、运算、意义全国卷5年命题分析考点考查频度考查角度复数的有关概念5年4考虚
22、部、模等有关概念与运算结合考查复数的几何意义5年2考与运算结合考查几何意义复数的运算5年6考考查乘法、除法、幂的运算复数的有关概念典例(1)设i是虚数单位若复数a(aR)是纯虚数，则a的值为()A3B1C1 D3(2)已知复数z满足|2i|，则z的共轭复数对应的点位于复平面内的()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限(3)若复数 z满足z(1i)2i(i为虚数单位)，则|z|()A1 B2C. D.解析(1)复数aa(a3)i为纯虚数，a30，a3.(2)|2i|，zi， 则z的共轭复数i对应的点(，)位于复平面内的第四象限. (3)法一：设zabi(a，bR)，则由z(1i)2i，得
23、(abi)(1i)2i，所以(ab)(ab)i2i，由复数相等的条件得解得ab1，所以z1i，故|z|.法二：由z(1i)2i，得zii21i，所以|z|.答案(1)D(2)D(3)C方法技巧求解与复数概念相关问题的技巧复数的分类、复数的相等、复数的模，共轭复数的概念都与复数的实部与虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即abi(a，bR)的形式，再根据题意求解即时演练1(2017山东高考)已知aR，i是虚数单位若za i，z4，则a()A1或1 B.或C D.解析：选A法一：由题意可知ai，z(ai)(ai)a234，故a1或1.法二：z|z|2a234，故
24、a1或1.2若复数(aR)是纯虚数(i是虚数单位)，则复数za(a3)i在复平面内对应的点位于第_象限解析：i是纯虚数， 解得a2.z2i，在复平面内对应的点(2，1)位于第四象限答案：四3(2017浙江高考)已知a，bR，(abi)234i(i是虚数单位)，则a2b2_，ab_.解析：(abi)2a2b22abi34i，或a2b25，ab2.答案：52复数的代数运算典例(1)i为虚数单位，则2 018()Ai B1Ci D1(2)(2017全国卷)()A12i B12iC2i D2i(3)(2017全国卷)(1i)(2i)()A1i B13iC3i D33i解析(1)i，2 018(i)2
25、018 (i)2 016(i)21.(2)2i.(3)(1i)(2i)2i23i13i.答案(1)B(2)D(3)B方法技巧复数代数形式运算问题的解题策略(1)复数的乘法复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可(2)复数的除法除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式提醒在进行复数的代数运算时，记住以下结论，可提高计算速度(1)(1i)22i；i；i；(2)baii(abi)；(3)i4n1，i4n1i，i4n21，i4n3i，i4ni4n1i4n2i4n30，nN*.即时演练1设复数z1i(i
26、是虚数单位)，则z2()A1i B1iC1i D1i解析：选Az2(1i)21i2i1i.2已知复数z，是z的共轭复数，则z_.解析：zi，故i，z.答案：3已知i是虚数单位，2 0186_.解析：原式1 00961 009i6i1 009i6i42521i42ii21i.答案：1i复数的几何意义典例(1)已知复数zai(aR)若|z|，则zi2在复平面内对应的点位于()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限(2)(2017北京高考)若复数(1i)(ai)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是()A(，1) B(，1)C(1，) D(1，)解析(1)因为复数zai(aR)若|
27、z|，则，解得1a1，所以zi2a1i在复平面内对应的点(a1,1)位于第二象限. (2)复数(1i)(ai)a1(1a)i，其在复平面内对应的点(a1,1a)在第二象限，故解得a1.答案(1)B(2)B方法技巧(1)复数z、复平面上的点Z及向量相互联系，即zabi(a，bR)Z(a，b).(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观 即时演练1.如图，若向量对应的复数为z，则z表示的复数为()A13iB3iC3iD3i解析：选D由图可得Z(1，1)，即z1i，所以z1i1i1i1i22i3i.2若z
28、(a2)(a1)i在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是_解析：z(a2)(a1)i在复平面内对应的点在第二象限，解得1a2.即实数a的取值范围是(1,2). 答案：(1,2) 1(2017全国卷)设有下面四个命题：p1：若复数z满足R，则zR；p2：若复数z满足z2R，则zR；p3：若复数z1，z2满足z1z2R，则z12；p4：若复数zR，则R.其中的真命题为()Ap1，p3 Bp1，p4Cp2，p3 Dp2，p4解析：选B设复数zabi(a，bR)，对于p1，R，b0，zR，p1是真命题；对于p2，z2(abi)2a2b22abiR，ab0，a0或b0，p2不是真命题；对于p
