1、第九章第六节1(2013北京高考)双曲线x21的离心率大于的充分必要条件是()AmBm1Cm1Dm2解析：选C该双曲线离心率e，由已知，故m1，故选C. 2(2014广东六校联考)在平面直角坐标系xOy中，已知ABC的顶点A(5,0)和C(5,0)，顶点B在双曲线1上，则为()A.B.C.D.解析：选C设ABC中角A，B，C所对的边分别是a，b，c，由正弦定理得，由双曲线的标准方程和定义可知，A，C是双曲线的焦点，且b10，|ca|8.所以.故选C. 3(2014杭州质检)设F1，F2分别是双曲线C：1(a0，b0)的左、右焦点，以F1F2为直径的圆与双曲线C在第二象限的交点为P，若双曲线C的
2、离心率为5，则cosPF2F1等于()A.B.C.D.解析：选C据题意可知PF1PF2，设|PF1|n，|PF2|m，又由双曲线定义知mn2a；由勾股定理可得m2n24c2；又由离心率e5，由解得m8a，故cosPF2F1.故选C.4(2011山东高考)已知双曲线1(a0，b0)的两条渐近线均和圆C：x2y26x50相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为()A.1B.1C.1D.1解析：选A由题意得1(a0，b0)的两条渐近线方程为yx，即bxay0，又圆C的标准方程为(x3)2y24，半径为2，圆心坐标为(3,0)，所以a2b2329，且2，解得a25，b24.所以该双曲线的
3、方程为1.故选A.5(2014皖南八校联考)设F1，F2分别是双曲线1(a0，b0)的左、右焦点，若双曲线的右支上存在一点P，使0，且F1PF2的三边长构成等差数列，则此双曲线的离心率为()A.B.C2D5解析：选D设|PF1|m，|PF2|n，且mn，|F1F2|2c，由题可知F1PF2为直角三角形且F1F2为斜边由双曲线的性质和勾股定理得由得代入得(2c2a)2(2c4a)24c2，整理得c26ac5a20，两边同时除以a2，得e26e50，解得e5或e1.又e1，所以e5.故选D.6(2014太原模拟)设F1、F2分别为双曲线1(a0，b0)的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点P，满足|
4、PF2|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为()A3x4y0B3x5y0C4x3y0D5x4y0解析：选C设线段PF1的中点为M，由于|PF2|F1F2|，故F2MPF1，即|F2M|2a，在RtF1F2M中，|F1M|2b，故|PF1|4b，根据双曲线的定义得4b2c2a.所以2bac，所以(2ba)2a2b2，化简得3b24ab0，所以3b4a，故双曲线的渐近线方程是yx，即4x3y0.选C. 7(2014苏锡常镇调研)若双曲线x21(a0)的一个焦点到一条渐近线的距离等于，则此双曲线方程为_解析：x21双曲线x21(a0)的一个焦点(，0)到一
5、条渐近线y0的距离为，解得a3，故此双曲线方程为x21. 8(2014陕西五校模拟)已知双曲线1(a0，b0)与直线y2x有交点，则双曲线的离心率的取值范围是_解析：(，)双曲线的渐近线方程为yx.若双曲线1与直线y2x有交点，则2，从而4.所以4，解得e25，故e.9(2014茂名质检)设双曲线1的右顶点为A，右焦点为F.过点F平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则AFB的面积为_解析：由条件知c5，设过点F平行于一条渐近线的直线方程为y(x5)，即4x3y200，联立直线与双曲线方程，求得yB，所以S(53). 10(2013湖南高考)设F1，F2是双曲线C：1(a0，b0)的
6、两个焦点，P是C上一点若|PF1|PF2|6a，且PF1F2的最小内角为30，则C的离心率为_解析：不妨设|PF1|PF2|，由得由2a2c，得PF1F230，由余弦定理得cos 30，整理得c23a22ac0，所以e22e30，解得e. 11已知双曲线的中心在原点，焦点F1、F2在坐标轴上，离心率为，且过点P(4，)(1)求双曲线方程；(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：0；(3)求F1MF2的面积(1)解：由e知ab.故设双曲线方程为x2y2.双曲线过点P(4，)，1610，解得6.双曲线方程为x2y26.(2)证明：由(1)可知，双曲线中ab，c2，F1(2，0)，F2(2，0)，k
