1、高考达标检测（十九） 正、余弦定理的3个基础点边角、形状和面积一、选择题1在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a1，b，A30，若B为锐角，则ABC()A113B123C132 D141解析：选B因为a1，b，A30，B为锐角，所以由正弦定理可得sin B，则B60，所以C90，则ABC123.2如果将直角三角形三边增加相同的长度，则新三角形一定是()A锐角三角形B钝角三角形C直角三角形D根据增加的长度确定三角形的形状解析：选A设原来直角三角形的三边长是a，b，c且a2b2c2，在原来的三角形三条边长的基础上都加上相同的长度，设为d，原来的斜边仍然是最长的边，故cos A0，所
2、以新三角形中最大的角是一个锐角，故选A.3(2018太原模拟)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b2c2a2bc，且ba，则下列关系一定不成立的是()Aac BbcC2ac Da2b2c2解析：选B由余弦定理，得cos A，则A30.又ba，由正弦定理得sin Bsin Asin 30，所以B60或120.当B60时，ABC为直角三角形，且2ac，可知C、D成立；当B120时，C30，所以AC，即ac，可知A成立，故选B.4在直角梯形ABCD中，ABCD，ABC90，AB2BC2CD，则cosDAC()A. B.C. D.解析：选B如图所示，设CDa，则易知ACa，ADa，在
3、ACD中，CD2AD2AC22ADACcosDAC，a2(a)2(a)22aacosDAC，cosDAC.5在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若ABC的面积为S，且2S(ab)2c2，则tan C等于()A. B.C D解析：选C因为2S(ab)2c2a2b2c22ab，则由面积公式与余弦定理，得absin C2abcos C2ab，即sin C2cos C2，所以(sin C2cos C)24，即4，所以4，解得tan C或tan C0(舍去)6在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足b2c2a2bc，0，a，则bc的取值范围是()A. B.C. D.解析：选
4、B在ABC中，b2c2a2bc，由余弦定理可得cos A，A是ABC的内角，A60.a，由正弦定理得1，bcsin Bsin(120B)sin Bcos Bsin(B30)|cos(B)0，cos B0，B为钝角，90B120，120B30150，故sin(B30)，bcsin(B30).二、填空题7在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2ccos B2ab，若ABC的面积Sc，则ab的最小值为_解析：将2ccos B2ab中的边化为角可得2sin Ccos B2sin Asin B2sin Ccos B2sin Bcos Csin B则2sin Bcos Csin B0，因为si
5、n B0，所以cos C，则C120，所以Sabsin 120c，则cab.由余弦定理可得2a2b22abcos C3ab，则ab12，当且仅当ab2时取等号，所以ab的最小值为12.答案：128(2017浙江高考)已知ABC，ABAC4，BC2.点D为AB延长线上一点，BD2，连接CD，则BDC的面积是_，cosBDC_.解析：在ABC中，ABAC4，BC2，由余弦定理得cosABC，则sinABCsinCBD，所以SBDCBDBCsinCBD22.因为BDBC2，所以CDBABC，则cosCDB .答案：9已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边，a2，且(2b)(sin Asi
6、n B)(cb)sin C，则ABC面积的最大值为_解析：因为a2，且(2b)(sin Asin B)(cb)sin C，所以(ab)(sin Asin B)(cb)sin C.由正弦定理得b2c2bc4，又因为b2c22bc，所以bc4，当且仅当bc2时取等号，此时三角形为等边三角形，所以Sbcsin 604，故ABC的面积的最大值为.答案：三、解答题10(2017天津高考)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知asin A4bsin B，ac(a2b2c2)(1)求cos A的值；(2)求sin(2BA)的值解：(1)由asin A4bsin B，及，得a2b.由ac(a
7、2b2c2)及余弦定理，得cos A.(2)由(1)，可得sin A，代入asin A4bsin B，得sin B.由(1)知，A为钝角，所以cos B.于是sin 2B2sin Bcos B，cos 2B12sin2B，故sin(2BA)sin 2Bcos Acos 2Bsin A.11在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知asin Bbcos A.(1)求角A的大小；(2)若a，b2，求ABC的面积解：(1)因为asin Bbcos A，由正弦定理得sin Asin Bsin Bcos A.又sin B0，从而tan A.由于0A0，所以c3.故ABC的面积Sbcsin A.
8、法二：由正弦定理，得，从而sin B，又由ab，知AB，所以cos B.故sin Csin(AB)sinsin Bcos cos Bsin .所以ABC的面积Sabsin C.12在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，sin B(acos Bbcos A)ccos B.(1)求B；(2)若b2，ABC的面积为2，求ABC的周长解：(1)由正弦定理得，sin B(sin Acos Bsin Bcos A)sin Ccos B，sin Bsin(AB)sin Ccos B，sin Bsin Csin Ccos B.sin C0，sin Bcos B，即tan B.B(0，)，B.(2
9、)SABCacsin Bac2，ac8.根据余弦定理得，b2a2c22accos B，12a2c28，即a2c220，ac6，ABC的周长为62.1在平面五边形ABCDE中，已知A120，B90，C120，E90，AB3，AE3，当五边形ABCDE的面积S时，则BC的取值范围为_解析：因为AB3，AE3，且A120，由余弦定理可得BE3，且ABEAEB30.又B90，E90，所以DEBEBC60.又C120，所以四边形BCDE是等腰梯形易得三角形ABE的面积为，所以四边形BCDE的面积的取值范围是.在等腰梯形BCDE中，令BCx，则CD3x，且梯形的高为，故梯形BCDE的面积为(33x)，即1
10、5(6x)x24，解得x2或4x5.答案：，2)(4，52.如图，有一直径为8 m的半圆形空地，现计划种植果树，但需要有辅助光照半圆周上的C处恰有一可旋转光源满足果树生长的需要，该光源照射范围是ECF，点E，F在直径AB上，且ABC.(1)若CE，求AE的长；(2)设ACE，求该空地种植果树的最大面积解：(1)由已知得ABC为直角三角形，因为AB8，ABC，所以BAC，AC4.在ACE中，由余弦定理得，CE2AC2AE22ACAEcos A，且CE，所以1316AE24AE，解得AE1或AE3.(2)因为ACB，ECF，所以ACE，所以AFCBACACF，在ACF中，由正弦定理得，所以CF，在ACE中，由正弦定理得，所以CE，所以SECFCECFsinECF.因为，所以2，所以0sin1，所以当sin0，即时，SECF取得最大值为4.即该空地种植果树的最大面积为4 m2.