1、3.2基本不等式与最大(小)值课后篇巩固探究1.若a0,b0,且ln(a+b)=0,则1a+1b的最小值是() A.14B.1C.4D.8解析:由a0,b0,ln(a+b)=0,得a0,b0,a+b=1,所以1a+1b=a+ba+a+bb=2+ba+ab2+2baab=4,当且仅当a=b=12时,等号成立.所以1a+1b的最小值为4.答案:C2.若x4,则函数y=-x+14-x()A.有最大值-6B.有最小值6C.有最大值-2D.有最小值2解析:因为x4,所以x-40.所以y=-x+14-x=-(x-4)+1x-4-4-2-4=-6,当且仅当x-4=1x-4,即x=5时,等号成立.答案:A3.
2、已知x1,y1,且14ln x,14,ln y成等比数列,则xy有()A.最小值eB.最小值eC.最大值eD.最大值e解析:因为x1,y1,且14ln x,14,ln y成等比数列,所以14ln xln y=142.所以14=ln xln ylnx+lny22,当且仅当x=y=e时,等号成立,所以ln x+ln y1,即ln xy1,所以xye.答案:A4.已知函数f(x)=|lg x|,若ab,且f(a)=f(b),则a+b的取值范围是()A.(1,+)B.1,+)C.(2,+)D.2,+)解析:由已知得|lg a|=|lg b|,a0,b0,所以lg a=lg b或lg a=-lg b.因
3、为ab,所以lg a=lg b不成立,所以只有lg a=-lg b,即lg a+lg b=0,所以ab=1,b=1a.又a0,ab,所以a+b=a+1a2.故选C.答案:C5.若log4(3a+4b)=log2ab,则a+b的最小值是()A.6+23B.7+23C.6+43D.7+43解析:由题意得ab0,3a+4b0,所以a0,b0.又log4(3a+4b)=log2ab,所以log4(3a+4b)=log4ab.所以3a+4b=ab,所以4a+3b=1.所以a+b=(a+b)4a+3b=7+3ab+4ba7+23ab4ba=7+43,当且仅当3ab=4ba,即a=4+23,b=3+23时取
4、等号,故选D.答案:D6.若正数a,b,c满足c2+4bc+2ac+8ab=8,则a+2b+c的最小值为()A.3B.23C.2D.22解析:方法一:c2+4bc+2ac+8ab=(c+2a)(c+4b)=8,因为a,b,c均为正数,所以由基本不等式得(c+2a)(c+4b)c+2a+c+4b22,所以a+2b+c22.当且仅当c+2a=c+4b,即a=2b时,等号成立.方法二:(a+2b+c)2=a2+4b2+c2+4ab+2ac+4bc,因为c2+8ab+2ac+4bc=8,所以(a+2b+c)2=a2+4b2-4ab+8=(a-2b)2+88,所以a+2b+c22.答案:D7.(2017
5、山东高考)若直线xa+yb=1(a0,b0)过点(1,2),则2a+b的最小值为.解析:直线xa+yb=1过点(1,2),1a+2b=1.a0,b0,2a+b=(2a+b)1a+2b=4+ba+4ab4+2ba4ab=8.当且仅当b=2a时“=”成立.答案:88.导学号33194063(2017天津高考)若a,bR,ab0,则a4+4b4+1ab的最小值为.解析:a,bR,且ab0,a4+4b4+1ab4a2b2+1ab=4ab+1ab4当且仅当a2=2b2,4ab=1ab,即a2=22,b2=24时取等号.答案:49.导学号33194064已知x0,y0,且2x+1y=1,若x+2ym2+2
6、m恒成立,则实数m的取值范围是.解析:因为x0,y0,且2x+1y=1,所以x+2y=(x+2y)2x+1y=4+4yx+xy4+24yxxy=8,当且仅当4yx=xy,即x=4,y=2时,x+2y取得最小值8,所以m2+2m8,解得-4m0,b0,所以1a+1b=1a+1b(a+b)=2+ba+ab2+2baab=4,当且仅当a=b=12时,等号成立.所以1a+1b4.(2)解因为a+b=1,a0,b0,所以a+1a2+b+1b22a+1a+b+1b22=121+1ab2,又a+b2ab,所以0ab14,即1ab4,所以1+1ab5.所以a+1a2+b+1b2252,当且仅当a=b=12时,
7、等号成立.所以a+1a2+b+1b2的最小值为252.12.某单位用2 160万元购得一块空地,计划在该块地上建造一栋至少10层,每层2 000平方米的楼房.经测算,若将楼房建为x(x10)层,则每平方米的平均建筑费用为560+48x(单位:元).为了使楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为多少层?注:平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用,平均购地费用=购地总费用建筑总面积解设楼房每平方米的平均综合费用为f(x)元,则f(x)=560+48x+2 16010 0002 000x=560+48x+10 800x(x10,xN+),所以f(x)=560+48x+10 800x560+248x10 800x=2 000,当且仅当48x=10 800x,即x=15时,等号成立.因此,当x=15时,f(x)取最小值2 000.答:为了使楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为15层.