29、3，设z1xyi(x，yR)，z2cdi(c，dR)，则z1z2(xyi)(cdi)cxdy(dxcy)iR，dxcy0，取z112i，z212i，z12，p3不是真命题；对于p4，zabiR，b0，abiaR，p4是真命题2(2017全国卷)复平面内表示复数zi(2i)的点位于()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析：选Czi(2i)2ii212i，故复平面内表示复数zi(2i)的点位于第三象限3(2016全国卷)设(1i)x1yi，其中x，y是实数，则|xyi|()A1 B.C. D2解析：选B(1i)x1yi，xxi1yi.又x，yR，x1，y1.|xyi|1i|.4(201
30、6全国卷)已知z(m3)(m1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是()A(3,1)B(1,3)C(1，) D(，3)解析：选A由题意知即3m0)，则两边平方得，则32m2, 即32mm2，解得m3或m1(舍去)2在平面几何中有如下结论：正三角形ABC的内切圆面积为S1，外接圆面积为S2，则，推广到空间可以得到类似结论：已知正四面体PABC的内切球体积为V1，外接球体积为V2，则()A. B.C. D.解析：选D正四面体的内切球与外接球的半径之比为13，故.归纳推理典例(1)在电脑中打出如下若干个圈：，若将此若干个圈依此规律继续下去，得到一系列的圈，那么在前100个圈中的的个数
31、是()A12B13C14D15 (2)(2016山东高考)观察下列等式：2212；222223；222234；222245；照此规律，2222_.解析(1)由题意知当实心圈的个数为n时，其前面(算上本身)共有(123n)nn个圆圈， 故n(n3)200，解得n的最大值为12，故前100个圈中实心圈共有12个. (2)通过观察已给出等式的特点，可知等式右边的是个固定数，后面第一个数是等式左边最后一个数括号内角度值分子中的系数的一半，后面第二个数是第一个数的下一个自然数，所以，所求结果为n(n1)，即n(n1)答案(1)10n(n1)(n2)(2)n(n1)方法技巧归纳推理问题的常见类型及解题策略
32、常见类型解题策略与数字有关的等式的推理观察数字特点，找出等式左右两侧的规律及符号可解与式子有关的推理观察每个式子的特点，找到规律后可解与图形变化有关的推理合理利用特殊图形归纳推理得出结论，并用赋值检验法验证其真伪性即时演练1观察下列等式：121；12223；1222326；1222324210；照此规律，第n个等式为_解析：观察规律可知，第n个式子为12223242(1)n1n2(1)n1.答案：12223242(1)n1n2(1)n12已知结论“a1，a2R，且a1a21，则4；若a1，a2，a3R，且a1a2a31，则9”，请猜想若a1，a2，anR，且a1a2an1，则_.解析：由题意知
33、，结论左端各项分别是和为1的各数ai的倒数(i1,2，n), 右端n2时为422，n3时为932, 故aiR，a1a2an1时，结论为n2(n2). 答案：n2演绎推理典例数列an的前n项和记为Sn，已知a11，an1Sn(nN*)证明：(1)数列是等比数列；(2)Sn14an.证明(1)an1Sn1Sn，an1Sn，(n2)Snn(Sn1Sn)，即nSn12(n1)Sn.故2，(小前提)故是以1为首项，2为公比的等比数列(结论)(大前提是等比数列的定义)(2)由(1)可知4(n2)，Sn14(n1)4Sn14an(n2)(小前提)又a23S13，S2a1a21344a1，(小前提)对于任意正
34、整数n，都有Sn14an.(结论)方法技巧演绎推理的推理过程中的2个注意点(1)演绎推理是从一般到特殊的推理，其一般形式是三段论，应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，如果前提是显然的，则可以省略，本题中，等比数列的定义在解题中是大前提，由于它是显然的，因此省略不写(2)在推理论证过程中，一些稍复杂一点的证明题常常要由几个三段论才能完成 即时演练已知函数yf(x)满足：对任意a，bR，ab，都有af(a)bf(b)af(b)bf(a)，试证明：f(x)为R上的单调增函数证明：设x1，x2R，取x1x1f(x2)x2f(x1)，x1f(x1)f(x2)x2f(x2)f(x1)0
35、，f(x2)f(x1)(x2x1)0，x10，f(x2)f(x1)yf(x)为R上的单调增函数1(2017全国卷)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩根据以上信息，则()A乙可以知道四人的成绩B丁可以知道四人的成绩C乙、丁可以知道对方的成绩D乙、丁可以知道自己的成绩解析：选D依题意，四人中有2位优秀，2位良好，由于甲知道乙、丙的成绩，但还是不知道自己的成绩，则乙、丙必有1位优秀，1位良好，甲、丁必有1位优秀，1位良好，因此，乙知道丙的成绩后，必然知
