1、第2课时角度问题课后篇巩固提升1.在静水中划船的速度是40 m/min,水流的速度是20 m/min,如果船从岸边A处出发,沿着与水流垂直的航线到达对岸,那么船的前进方向应指向河流的上游,且与河岸垂直方向所成的角为()A.15B.30C.45D.60解析如图所示,sinCAB=BCAC=2040=12,CAB=30.答案B2.如图所示,在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C相对于山坡的斜度为15,向山顶前进100 m到达B处,又测得C相对于山坡的斜度为45,若CD=50 m,山坡的坡角为,则cos =()A.32B.3-1C.2-3D.22解析在ABC中,由正弦定理,得BC=ABs
2、inBACsinACB=100sin15sin(45-15)=50(6-2)(m).在BCD中,由正弦定理,得sinBDC=BCsinCBDCD=50(6-2)sin4550=3-1.由题图知cos =sinADE=sinBDC=3-1,故选B.答案B3.一艘船上午9:30在A处,测得灯塔S在它的北偏东30的方向,且与它相距82 n mile, 之后它继续沿正北方向匀速航行,上午10:00到达B处,此时又测得灯塔S在它的北偏东75的方向,则此船的航速是()A.8(6+2)n mile/hB.8(6-2)n mile/hC.16(6+2)n mile/hD.16(6-2)n mile/h解析由题
3、意,得在SAB中,BAS=30,SBA=180-75=105,BSA=45.由正弦定理,得SAsin105=ABsin45,即82sin105=ABsin45,解得AB=8(6-2)(n mile),故此船的航速为8(6-2)12=16(6-2)(n mile/h).答案D4.如图所示,位于A处的信息中心获悉,在其正东方向相距40 n mile的B处有一艘渔船遇险,在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30,相距20 n mile的C处的乙船,现乙船朝北偏东的方向即沿直线CB前往B处救援,则cos 等于()A.217B.2114C.32114D.2128解析在ABC中,AB=40 n
4、 mile,AC=20 n mile,BAC=120.由余弦定理,得BC2=AB2+AC2-2ABACcos 120=2 800,所以BC=207 n mile.由正弦定理,得sinACB=ABBCsinBAC=217.由BAC=120,得ACB为锐角,故cosACB=277.故cos =cos(ACB+30)=cosACBcos 30-sinACBsin 30=2114.答案B5.某船在岸边A处向正东方向航行x海里后到达B处,然后朝南偏西60方向航行3海里到达C处,若A处与C处的距离为 3 n mile,则x的值为.解析在ABC中,由余弦定理,得AC2=AB2+BC2-2ABBCcos B,
5、即x2+9-2x3cos 30=(3)2,即x2-33x+6=0,解得x=23或x=3.答案3或236.已知甲船在岛B的正南方A处,AB=10 n mile,甲船以4 n mile/h的速度向正北方向的岛B航行,同时乙船自岛B出发以6 n mile/h的速度向北偏东60的方向航行,当甲、乙两船距离最近时,它们所航行的时间是h.解析如图,设甲、乙两船距离最近时航行时间为t h,距离为s n mile,此时甲船到达C处,则甲船距离B岛(10-4t)n mile,乙船距离B岛6t n mile,所以由余弦定理,得cos 120=(6t)2+(10-4t)2-s226t(10-4t)=-12,化简,得
6、s2=28t2-20t+100,所以当t=20228=514时,s2取最小值,即当甲、乙两船距离最近时,它们所航行的时间是514 h.答案5147.某人见一建筑物A在正北方向,另一建筑物B在北偏西30方向.此人沿北偏西70方向行走了3 km后到达C,则见A在其北偏东56方向上,B在其北偏东74方向上,试求这两个建筑物间的距离.解如图,在BCO中,BOC=70-30=40,BCO=(180-70)-74=36,CBO=180-40-36=104.OC=3 km,由正弦定理,得COsin104=BOsin36,则BO=3sin36sin104 km.在ACO中,AOC=70,CAO=56,则ACO
7、=54.由正弦定理,得COsin56=AOsin54,则AO=3sin54sin56 km.在ABO中,由余弦定理,得AB=AO2+BO2-2AOBOcos301.630(km)=1 630(m).故这两个建筑物间的距离约为1 630 m.8.平面内三个力F1,F2,F3作用于同一点,且处于平衡状态.已知F1,F2的大小分别为1 N,6+22 N,F1与F2的夹角为45,求F3的大小及F3与F1的夹角的大小.解 如图,设F1与F2的合力为F,则F3=-F.BOC=45,ABO=135.在OBA中,由余弦定理,得|F|2=|F1|2+|F2|2-2|F1|F2|cos 135=12+6+222-
8、216+22cos 135=4+23.|F|=1+3,即|F3|=3+1.又由正弦定理,得sinBOA=|F2|sinABO|F|=6+22221+3=12.BOA=30.BOD=150.故F3的大小为(3+1)N,F1与F3的夹角为150.9.某海上养殖基地A,接到气象部门预报,位于基地南偏东60方向相距20(3+1)n mile的海面上有一台风中心,影响半径为20 n mile,正以102 n mile/h的速度沿某一方向匀速直线前进,预计台风中心将从基地东北方向刮过且(3+1)h后开始影响基地持续2 h.求台风移动的方向.解如图,设预报时台风中心为B,开始影响基地时台风中心为C,基地刚好不受影响时台风中心为D,则B,C,D在一条直线上,且AD=20 n mile,AC=20 n mile.由题意,得AB=20(3+1)n mile,DC=202 n mile,BC=102(3+1)n mile.在ADC中,DC2=AD2+AC2,DAC=90,ADC=45.在ABC中,由余弦定理,得cosBAC=AC2+AB2-BC22ACAB=32.BAC=30.B位于A的南偏东60方向,且60+30+90=180,D位于A的正北方向.又ADC=45,台风移动的方向为向量CD的方向,即北偏西45方向.