1、1.2.2空间中的平面与空间向量课后篇巩固提升基础达标练1.若a=(1,2,3)是平面的一个法向量,则下列向量中能作为平面的法向量的是()A.(0,1,2)B.(3,6,9)C.(-1,-2,3)D.(3,6,8)解析向量(1,2,3)与向量(3,6,9)共线.答案B2.若直线l的方向向量为a,平面的法向量为,则能使l的是()A.a=(1,0,0),=(-2,0,0)B.a=(1,3,5),=(1,0,1)C.a=(0,2,1),=(-1,0,1)D.a=(1,-1,3),=(0,3,1)解析由l,故a,即a=0,故选D.答案D3.(多选)因为v为直线l的方向向量,n1,n2分别为平面,的法向
2、量(,不重合),那么下列选项中,正确的是()A.n1n2B.n1n2C.vn1lD.vn1l解析v为直线l的方向向量,n1,n2分别为平面,的法向量(,不重合),则n1n2,n1n2,vn1l,vn1l或l.因此AB正确.答案AB4.若平面,的法向量分别为a=(-1,2,4), b=(x,-1,-2),并且,则x的值为()A.10B.-10C.12D.-12解析因为,所以它们的法向量也互相垂直,所以ab=(-1,2,4)(x,-1,-2)=0,解得x=-10.答案B5.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为A1C1的中点,则下列与直线CE垂直的是()A.直线ACB.直线B1D1C.直
3、线A1D1D.直线A1A解析如图,连接AC,B1D1.则点E在B1D1上,点C在平面A1B1C1D1内的射影是C1,CE在平面A1B1C1D1内的射影是C1E,C1EB1D1,由三垂线定理可得,CEB1D1;在四边形AA1C1C中,C1CAC,易得AC不可能和CE垂直;A1D1BC,A1AC1C,而BC,C1C明显与CE不垂直,A1D1,A1A不可能和CE垂直.综上,选B.答案B6.已知直线l与平面垂直,直线l的一个方向向量u=(1,-3,z),向量v=(3,-2,1)与平面平行,则z=.解析由题知,uv,uv=3+6+z=0,z=-9.答案-97.若AB=CD+CE(,R),则直线AB与平面
4、CDE的位置关系是.答案AB平面CDE或AB平面CDE8.若A0,2,198,B1,-1,58,C-2,1,58是平面内三点,设平面的法向量为a=(x,y,z),则xyz=.解析由已知得,AB=1,-3,-74,AC=-2,-1,-74,a是平面的一个法向量,aAB=0,aAC=0,即x-3y-74z=0,-2x-y-74z=0,解得x=23y,z=-43y,xyz=23yy-43y=23(-4).答案23(-4)9.在如图所示的坐标系中,ABCD-A1B1C1D1表示棱长为1的正方体,给出下列结论:直线DD1的一个方向向量为(0,0,1);直线BC1的一个方向向量为(0,1,1);平面ABB
5、1A1的一个法向量为(0,1,0);平面B1CD的一个法向量为(1,1,1).其中正确的是.(填序号)解析DD1AA1,AA1=(0,0,1),故正确;BC1AD1,AD1=(0,1,1),故正确;直线AD平面ABB1A1,AD=(0,1,0),故正确;点C1的坐标为(1,1,1),AC1与平面B1CD不垂直,故错误.答案10.如图所示,在四棱锥S-ABCD中,底面是直角梯形,ADBC,ABC=90,SA底面ABCD,且SA=AB=BC=1,AD=12,建立适当的空间直角坐标系,求平面SCD与平面SBA的一个法向量.解以A为坐标原点,AD,AB,AS所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立如图所示
6、的空间直角坐标系Axyz,则A(0,0,0),D12,0,0,C(1,1,0),S(0,0,1),则DC=12,1,0,DS=-12,0,1,向量AD=12,0,0是平面SBA的一个法向量.设n=(x,y,z)为平面SCD的一个法向量,则nDC=12x+y=0,nDS=-12x+z=0,即y=-12x,z=12x.取x=2,得y=-1,z=1,故平面SCD的一个法向量为(2,-1,1).11.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是C1C,B1C1的中点.求证:MN平面A1BD.证法一MN=C1N-C1M=12C1B1-12C1C=12(D1A1-D1D)=12DA1,MN