36、道自己的成绩；丁知道甲的成绩后，必然知道自己的成绩，因此选D.2(2016北京高考)袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半甲、乙、丙是三个空盒每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则()A乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B乙盒中红球与丙盒中黑球一样多C乙盒中红球不多于丙盒中红球D乙盒中黑球与丙盒中红球一样多解析：选B法一：取两个球往盒子中放有4种情况：红红，则乙盒中红球数加1；黑黑，则丙盒中黑球数加1；红黑(红球放入甲盒中)，则乙盒中黑球数加1；黑红(黑球放入甲盒中)，则丙盒中红球数加1.因为
37、红球和黑球个数一样多，所以和的情况一样多，和的情况完全随机和对B选项中的乙盒中的红球数与丙盒中的黑球数没有任何影响和出现的次数是一样的，所以对B选项中的乙盒中的红球数与丙盒中的黑球数的影响次数一样综上，选B.法二：若袋中有两个球，则红球、黑球各一个，若红球放在甲盒，则黑球放在乙盒，丙盒中没有球，此时乙盒中黑球多于丙盒中黑球，乙盒中黑球比丙盒中红球多，故可排除A、D；若袋中有四个球，则红球、黑球各两个，若取出两个红球，则红球一个放在甲盒，余下一个放在乙盒，再取出余下的两个黑球，一个放在甲盒，则余下一个放在丙盒，所以甲盒中一红一黑，乙盒中一个红球，丙盒中一个黑球，此时乙盒中红球比丙盒中红球多，排除
38、C，故选B.3(2016全国卷)有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是_解析：法一：由题意得丙的卡片上的数字不是2和3.若丙的卡片上的数字是1和2，则由乙的说法知乙的卡片上的数字是2和3，则甲的卡片上的数字是1和3，满足题意；若丙的卡片上的数字是1和3，则由乙的说法知乙的卡片上的数字是2和3，则甲的卡片上的数字是1和2，不满足甲的说法故甲的卡片上的数字是1和3.法二：因为甲与乙的卡片上相同的
39、数字不是2，所以丙的卡片上必有数字2.又丙的卡片上的数字之和不是5，所以丙的卡片上的数字是1和2.因为乙与丙的卡片上相同的数字不是1，所以乙的卡片上的数字是2和3，所以甲的卡片上的数字是1和3.答案：1和34(2014全国卷)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一个城市由此可判断乙去过的城市为_解析：由甲、丙的回答易知甲去过A城市和C城市，乙去过A城市或C城市，结合乙的回答可得乙去过A城市答案：A一、选择题1下面几种推理是合情推理的是()由圆的性质类比出球的有关性质；由直角三角形、等腰三角形、
40、等边三角形的内角和是180，归纳出所有三角形的内角和都是180；教室内有一把椅子坏了，则该教室内的所有椅子都坏了；三角形内角和是180，四边形内角和是360，五边形内角和是540，由此得出凸多边形的内角和是(n2)180.ABC D解析：选A根据题意，依次分析4个推理：对于，在推理过程中由圆的性质类比出球的有关性质，是类比推理；对于，符合归纳推理的定义，即是由特殊到一般的推理过程，是归纳推理；对于，不是合情推理，对于，符合归纳推理的定义，即是由特殊到一般的推理过程，是归纳推理，所以是合情推理的是.2已知正方形的对角线相等；平行四边形的对角线相等；正方形是平行四边形由组合成“三段论”，根据“三段
41、论”推理出一个结论，则这个结论是()A正方形是平行四边形 B平行四边形的对角线相等C正方形的对角线相等 D以上均不正确解析：选C由演绎推理三段论可得，“平行四边形的对角线相等”为大前提，“正方形是平行四边形”为小前提， 则结论为“正方形的对角线相等”3将正奇数按如图所示的规律排列，则第21行从左向右的第5个数为()A731 B809C852 D891解析：选B由题意知，前20行共有正奇数13539202400个， 则第21行从左向右的第5个数是第405个正奇数， 所以这个数是24051809. 4某校高二(1)班每周都会选出两位“迟到之星”，在“迟到之星”人选揭晓之前，小马说：“两个人选应该在
42、小赵、小宋和小谭三人之中产生”，小赵说：“一定没有我，肯定有小宋”，小宋说：“小马、小谭二人中有且仅有一人是迟到之星”，小谭说：“小赵说的对”已知这四人中有且只有两人的说法是正确的，则“迟到之星”是()A小赵、小谭 B小马、小宋C小马、小谭 D小赵、小宋解析：选A小马说：“两个人选应该是在小赵、小宋和小谭三人之中产生”，如果小马说假话，则小赵、小宋、小谭说的都是假话，不合题意，所以小马说的是真话；小赵说：“一定没有我，肯定有小宋”是假话， 否则，小谭说的是真话，这样有三人说真话，不合题意； 小宋说：“小马、小谭二人中有且仅有一人是迟到之星”，是真话；小谭说：“小赵说的对”，是假话；这样，四人中
