1、 第1节空间几何体的结构、三视图和直观图最新考纲1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构；2.能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测画法画出它们的直观图；3.会用平行投影方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式.知 识 梳 理1.简单多面体的结构特征(1)棱柱的侧棱都平行且相等，上、下底面是全等且平行的多边形；(2)棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形；(3)棱台可由平行于底面的平面截棱锥得到，其上、下底面是相似多边形.2.旋
2、转体的形成几何体旋转图形旋转轴圆柱矩形任一边所在的直线圆锥直角三角形任一直角边所在的直线圆台直角梯形垂直于底边的腰所在的直线球半圆直径所在的直线3.三视图(1)几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图，分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线.(2)三视图的画法基本要求：长对正，高平齐，宽相等.在画三视图时，重叠的线只画一条，挡住的线要画成虚线.4.直观图空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x轴、y轴的夹角为45(或135)，z轴与x轴、y轴所在平面垂直.(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标
3、轴.平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半.常用结论与微点提醒1.台体可以看成是由锥体截得的，易忽视截面与底面平行且侧棱延长后必交于一点.2.空间几何体不同放置时其三视图不一定相同.3.常见旋转体的三视图(1)球的三视图都是半径相等的圆.(2)水平放置的圆锥、圆台、圆柱的正视图和侧视图分别均为全等的等腰三角形、等腰梯形、矩形.诊 断 自 测1.思考辨析(在括号内打“”或“”)(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱.()(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥.()(3)用斜二测画法画水平放置的A时，若A的两
4、边分别平行于x轴和y轴，且A90，则在直观图中，A45.()(4)正方体、球、圆锥各自的三视图中，三视图均相同.()解析(1)反例：由两个平行六面体上下组合在一起的图形满足条件，但不是棱柱.(2)反例：如图所示不是棱锥.(3)用斜二测画法画水平放置的A时，把x，y轴画成相交成45或135，平行于x轴的线还平行于x轴，平行于y轴的线还平行于y轴，所以A也可能为135.(4)正方体和球的三视图均相同，而圆锥的正视图和侧视图相同，且为等腰三角形， 其俯视图为圆心和圆.答案(1)(2)(3)(4)2.(必修2P10T1改编)如图，长方体ABCDABCD中被截去一部分，其中HAD.剩下的几何体是()A.
5、棱台 B.四棱柱C.五棱柱 D.六棱柱解析由几何体的结构特征，剩下的几何体为五棱柱.答案C3.(2016天津卷)将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧视图为()解析先根据正视图和俯视图还原出几何体，再作其侧视图.由几何体的正视图和俯视图可知该几何体为图，故其侧视图为图.答案B4.(一题多解)(2017全国卷)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为()A.90 B.63C.42 D.36解析法一(割补法)由几何体的三视图可知，该几何体是一个圆柱被截去
6、上面虚线部分所得，如图所示.将圆柱补全，并将圆柱体从点A处水平分成上下两部分.由图可知，该几何体的体积等于下部分圆柱的体积加上上部分圆柱体积的，所以该几何体的体积V32432663.法二(估值法)由题意知，V圆柱V几何体V圆柱，又V圆柱321090，45V几何体90.观察选项可知只有63符合.答案B5.正AOB的边长为a，建立如图所示的直角坐标系xOy，则它的直观图的面积是_.解析画出坐标系xOy，作出OAB的直观图OAB(如图).D为OA的中点.易知DBDB(D为OA的中点)，SOABSOABa2a2.答案a2考点一空间几何体的结构特征【例1】 (1)给出下列命题：在圆柱的上、下底面的圆周上
7、各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等.其中正确命题的个数是()A.0 B.1 C.2 D.3(2)以下命题：以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面；一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台.其中正确命题的个数为()A.0 B.1 C.2 D.3解析(1)不一定，只有当这两点的连线平行于轴时才是母线；不一定，当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥，如图所示，它是由两个同底圆锥组成的几何体；错误，棱台的上、下底面相似