7、DA1,MN平面A1BD.证法二如图,以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为1,则可求得M0,1,12,N12,1,1,D(0,0,0),A1(1,0,1),B(1,1,0),于是MN=12,0,12,DA1=(1,0,1),DB=(1,1,0),设平面A1BD的法向量是n=(x,y,z),则nDA1=0,且nDB=0,得x+z=0,x+y=0.取x=1,得y=-1,z=-1.n=(1,-1,-1).又MNn=12,0,12(1,-1,-1)=0,MNn,且MN平面A1BD.MN平面A1BD.证法三MN=C1N-C1M=12D1A1-1
8、2D1D=12(DB+BA)-12(D1A1+A1D)=12DB+12BA-12D1A1-12A1D=12DB+12DA1+12(BA-DA)=12DB+12DA1+12BD=12DA1.即MN可以用DA1与DB线性表示,MN与DA1,DB是共面向量,MN平面A1BD,即MN平面A1BD.12.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA底面ABCD,ABAD,ACCD,ABC=60,PA=AB=BC,E是PC的中点.求证:(1)AECD;(2)PD平面ABE.证明(1)AB,AD,AP两两垂直,建立如图所示的空间直角坐标系.设PA=AB=BC=1,则P(0,0,1).ABC=60,ABC为正三角形.C
9、12,32,0,E14,34,12,A(0,0,0).设D(0,y,0),AC=12,32,0,CD=-12,y-32,0.由ACCD,得ACCD=0,即y=233,则D0,233,0,CD=-12,36,0.又AE=14,34,12,AECD=-1214+3634=0,AECD,即AECD.(2)证法一:AB=(1,0,0),AE=14,34,12,设平面ABE的一个法向量为n=(x,y,z),则x=0,14x+34y+12z=0,令y=2,则z=-3,n=(0,2,-3).PD=0,233,-1,显然PD=33n.PDn,PD平面ABE,即PD平面ABE.证法二:P(0,0,1),PD=0
10、,233,-1.又AEPD=34233+12(-1)=0,PDAE,即PDAE.又AB=(1,0,0),PDAB=0,PDAB.又ABAE=A,PD平面ABE.能力提升练1.已知平面内两向量a=(1,1,1),b=(0,2,-1),且c=ma+nb+(4,-4,1).若c为平面的法向量,则m,n的值分别为()A.-1,2B.1,-2C.1,2D.-1,-2解析c=ma+nb+(4,-4,1)=(m,m,m)+(0,2n,-n)+(4,-4,1)=(m+4,m+2n-4,m-n+1),由c为平面的法向量,得ca=0,cb=0,即3m+n+1=0,m+5n-9=0,解得m=-1,n=2.答案A2.
11、已知直线l的方向向量为a,且直线l不在平面内,平面内两共点向量OA,OB,下列关系中一定能表示l的是()A.a=OAB.a=kOBC.a=pOA+OBD.以上均不能解析A,B,C中均能推出l,或l,但不能确定一定能表示为l.答案D3.如图,AO平面,垂足为点O,BC平面,BCOB,若ABO=45,COB=30,则BAC的余弦值为()A.77B.427C.66D.6解析AO平面,BC平面,BCOB,由三垂线定理可得,ABBC,设OB=2.ABO=45,COB=30,AO=2,AB=22,BC=233,在RtABC中,AB=22,BC=233,ABC=90,AC=(22)2+(233)2=2213
12、.cosBAC=ABAC=222213=427.故选B.答案B4.(多选)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别在A1D,AC上,且A1E=23A1D,AF=13AC,则以下结论不正确的有()A.EF至多与A1D,AC中的一个垂直B.EFA1D,EFACC.EF与BD1相交D.EF与BD1异面解析以D为坐标原点,分别以DA,DC,DD1所在直线为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系Dxyz,设正方体的棱长为1,则A1(1,0,1),D(0,0,0),A(1,0,0),C(0,1,0),E13,0,13,F23,13,0,B(1,1,0),D1(0,0,1),A1D=(-1,0,-1)
13、,AC=(-1,1,0),EF=13,13,-13,BD1=(-1,-1,1),EF=-13BD1,A1DEF=0,ACEF=0,从而EFBD1,EFA1D,EFAC.答案ACD5.如图,PA平面ABCD,四边形ABCD为正方形,E是CD的中点,F是AD上一点,当BFPE时,AFFD的比值为()A.12B.11C.31D.21解析以A为坐标原点,AB,AD,AP所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系Axyz,设正方形边长为1,PA=a,则B(1,0,0),E12,1,0,P(0,0,a).设点F的坐标为(0,y,0),则BF=(-1,y,0),PE=12,1,-a.因为B