43、有且只有小马和小宋的说法是正确的， 且“迟到之星”是小赵和小谭5将正整数排列如下：12345678910111213141516则图中数2 018出现在()A第44行第83列 B第45行第83列C第44行第82列 D第45行第82列解析：选D由题意可知第n行有2n1个数，则前n行的数的个数为135(2n1)n2，因为4421 936,4522 025，且1 9362 0182 025，所以2 018在第45行，又第45行有245189个数，2 0181 93682，故2 018在第45行第82列，选D.6单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图其中第一个图有1个蜂巢，第二个
44、图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以f(n)表示第n幅图的蜂巢总数，则f(n)()A3n23n1 B3n23n2C3n23n D3n23n1解析：选A由于f(2)f(1)716，f(3)f(2)19726，f(4)f(3)371936，f(5)f(4)613746，因此，当n2时，有f(n)f(n1)6(n1)，所以f(n)f(n)f(n1)f(n1)f(n2)f(2)f(1)f(1)6(n1)(n2)2113n23n1.又f(1)3123111，所以f(n)3n23n1.7以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的详解九章算法一书中的“杨辉三角形”1 2 3 4 5 2 01
45、52 0162 0172 0183 5 7 9 4 0314 0334 03581216 8 0648 068 2028 16 132该表由若干行数字组成，从第二行起，第一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数为()A2 01922 015 B2 01922 016C2 01822 017 D2 01822 016解析：选B当第一行为2个数时，最后一行仅一个数，为331320；当第一行为3个数时，最后一行仅一个数，为842421；当第一行为4个数时，最后一行仅一个数，为2054522；当第一行为5个数时，最后一行仅一个数，为4868623；归纳推理得，当第一行为2
46、 018个数时，最后一行仅一个数，为2 01922 016.8我国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中较小者为勾，另一直角边为股，斜边为弦若a，b，c为直角三角形的三边，其中c为斜边，则a2b2c2，称这个定理为勾股定理现将这一定理推广到立体几何中：在四面体O ABC中，AOBBOCCOA90，S为顶点O所对面的面积，S1，S2，S3分别为侧面OAB，OAC，OBC的面积，则下列选项中对于S，S1，S2，S3满足的关系描述正确的为()AS2SSSBS2CSS1S2S3DS解析：选A如图，作OD BC于点D，连接AD，由立体几何知识知，ADBC，从而S22BC2AD2BC2(OA2OD2)(O
47、B2OC2)OA2BC2OD2222SSS.二、填空题9如果函数f(x)在区间D上是凸函数，那么对于区间D内的任意x1，x2，xn，都有f.若ysin x在区间(0，)上是凸函数，那么在ABC中，sin Asin Bsin C的最大值是_解析：由题意知，凸函数满足f，又ysin x在区间(0，)上是凸函数，则sin Asin Bsin C3sin3sin.答案：10(2018湛江一模)如图，已知点O是ABC内任意一点，连接AO，BO，CO，并延长交对边于A1，B1，C1则1，类比猜想：点O是空间四面体ABCD内任意一点，连接AO，BO，CO，DO，并延长分别交平面BCD，ACD，ABD，ABC
48、于点A1，B1，C1，D1，则有_解析：猜想：若O为四面体ABCD内任意一点，连接AO，BO，CO，DO，并延长分别交平面BCD，ACD，ABD，ABC于点A1，B1，C1，D1，则1.用等体积法证明如下：1.答案：111(2017北京高考)某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：()男学生人数多于女学生人数；()女学生人数多于教师人数；()教师人数的两倍多于男学生人数若教师人数为4，则女学生人数的最大值为_该小组人数的最小值为_解析：令男学生、女学生、教师人数分别为x，y，z，则zyx2z.若教师人数为4，则4yx8，当x7时，y取得最大值6.当z1时，1zyx2，不满足条
49、件；当z2时，2zyx4，不满足条件；当z3时，3zyx6，y4，x5，满足条件所以该小组人数的最小值为34512.答案：61212观察下列式子：1，1，1，根据以上式子可以猜想：1_.解析：由1，1，1，1，1.故1.答案：三、解答题13在锐角三角形ABC中，求证：sin Asin Bsin Ccos Acos Bcos C.证明：ABC为锐角三角形，AB，AB，ysin x在上是增函数，sin Asincos B，同理可得sin Bcos C，sin Ccos A，sin Asin Bsin Ccos Acos Bcos C.14某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常