8、且是对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等.(2)由圆台的定义可知错误，正确.对于命题，只有平行于圆锥底面的平面截圆锥，才能得到一个圆锥和一个圆台，不正确.答案(1)A(2)B规律方法1.关于空间几何体的结构特征辨析关键是紧扣各种空间几何体的概念，要善于通过举反例对概念进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只需举一个反例即可.2.圆柱、圆锥、圆台的有关元素都集中在轴截面上，解题时要注意用好轴截面中各元素的关系.3.既然棱(圆)台是由棱(圆)锥定义的，所以在解决棱(圆)台问题时，要注意“还台为锥”的解题策略.【训练1】 给出下列命题：棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边
9、形；在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；存在每个面都是直角三角形的四面体；棱台的侧棱延长后交于一点.其中正确命题的序号是_.解析不正确，根据棱柱的定义，棱柱的各个侧面都是平行四边形，但不一定全等；正确，因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱，又垂直于底面；正确，如图，正方体ABCDA1B1C1D1中的三棱锥C1ABC，四个面都是直角三角形；正确，由棱台的概念可知.答案考点二空间几何体的三视图(多维探究)命题角度1由空间几何体的直观图判断三视图【例21】 “牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体.它由完全相同的四个曲面构
10、成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖).其直观图如图，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线.当其正视图和侧视图完全相同时，它的俯视图可能是()解析由直观图知，俯视图应为正方形，又上半部分相邻两曲面的交线为可见线，在俯视图中应为实线，因此，选项B可以是几何体的俯视图.答案B命题角度2由三视图判断几何体【例22】 (1)(2014全国卷)如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是()A.三棱锥 B.三棱柱C.四棱锥 D.四棱柱(2)(2017北京卷)某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为()A.3 B
11、.2 C.2 D.2解析(1)由题知，该几何体的三视图为一个三角形、两个四边形，经分析可知该几何体为三棱柱.(2)由三视图知可把四棱锥放在一个正方体内部，四棱锥为DBCC1B1，最长棱为DB1，且DB12.答案(1)B(2)B规律方法1.由直观图确定三视图，一要根据三视图的含义及画法和摆放规则确认.二要熟悉常见几何体的三视图.2.由三视图还原到直观图的思路(1)根据俯视图确定几何体的底面.(2)根据正视图或侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应的棱、面的位置.(3)确定几何体的直观图形状.【训练2】 (1)(2018惠州模拟)如图，在底面边长为1，高为2的正四棱柱ABCDA1
12、B1C1D1中，点P是平面A1B1C1D1内一点，则三棱锥PBCD的正视图与侧视图的面积之和为()A.1 B.2 C.3 D.4(2)(2017浙江卷)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm3)是()A.1 B.3 C.1 D.3解析(1)设点P在平面A1ADD1的射影为P，在平面C1CDD1的射影为P，如图所示.三棱锥PBCD的正视图与侧视图分别为PAD与PCD，因此所求面积SSPADSPCD12122.(2)由三视图可知，该几何体是半个圆锥和一个三棱锥的组合体，半圆锥的底面半径为1，高为3，三棱锥的底面积为211，高为3.故原几何体体积为：V123131.答案
13、(1)B(2)A考点三空间几何体的直观图【例3】 有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图所示)，ABC45，ABAD1，DCBC，则这块菜地的面积为_.解析如图1，在直观图中，过点A作AEBC，垂足为E.在RtABE中，AB1，ABE45，BE.又四边形AECD为矩形，ADEC1.BCBEEC1.由此还原为原图形如图2所示，是直角梯形ABCD.在梯形ABCD中，AD1，BC1，AB2.这块菜地的面积S(ADBC)AB22.答案2规律方法1.画几何体的直观图一般采用斜二测画法，其规则可以用“斜”(两坐标轴成45或135)和“二测”(平行于y轴的线段长度减半，平行
14、于x轴和z轴的线段长度不变)来掌握.对直观图的考查有两个方向，一是已知原图形求直观图的相关量，二是已知直观图求原图形中的相关量.2.按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积的关系：S直观图S原图形.【训练3】 已知等腰梯形ABCD，上底CD1，腰ADCB，下底AB3，以下底所在直线为x轴，则由斜二测画法画出的直观图ABCD的面积为_.解析如图所示，作出等腰梯形ABCD的直观图.因为OE1，所以OE，EF.则直观图ABCD的面积S.答案基础巩固题组(建议用时：25分钟)一、选择题1.某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是()A.圆柱 B.圆锥C.四面体 D.三棱柱解析
