1、第二节平面向量的基本定理及坐标表示考纲传真1.了解平面向量的基本定理及其意义.2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件1平面向量基本定理(1)定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数1，2，使a1e12e2.(2)基底：不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底2平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘及向量的模设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab(x1x2，y1y2)，ab(x1x2，y1y2)，a(x1，y1)，|a|.
2、(2)向量坐标的求法若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(x2x1，y2y1)，|.3平面向量共线的坐标表示设a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中a0，b0，a，b共线x1y2x2y10.1若a与b不共线，且ab0，则0.2若G是ABC的重心，则0，()基础自测1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底()(2)在ABC中，向量，的夹角为ABC.()(3)同一向量在不同基底下的表示是相同的()(4)若a，b不共线，且1a1b2a2b，则12，12.()答案(1)(2)(3)(
3、4)2(教材改编)已知平面向量a(1,1)，b(1，1)，则向量ab()A(2，1)B(2,1)C(1,0) D(1,2)Da(1,1)，b(1，1)，a，bab(1,2)，故选D3在下列向量组中，可以把向量a(3,2)表示出来的是()Ae1(0,0)，e2(1,2)Be1(1,2)，e2(5，2)Ce1(3,5)，e2(6,10)De1(2，3)，e2(2,3)BA项中e1e2，C项中e22e1，D项中e1e2，只有B项中e1，e2不共线，故a可以由e1(1,2)，e2(5，2)表示，故选B4设向量a(2,4)与向量b(x,6)共线，则实数x等于()A2B3 C4D6B由ab可知264x0，
4、x3.故选B5(教材改编)已知ABCD的顶点A(1，2)，B(3，1)，C(5,6)，则顶点D的坐标为_(1,5)设D(x，y)，则由，得(4,1)(5x,6y)，即解得平面向量基本定理及其应用1如果e1，e2是平面内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是()Ae1与e1e2Be12e2与e12e2Ce1e2与e1e2 De13e2与6e22e1D选项A中，设e1e2e1，则无解；选项B中，设e12e2(e12e2)，则无解；选项C中，设e1e2(e1e2)，则无解；选项D中，e13e2(6e22e1)，所以两向量是共线向量故选D2在ABC中，M为边BC上任
5、意一点，N为AM的中点，则的值为()A.B C.D1A因为M为边BC上任意一点，所以可设xy(xy1)因为N为AM的中点，所以xy.所以(xy).故选A.3如图，以向量a，b为邻边作OADB，用a，b表示，.解ab，ab，abab，ab，ababab综上，ab，ab，ab规律方法平面向量基本定理应用的实质和一般思路(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决平面向量的坐标运算【例1】(1)向量a，b满足ab(1,5)，ab
6、(5，3)，则b为()A(3,4) B(3,4)C(3，4) D(3，4)(2)向量a，b，c在正方形网格中，如图所示，若cab(，R)，则()A1B2 C3D4(1)A(2)D(1)ab(1,5)，ab(5，3)，a(2,1)，b(3,4)，故选A.(2)以O为坐标原点，建立坐标系可得a(1,1)，b(6,2)，c(1，3)cab(，R)解得2，.4.规律方法(1)巧借方程思想求坐标：若已知向量两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中注意方程思想的应用(2)向量问题坐标化：向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可以用坐标来进行，实现了向量运算的代数化，将数与形结合起来，使几何问题转化为数
7、量运算问题 (1)已知A(1,4)，B(3,2)，向量(2,4)，D为AC的中点，则()A(1,3)B(3,3)C(3，3) D(1，3)(2)若向量a(2,1)，b(1,2)，c，则c可用向量a，b表示为()Acab BcabCcab Dcab(1)B(2)A(1)D为AC的中点，()，又(4,2)，(2,4)，(6,6)(3,3)，故选B(2)设cxayb，易知caB故选A.向量共线的坐标表示【例2】已知a(1,0)，b(2,1)(1)当k为何值时，kab与a2b共线；(2)若2a3b，amb，且A，B，C三点共线，求m的值解(1)a(1,0)，b(2,1)，kabk(1,0)(2,1)(
8、k2，1)，a2b(1,0)2(2,1)(5,2)，kab与a2b共线，2(k2)(1)50，k.(2)2(1,0)3(2,1)(8,3)，(1,0)m(2,1)(2m1，m)A，B，C三点共线，8m3(2m1)0，m.规律方法与向量共线有关的题型与解法(1)证三点共线：可先证明相关的两向量共线，再说明两向量有公共点；(2)已知向量共线，求参数：可利用向量共线的充要条件列方程(组)求解 (1)已知向量a(1,1)，b(2，x)，若ab与3ab平行，则实数x的值是_(2)已知向量(k,12)，(4,5)，(k,10)，且A，B，C三点共线，则实数k的值是_(1)2(2)(1)由题意得ab(3,1
9、x)，3ab(1,3x)，则由ab与3ab平行得3(3x)1(1x)0，解得x2.(2)(4k，7)，(2k，2)A，B，C三点共线，共线，2(4k)7(2k)，解得k.1(2015全国卷)已知点A(0,1)，B(3,2)，向量(4，3)，则向量()A(7，4)B(7,4)C(1,4) D(1,4)A(3,2)(0,1)(3,1)，(4，3)(3,1)(7，4)故选A.2(2018全国卷)已知向量a(1,2)，b(2，2)，c(1，)若c(2ab)，则_.2ab(4,2)，因为c(1，)，且c(2ab)，所以124，即.3(2016全国卷)已知向量a(m,4)，b(3，2)，且ab，则m_.6a(m,4)，b(3，2)，ab，2m430，m6.