50、数：sin213cos217sin 13cos 17；sin215cos215sin 15cos 15；sin218cos212sin 18cos 12；sin2(18)cos248sin(18)cos 48；sin2(25)cos255sin(25)cos 55.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论解：(1)选择式，计算如下：sin215cos215sin 15cos 151sin 301.(2)三角恒等式为sin2cos2(30)sin cos(30).证明如下：法一：sin2cos2(30)sin co
51、s(30)sin2(cos 30cos sin 30sin )2sin (cos 30cos sin 30sin )sin2cos2sin cos sin2sin cos sin2sin2cos2.法二：sin2cos2(30)sin cos(30)sin (cos 30cos sin 30sin )cos 2(cos 60cos 2sin 60sin 2)sin cos sin2cos 2cos 2sin 2sin 2(1cos 2)1cos 2cos 2.1为弘扬中国传统文化，某校在高中三个年级中抽取甲、乙、丙三名同学进行问卷调查调查结果显示这三名同学来自不同的年级，加入了不同的三个社团：
52、“楹联社”“书法社”“汉服社”，还满足如下条件：(1)甲同学没有加入“楹联社”；(2)乙同学没有加入“汉服社”；(3)加入“楹联社”的那名同学不在高二年级；(4)加入“汉服社”的那名同学在高一年级；(5)乙同学不在高三年级则甲同学所在的社团是()A楹联社 B书法社C汉服社 D条件不足无法判断解析：选C假设乙在高一，则由(4)知乙加入“汉服社”，与(2)矛盾， 结合(5)知，乙在高二年级根据(3)，可得乙加入“书法社”根据(1)可知甲同学没有加入“楹联社”， 可得甲同学所在的社团是汉服社. 2已知132332,13233362,13233343102，若13233343n33 025，则n()A
53、8 B9C10 D11解析：选C132332(12)2，13233362(123)2，13233343102(1234)2，132333n3(123n)2. 13233343n33 025，3 025，n2(n1)2(255)2，n(n1)110，解得n10. 高考研究课(四)证明3方法 综合法、分析法、反证法 全国卷5年命题分析考点考查频度考查角度直接证明与间接证明5年6考综合法、分析法、反证法证明问题分析法典例已知非零向量a，b，且ab，求证：.证明abab0，要证.只需证|a|b| |ab|，只需证|a|22|a|b|b|22(a22abb2)，只需证|a|22|a|b|b|22a22b
54、2，只需证|a|2|b|22|a|b|0，即(|a|b|)20，上式显然成立，故原不等式得证方法技巧分析法证明问题的思路与适用范围(1)分析法的思路：“执果索因”，逐步寻找结论成立的充分条件，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”或本身已经成立的定理、性质或已经证明成立的结论等，通常采用“要证只需证已知”的格式，在表达中要注意叙述形式的规范性(2)分析法证明问题的适用范围：当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接，或证明过程中所需用的知识不太明确、具体时，往往采用分析法，特别是含有根号、绝对值的等式或不等式，常考虑用分析法即时演练已知ABC的三个内角A，B，C成等差数列，A，B，C的对边分别
55、为a，b，c.求证：.证明：要证，即证3也就是1，只需证c(bc)a(ab)(ab)(bc)，需证c2a2acb2，又ABC的三内角A，B，C成等差数列，故B60，由余弦定理，得b2c2a22accos 60，即b2c2a2ac，故c2a2acb2成立于是原等式成立.综合法综合法证明问题是历年高考的热点问题，也是必考问题之一通常在解答题中出现常见的命题角度有：(1)立体几何证明题；(2)数列证明题；(3)与函数、方程、不等式结合的证明题角度一：立体几何证明题1.如图，在三棱锥P ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点已知PAAC，PA6，BC8，DF5.求证：(1)直线PA平面DE
56、F；(2)平面BDE平面ABC.证明：(1)因为D，E分别为棱PC，AC的中点，所以DEPA.又因为PA平面DEF，DE平面DEF，所以直线PA平面DEF.(2)因为D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，PA6，BC8，所以DEPA，EFBC，DEPA3，EFBC4.又因为DF5，故DF2DE2EF2，所以DEF90，即DEEF.又PAAC，DEPA，所以DEAC.因为ACEFE，AC平面ABC，EF平面ABC，所以DE平面ABC.又DE平面BDE，所以平面BDE平面ABC.角度二：数列证明题2已知函数f(x)满足f(xy)f(x)f(y)且f(1).(1)当nN*时，求f(n)的表达式；