15、由三视图知识知圆锥、四面体、三棱柱(放倒看)都能使其正视图为三角形，而圆柱的正视图不可能为三角形.答案A2.(2018衡水中学月考)将长方体截去一个四棱锥后得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为()解析易知侧视图的投影面为矩形，又AF的投影线为虚线，即为左下角到右上角的对角线，该几何体的侧视图为选项D.答案D3.(2017北京卷)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为()A.60 B.30 C.20 D.10解析由三视图知可把三棱锥放在一个长方体内部，即三棱锥A1BCD，VA1BCD35410.答案D4.如图是一几何体的直观图、正视图和俯视图，该几何体的侧视图为()解析由直观图和正视
16、图、俯视图可知，该几何体的侧视图应为面PAD，且EC投影在面PAD上且为实线，点E的投影点为PA的中点，故B正确.答案B5.下列结论正确的是()A.各个面都是三角形的几何体是三棱锥B.夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体C.棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥D.圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线都是母线解析如图1知，A不正确.如图2，两个平行平面与底面不平行时，截得的几何体不是旋转体，则B不正确.若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形.由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长，C错误.由母线的概念知，选项D正确.答案D6.某几何体的
17、正视图和侧视图均为如图所示的图形，则在下图的四个图中可以作为该几何体的俯视图的是()A. B.C. D.解析由正视图和侧视图知，该几何体为球与正四棱柱或球与圆柱体的组合体，故正确.答案A7.(2015全国卷)一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为()A. B.C. D.解析由已知三视图知该几何体是由一个正方体截去了一个“大角”后剩余的部分，如图所示，截去部分是一个三棱锥.设正方体的棱长为1，则三棱锥的体积为V1111.剩余部分的体积V213.因此，.答案D8.(2018泰安模拟)某三棱锥的三视图如图所示，其侧视图为直角三角形，则该三棱锥最
18、长的棱长等于()A.4 B.C. D.5解析根据几何体的三视图，知该几何体是底面为直角三角形，两侧面垂直于底面，高为5的三棱锥PABC(如图所示).棱锥最长的棱长PA.答案C二、填空题9.(2018龙岩联考)一水平放置的平面四边形OABC，用斜二测画法画出它的直观图OABC如图所示，此直观图恰好是一个边长为1的正方形，则原平面四边形OABC面积为_.解析因为直观图的面积是原图形面积的倍，且直观图的面积为1，所以原图形的面积为2.答案210.已知正方体的棱长为1，其俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是一个面积为的矩形，则该正方体的正视图的面积等于_.解析由题知此正方体的正视图与侧视图是一样的，
19、正视图的面积与侧视图的面积相等为.答案11.(2018兰州模拟)正四棱锥的底面边长为2，侧棱长均为，其正视图和侧视图是全等的等腰三角形，则正视图的周长为_.解析由题意知，正视图就是如图所示的截面PEF，其中E，F分别是AD，BC的中点，连接AO，易得AO，而PA，于是解得PO1，所以PE，故其正视图的周长为22.答案2212.(2017山东卷)由一个长方体和两个圆柱构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为_.解析该几何体由一个长、宽、高分别为2，1，1的长方体和两个半径为1，高为1的圆柱体构成.所以V21121212.答案2能力提升题组(建议用时：10分钟)13.(2018石家庄质检)一个
20、三棱锥的正视图和俯视图如图所示，则该三棱锥的侧视图可能为()解析由题图可知，该几何体为如图所示的三棱锥，其中平面ACD平面BCD.所以该三棱锥的侧视图可能为选项D.答案D14.如图是一个体积为10的空间几何体的三视图，则图中x的值为()A.2 B.3 C.4 D.5解析根据给定的三视图可知，该几何体对应的直观图是一个长方体和四棱锥的组合体，所以几何体的体积V32132x10，解之得x2.答案A15.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为_.解析由题中三视图可知，三棱锥的直观图如图所示，其中PA平面ABC，M为AC的中点，且BMAC.故该三棱锥的最长棱为PC.在RtPAC中，PC2.答案216.(2016北京卷)某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为_.解析由题中三视图可画出长为2、宽为1、高为1的长方体，将该几何体还原到长方体中，如图所示，该几何体为四棱柱ABCDABCD.故该四棱柱的体积VSh(12)11.答案