14、FPE,所以BFPE=0,解得y=12,即点F的坐标为0,12,0,所以F为AD的中点,所以AFFD=11.答案B6.在空间直角坐标系Oxyz中,已知平面的一个法向量是n=(1,-1,2),且平面过点A(0,3,1).若P(x,y,z)是平面上任意一点,则点P的坐标满足的方程是.解析由题意知APn=0,且AP=(x,y-3,z-1),则(x,y-3,z-1)(1,-1,2)=0.化简得,x-y+2z+1=0.答案x-y+2z+1=07.在ABC中,A(1,-2,-1),B(0,-3,1),C(2,-2,1).若向量n与平面ABC垂直,且|n|=21,则n的坐标为.解析据题意,得AB=(-1,-
15、1,2),AC=(1,0,2).设n=(x,y,z),n与平面ABC垂直,nAB=0,nAC=0,即-x-y+2z=0,x+2z=0,可得x=-y2,z=y4.|n|=21,x2+y2+z2=21,解得y=4或y=-4.当y=4时,x=-2,z=1;当y=-4时,x=2,z=-1.n的坐标为(-2,4,1)或(2,-4,-1).答案(-2,4,1)或(2,-4,-1)8.如图所示,ABCD为矩形,PA平面ABCD,PA=AD,M,N,Q分别是PC,AB,CD的中点.求证:(1)MN平面PAD;(2)平面QMN平面PAD.证明(1)如图,以A为原点,以AB,AD,AP所在直线为x,y,z轴建立空
16、间直角坐标系,设B(b,0,0),D(0,d,0),P(0,0,d),则C(b,d,0),因为M,N,Q分别是PC,AB,CD的中点,所以Mb2,d2,d2,Nb2,0,0,Qb2,d,0,所以MN=0,-d2,-d2.因为平面PAD的一个法向量为m=(1,0,0),且MNm=0,即MNm.又MN不在平面PAD内,故MN平面PAD.(2)因为QN=(0,-d,0),所以QNm=0,即QNm,又QN不在平面PAD内,所以QN平面PAD.又因为MNQN=N,所以平面MNQ平面PAD.9.如图所示,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,O为底面中心,A1O平面ABCD,AB=AA1
17、=2.证明:A1C平面BB1D1D.证明由题设易知OA,OB,OA1两两垂直,以O为坐标原点建立空间直角坐标系,如图所示,AB=AA1=2,OA=OB=OA1=1,A(1,0,0),B(0,1,0),C(-1,0,0),D(0,-1,0),A1(0,0,1).A1C=(-1,0,-1),BD=(0,-2,0),BB1=AA1=(-1,0,1),A1CBD=0,A1CBB1=0,A1CBD,A1CBB1,又BDBB1=B,A1C平面BB1D1D.素养培优练1.我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量,在平面直角坐标系中,过动点P(1,2),法向量为n=(-2,3)的直线的点法式方程为-2
18、(x-1)+3(y-2)=0,化简得2x-3y+4=0,类比上述方法,在空间直角坐标系中,经过点P(1,2,-1),且法向量为n=(-2,3,1)的平面的点法式方程应为()A.2x-3y+z+5=0B.2x-3y-z+3=0C.2x+3y+z-7=0D.2x+3y-z-9=0解析通过类比,易得点法式方程为-2(x-1)+3(y-2)+(z+1)=0,整理可得2x-3y-z+3=0,故选B.答案B2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为棱BB1和DD1的中点.(1)求证:平面B1FC1平面ADE;(2)试在棱DC上求一点M,使D1M平面ADE.(1)证明建立如图所示的空间直角坐标系,设正方体的棱长为2,则A(2,0,0),D(0,0,0),E(2,2,1),F(0,0,1),C1(0,2,2),B1(2,2,2).则AE=(0,2,1),DA=(2,0,0),FC1=(0,2,1),C1B1=(2,0,0),AE=FC1,DA=C1B1.可得AD平面FB1C1,AE平面FB1C1.又ADAE=A,平面ADE平面FB1C1.(2)解M应为DC的中点.M(0,1,0),D1(0,0,2),则D1M=(0,1,-2),DE=(2,2,1),AD=(-2,0,0).D1MDE=0,D1MAD=0,D1MDE,D1MAD.AD,DE平面ADE,ADDE=D,D1M平面ADE.