57、(2)设annf(n)，nN*，求证：a1a2a3an2.解：(1)因为函数f(x)满足f(xy)f(x)f(y)，所以令y1，得f(x1)f(x)f(1)，所以f(n1)f(n)f(1)又因为f(1)，所以，所以f(n)n(nN*)(2)证明：由(1)得annn，设Tna1a2a3an1an，则Tn12233(n1)n1nn，所以Tn1223(n2)n1(n1)nnn1，所以由得Tn23n1nnn1nn11nnn11，所以Tn22，即a1a2a3an1an0，证明：d1，d2，dn1是等比数列；解：(1)d12，d23，d36.(2)证明：因为a10，公比q1，所以a1，a2，an是递增数列
58、因此，对i1,2，n1，Aiai，Biai1.于是对i1,2，n1，diAiBiaiai1a1(1q)qi1.因此di0且q(i1,2，n2)，即d1，d2，dn1是等比数列一、选择题1设x，y，z，则x，y，z的大小关系是()AxyzBzxyCyzx Dxzy解析：选D由题意知x，y，z都是正数，又x2z22(84)460，xz.1，zy，xzy.2对于定义域为D的函数yf(x)和常数c，若对任意正实数，x0D，使得0|f(x0)c|0，则f(x1)f(x2)的值()A恒为负值 B恒等于零C恒为正值 D无法确定正负解析：选A由f(x)是定义在R上的奇函数，且当x0时，f(x)单调递减，可知f
59、(x)是R上的单调递减函数，由x1x20，可知x1x2，f(x1)f(x2)f(x2)，则f(x1)f(x2)B.C.D不能确定解析：选B由题意知，()()() ()，因为()2()222()0，所以0，则实数p的取值范围是_解析：法一：(补集法)令解得p3或p，故满足条件的p的范围为.法二：(直接法)依题意有f(1)0或f(1)0，即2p2p10或2p23p90，得p1或3p，故满足条件的p的取值范围是.答案：9(2018德州一模)如果A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于A2B2C2的三个内角的正弦值，则A2B2C2是_三角形解析：由条件知，A1B1C1的三个内角的余弦值均大于0，则A1B
60、1C1是锐角三角形，假设A2B2C2是锐角三角形由得那么，A2B2C2，这与三角形内角和为相矛盾所以假设不成立，又显然A2B2C2不是直角三角形所以A2B2C2是钝角三角形答案：钝角三、解答题10已知a，b，c为不全相等的正数，求证：3.证明：因为a，b，c为不全相等的正数，所以32 2 2 33，即3.11在数列an中，a12，an1(nN*)，(1)计算a2，a3，a4，并由此猜想通项公式an；(2)证明(1)中的猜想解：(1)在数列an中，a12，an1(nN*)，a12，a2，a3，a4，猜想这个数列的通项公式是an.(2)证明：an1，1，1.a12，是以为首项，1为公差的等差数列，
61、(n1)1，an.12已知函数f(x)x3ax在x1处取得极小值，其中a是实数(1)求实数a的值；(2)用反证法证明：当x0时，中至少有一个不小于.解：(1)f(x)x3ax，f(x)3x2a，函数f(x)x3ax在x1处取得极小值，f(1)0，即3a0，a3.(2)证明：假设，都小于，即2，即x0，即x1y1x1y2x1y3x1y4 x2y1x2y2x2y3x2y4x3y1x3y2x3y3x3y4x4y1x4y2x4y3x4y40，即T1T2T3T40，即T1，T2，T3，T4中至少有一个为正数选A.2设fn(x)是等比数列1，x，x2，xn的各项和，其中x0，nN，n2.(1)证明：函数F
62、n(x)fn(x)2在内有且仅有一个零点(记为xn)，且xnx；(2)设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为gn(x)，比较fn(x)和 gn(x)的大小，并加以证明解：(1)证明：Fn(x)fn(x)21xx2xn2，则Fn(1)n10，Fn12n220，所以Fn(x)在内至少存在一个零点又Fn(x)12xnxn10，故Fn(x)在内单调递增，所以Fn(x)在内有且仅有一个零点xn.因为xn是Fn(x)的零点，所以Fn(xn)0，即20，故xnx.(2)由题设，gn(x).设h(x)fn(x)gn(x)1xx2xn，x0.当x1时，fn(x)gn(x)当x1时
63、，h(x)12xnxn1.若0x1，h(x)xn12xn1nxn1xn1xn1xn10.若x1，h(x)xn12xn1nxn1xn1xn1xn10.所以h(x)在(0,1)上递增，在(1，)上递减，所以h(x)h(1)0，即fn(x)gn(x)综上所述，当x1时，fn(x)gn(x)；当x1时，fn(x)gn(x)阶段滚动检测(五)检测范围：第一单元至第十九单元(对应配套卷P357) (时间120分钟满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1在复平面内，设za2i(i是虚数单位)，若复数z2对应的点位于虚轴的正半轴上，