7、MF1，kMF2，kMF1kMF2.点(3，m)在双曲线上，9m26，m23，故kMF1kMF21，MF1MF2，0.(3)解：在F1MF2中|F1F2|4，由(2)知m.所以F1MF2的高h|m|，从而SF1MF246. 12(2014泰州质检)已知点N(1,2)，过点N的直线交双曲线x21于A，B两点，且()(1)求直线AB的方程；(2)若过N的另一条直线交双曲线于C，D两点，且0，那么A，B，C，D四点是否共圆？为什么？解：(1)由题意知直线AB的斜率存在设直线AB的方程为yk(x1)2，由消去y整理得(2k2)x22k(2k)x(2k)220.(*)设A(x1，y1)，B(x2，y2)
8、，则x1，x2是方程(*)的两根，所以2k20且x1x2.()，N是AB的中点，1，k(2k)k22，解得k1，所以AB的方程为yx1.(2)将k1代入方程(*)得x22x30，解得x1或x3，设A(1,0)，B(3,4)0，CD垂直平分AB.CD所在直线方程为y(x1)2，即y3x，代入双曲线方程整理得x26x110，令C(x3，y3)，D(x4，y4)及CD中点为M(x0，y0)，则x3x46，x3x411，x03，y06，故点M(3,6)|CD|x3x4| 4，|MC|MD|CD|2，又|MA|MB|2，A，B，C，D到M的距离相等，A，B，C，D四点共圆. 1(2014辽宁五校联考)已
9、知点M(3,0)、N(3,0)、B(1,0)，动圆C与直线MN切于点B，过M、N与圆C相切的两直线相交于点P，P点的轨迹方程为()Ax21(x1)Bx21(x0)Cx21(x0)Dx21(x1)解析：选A如图设过点P的两切线分别与圆切于S、T，则|PM|PN|(|PS|SM|)(|PT|TN|)|SM|TN|BM|BN|22a，所以所求曲线为双曲线的右支且不能与x轴相交，a1，c3，所以b28，故P点的轨迹方程为x21(x1)故选A. 2(2014邯郸摸底考试)已知F1、F2分别是双曲线1的左、右焦点，若F2关于渐近线的对称点为M，且有|MF1|c，则此双曲线的离心率为()A.B.C2D2解析
10、：选D因为F2关于渐近线的对称点为M，又由双曲线的几何性质知焦点到渐近线的距离为b，所以|MF2|2b，又|F1M|c，|F1F2|2c，由勾股定理得4c2c24b2，所以3c24(c2a2)，所以c24a2，c2a，e2.故选D.3(2014重庆质检)已知双曲线C：1(a0，b0)的离心率为，且2a23c.若双曲线C上的点P满足1，则|的值为()A5B4C3D2解析：选C由题意得，解得，所以b2c2a21，故双曲线C的方程为y21.设|r1，|r2，不妨令r1r20，F1PF2，1，r1r2cos 1，又r1r22，rr2r1r212，rr2r1r212，又由余弦定理得4c2rr2r1r2c
11、os ，即162r1r2122，r1r23，即|3.故选C.4(2013大纲全国高考)已知双曲线C：1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1、F2，离心率为3，直线y2与C的两个交点间的距离为.(1)求a、b；(2)设过F2的直线l与C的左、右两支分别交于A、B两点，且|AF1|BF1|，证明：|AF2|，|AB|，|BF2|成等比数列(1)解：由题设知3，所以9，故b28a2.所以C的方程为8x2y28a2.将y2代入上式，求得x .由题设知2 ，解得a21.所以a1，b2.(2)证明：由(1)知，F1(3,0)，F2(3,0)，C的方程为8x2y28.设l的方程为yk(x3)，|k|2，由消去y整理得(k28)x26k2x9k280.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x11，x21，且x1x2，x1x2.所以|AF1|(3x11)，|BF1|3x21.由|AF1|BF1|，得(3x11)3x21，所以x1x2，故，解得k2，从而x1x2.由于|AF2|13x1，|BF2|3x21，故|AB|AF2|BF2|23(x1x2)4，|AF2|BF2|3(x1x2)9x1x2116.因而|AF2|BF2|AB|2，所以|AF2|，|AB|，|BF2|成等比数列