64、则实数a的值为()A0B2C2 D2或2解析：选B因为za2i，所以z2a244ai.因为复数z2对应的点位于虚轴的正半轴上，所以所以a2.2设UR，集合Mx|x2x20，Nx2x1，则(UM)N()A2,0 B2,1C0,1 D0,2解析：选A由题意可得UM2,1，N(，0，故(UM)N2,03已知函数f(x)x22，g(x)log2|x|，则函数F(x)f(x)g(x)的图象大致为()解析：选Bf(x)，g(x)均为偶函数，则F(x)也为偶函数，由此排除A，D.当x2时，x220，所以F(x)7.879，因此有99.5%把握认为学生的数学成绩与物理成绩之间有关系5已知数列an的首项为1，前
65、n项和为Sn，若数列an与Sn2都是公比为q的等比数列，则q的值为()A. B1C. D2解析：选C根据题意可得：q，即q，解得q.6现有2名女教师和1名男教师参加说题比赛，共有2道备选题目，若每位选手从中有放回地随机选出一道题进行说课，其中恰有一男一女抽到同一道题的概率为()A. B.C. D.解析：选C记两道题分别为A，B，所有抽取的情况为AAA，AAB，ABA，ABB，BAA，BAB，BBA，BBB(其中第1个，第2个分别表示两个女教师抽取的题目，第3个表示男教师抽取的题目)，共有8种；其中满足恰有一男一女抽到同一道题目的情况为ABA，ABB，BAA，BAB，共4种故所求事件的概率为.7
66、执行如图所示程序框图，输出i的值为()A6 B7C8 D9解析：选C由图可得s0ln 2ln 1ln 3ln 2lnln iln(i1)，当i7时，sln 82，此时输出的i8.8观察下列各式：553 125,5615 625,5778 125,58390 625，591 953 125，则52 018的末四位数字为()A3 125 B5 625C0 625 D8 125解析：选B由题意可知，n4时，5n的末四位数字以T4为周期，又因为2 01845036，所以52 018的末四位数字与56的末四位数字相同，即为5 625.9已知集合M，N，A是集合N中任意一点，O为坐标原点，则直线OA与yx
67、21有交点的概率是()A. B.C. D.解析：选C易知过点(0,0)与yx21相切的直线为y2x(斜率小于0的无需考虑)，集合N中共有16个元素，其中使直线OA的斜率不小于2的有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,4)，共4个，故所求的概率为.10如图， 网格纸上的小正方形的边长为1, 粗实线画出的是某几何体的三视图， 则该几何体的体积为()A46 B86C412 D812解析：选B由三视图可知，该几何体是组合体，下面是一个底面半径为2，高为3的圆柱的一半，上面是一个高为2，底面是一个边长为3,4的矩形的四棱锥，所以该几何体的体积V22343286.11已知双曲线1(a0，b0)的左、
68、右两个焦点分别为F1，F2，以线段F1F2为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为M，若|MF1|MF2|2b，该双曲线的离心率为e，则e2()A2 B.C. D.解析：选D由题意，圆的方程为x2y2c2，联立得即点M(a，b)，则|MF1|MF2|2b，即2，2，化简得，e4e210，解得e2.12已知函数f(x)(e为自然对数的底数)，函数g(x)满足g(x)f(x)2f(x)，其中f(x)，g(x)分别为函数f(x)和g(x)的导函数，若函数g(x)在1,1上是单调函数，则实数a的取值范围为()A(，1 B.C(1，) D.解析：选B因为f(x)，所以g(x)f(x)2f(x).因为
69、函数g(x)在1,1上是单调函数，所以g(x)0或g(x)0.当a0时，g(x)0，满足题意；因为ex0，所以当a0时， 只需ax22ax10在1,1上成立即可，所以a2a10，则a0时，只需ax22ax10在1,1上成立，所以a2a10，则00，b0)的最大值为3，则的最小值为_解析：作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，根据目标函数z与直线在y轴上的截距的关系可知，当目标函数z2xy2ab(a0，b0)过点A(1,0)时取得最大值3，即2ab1，则(2ab)332 32，当且仅当，即b2a2时，取得最小值32.答案：32三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时写出必要的文字说
70、明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，2bsin B(2ac)sin A(2ca)sin C.(1)求B的大小；(2)若b，A，求ABC的面积解：(1)2bsin B(2ac)sin A(2ca)sin C，由正弦定理得，2b2(2ac)a(2ca)c，化简得，a2c2b2ac0.cos B.0B，B.(2)A，C.sin Csinsincoscossin.b，B，由正弦定理得c.ABC的面积Sbcsin A.18(本小题满分12分)某高中为了选拔学生参加“全国中学生英语能力竞赛(NEPCS)”，先在本校进行初赛(满分150分)，若该
71、校有100名学生参加初赛，并根据初赛成绩得到如图所示的频率分布直方图(1)根据频率分布直方图，计算这100名学生参加初赛成绩的中位数；(2)该校推荐初赛成绩在110分以上的学生代表学校参加竞赛，为了了解情况，在该校推荐参加竞赛的学生中随机抽取3人，求选取的三人的初赛成绩在频率分布直方图中处于同组的概率解：(1)设初赛成绩的中位数为x，则(0.0010.0040.009)200.02(x70)0.5，解得x81，所以初赛成绩的中位数为81.(2)由题意知，该校学生的初赛分数在110,130)的有4人，分别记为A，B，C，D，分数在130,150)的有2人，分别记为a，b，则在6人中随机选取3人，
72、总的事件有(A，B，C)，(A，B，D)，(A，B，a)，(A，B，b)，(A，C，D)，(A，C，a)，(A，C，b)，(A，D，a)，(A，D，b)，(A，a，b)，(B，C，D)，(B，C，a)，(B，C，b)，(B，D，a)，(B，D，b)，(B，a，b)，(C，D，a)，(C，D，b)，(C，a，b)，(D，a，b)，共20个基本事件，选取的这三人的初赛成绩在频率分布直方图中处于同组的基本事件有(A，B，C)，(A，B，D)，(A，C，D)，(B，C，D)共4个故选取的这三人的初赛成绩在频率分布直方图中处于同组的概率为P.19(本小题满分12分)如图，已知平行四边形ABCD与直角梯形
73、ABEF所在的平面互相垂直，且ABBEAF1，BEAF，ABAF，CBA，BC，P为DF的中点(1)求证：PE平面ABCD；(2)求三棱锥ABCE的体积解：(1)证明：取AD的中点M，连接MP，MB，P为DF的中点，MP綊AF.又BE綊AF，BE綊MP，四边形BEPM是平行四边形，PEMB.又PE平面ABCD，MB平面ABCD.PE平面ABCD.(2)在ABC中，由余弦定理可得AC2AB2BC22ABBCcosCBA1()221cos 1，AC1，AC2AB2BC2，ACAB.平面ABCD平面ABEF，平面ABCD平面ABEFAB，AC平面ABEF.SABEBEAB11，VABCEVCABES
74、ABEAC1.20(本小题满分12分)某种商品价格与该商品日需求量之间的几组对照数据如下表：价格x(元/kg)1015202530日需求量y(kg)1110865(1)求y关于x的线性回归方程；(2)利用(1)中的回归方程，当价格x40元/kg时，日需求量y的预测值为多少？附：对于一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)，其回归直线x的斜率和截距的最小二乘估计分别为：， .解：(1)由所给数据计算得(1015202530)20，(1110865)8，(xi)2(10)2(5)20252102250，(xi)(yi)103(5)2005(2)10(3)80，0.32. 80.322
75、014.4.故所求线性回归方程为0.32x14.4.(2)由(1)知当x40时，0.324014.41.6.故当价格x40元/kg时，日需求量y的预测值为1.6 kg.21(本小题满分12分)(2018昆明三中、玉溪一中统考)如图，已知椭圆E：1(ab0)的离心率为，且过点(2，)，四边形ABCD的顶点在椭圆E上，且对角线AC，BD过原点O，kACkBD.(1)求的取值范围；(2)求证：四边形ABCD的面积为定值解：(1)由题意知得椭圆的标准方程为1.当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为ykxm，A(x1，y1)，B(x2，y2)由(12k2)x24kmx2m280，x1x2，x1x2.
76、y1y2(kx1m)(kx2m)k2kmm2.kOAkOB，m24k22.x1x2y1y22，22，当k0时，2，当k不存在，即ABx轴时，2，的取值范围是2,2(2)证明：由题意知SABCD4SAOB.SAOB22，SABCD8.即四边形ABCD的面积为定值22(本小题满分12分)已知函数f(x)axex1，aR.(1)求f(x)的单调区间；(2)若f(x)0在xR上恒成立，求实数a的值；(3)当a1时，对任意的0mn，求证：11.解：(1)f(x)aex，当a0时，f(x)0时，由f(x)0，得xln a；由f(x)ln a，f(x)的单调递增区间为(，ln a)，单调递减区间为(ln a，)(2)由(1)知，当a0时，f(x)在(，)上单调递减，而f(0)0，f(x)0在R上不可能恒成立；当a0时，f(x)在(，ln a)上单调递增，在(ln a，)上单调递减，f(x)maxf(ln a)aln aa1.令g(a)aln aa1，依题意有g(a)0，而g(a)ln a，且a0，g(a)在(0,1)上单调递减，在(1，)上单调递增，g(a)ming(1)0，故a1.(3)证明：由(2)知：a1时，f(ln x)ln xx10恒成立，所以有ln xx1(x0)则111.综上所述：对任意的0mn，有11.