1、第十二章 推理证明、算法、复数第1讲 合情推理与演绎推理一、选择题1如图是今年元宵花灯展中一款五角星灯连续旋转闪烁所成的三个图形，照此规律闪烁，下一个呈现出来的图形是()解析该五角星对角上的两盏花灯依次按逆时针方向亮一盏，故下一个呈现出来的图形是A.答案A2推理“矩形是平行四边形；三角形不是平行四边形；三角形不是矩形”中的小前提是()A BC D和解析 由演绎推理三段论可知，是大前提；是小前提；是结论答案 B3给出下面类比推理命题(其中Q为有理数，R为实数集，C为复数集)：“若a，bR，则ab0ab”类比推出“a，cC，则ac0ac”；“若a，b，c，dR，则复数abicdiac，bd”类比推
2、出“a，b，c，dQ，则abcdac，bd”；“若a，bR，则ab0ab”类比推出“若a，bC，则ab0ab”；“若xR，则|x|11x1”类比推出“若zC，则|z|11z1”其中类比结论正确的个数有()A1 B2 C3 D4解析类比结论正确的只有.答案B4观察下列各式：553 125,5615 625,5778 125，则52 011的末四位数字为()A3 125 B5 625 C0 625 D8 125解析553 125,5615 625,5778 125,58390 625，591 953 125,5109 765 625，5n(nZ，且n5)的末四位数字呈周期性变化，且最小正周期为4，
3、记5n(nZ，且n5)的末四位数字为f(n)，则f(2 011)f(50147)f(7)52 011与57的末四位数字相同，均为8 125.故选D.答案D5为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息设定原信息为a0a1a2，ai0,1(i0,1,2)，信息为h0a0a1a2h1，其中h0a0a1，h1h0a2，运算规则为：000，011,101,110.例如原信息为111，则传输信息为01111，信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是()A11010 B01100 C10111 D00011解析对于选项C，传输信息是101
4、11，对应的原信息是011，由题目中运算规则知h0011，而h1h0a2110，故传输信息应是10110.答案C6古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数比如：他们研究过图1中的1,3,6,10，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1,4,9,16，这样的数为正方形数下列数中既是三角形数又是正方形数的是 ()A289 B1 024C1 225 D1 378解析观察三角形数：1,3,6,10，记该数列为an，则a11，a2a12，a3a23，anan1n.a1a2an(a1a2an1)(123n)an123n，观察正方形数：1,4,9,16，记该数列为bn，则b
5、nn2.把四个选项的数字，分别代入上述两个通项公式，可知使得n都为正整数的只有1 225.答案C二、填空题7在RtABC中，若C90，ACb，BCa，则ABC外接圆半径r.运用类比方法，若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且长度分别为a，b，c，则其外接球的半径R_.解析(构造法)通过类比可得R.证明：作一个在同一个顶点处棱长分别为a，b，c的长方体，则这个长方体的体对角线的长度是，故这个长方体的外接球的半径是 ，这也是所求的三棱锥的外接球的半径答案8用黑白两种颜色的正方形地砖依照下图所示的规律拼成若干个图形，则按此规律，第100个图形中有白色地砖_块；现将一粒豆子随机撒在第100个图中，则豆子落在
6、白色地砖上的概率是_解析按拼图的规律，第1个图有白色地砖331(块)，第2个图有白色地砖352(块)，第3个图有白色地砖373(块)，则第100个图中有白色地砖3201100503(块)第100个图中黑白地砖共有603块，则将一粒豆子随机撒在第100个图中，豆子落在白色地砖上的概率是.答案5039对一个边长为1的正方形进行如下操作；第一步，将它分割成33方格，接着用中心和四个角的5个小正方形，构成如图1所示的几何图形，其面积S1；第二步，将图1的5个小正方形中的每个小正方形都进行与第一步相同的操作，得到图2；依此类推，到第n步，所得图形的面积Snn.若将以上操作类比推广到棱长为1的正方体中，则
7、到第n步，所得几何体的体积Vn_.解析对一个棱长为1的正方体进行如下操作：第一步，将它分割成333个小正方体，接着用中心和8个角的9个小正方体，构成新1几何体，其体积V1；第二步，将新1几何体的9个小正方体中的每个小正方体都进行与第一步相同的操作，得到新2几何体，其体积V22；，依此类推，到第n步，所得新n几何体的体积Vnn.答案n10设N2n(nN*，n2)，将N个数x1，x2，xN依次放入编号为1,2，N的N个位置，得到排列P0x1x2xN.将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出，并按原顺序依次放入对应的前和后个位置，得到排列P1x1x3xN1x2x4xN，将此操作称为C变换将P1分成两
8、段，每段个数，并对每段作C变换，得到P2；当2in2时，将Pi分成2i段，每段个数，并对每段作C变换，得到Pi1.例如，当N8时，P2x1x5x3x7x2x6x4x8，此时x7位于P2中的第4个位置(1)当N16时，x7位于P2中的第_个位置；(2)当N2n(n8)时，x173位于P4中的第_个位置解析(1)当N16时，P1x1x3x5x7x9x16，此时x7在第一段内，再把这段变换x7位于偶数位的第2个位置，故在P2中，x7位于后半段的第2个位置，即在P2中x7位于第6个位置(2)在P1中，x173位于两段中第一段的第87个位置，位于奇数位置上，此时在P2中x173位于四段中第一段的第44个
9、位置上，再作变换得P3时，x173位于八段中第二段的第22个位置上，再作变换时，x173位于十六段中的第四段的第11个位置上，也就是位于P4中的第(32n411)个位置上答案632n411三、解答题11给出下面的数表序列：其中表n(n1,2,3，)有n行，第1行的n个数是1,3,5，2n1，从第2行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和写出表4，验证表4各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将结论推广到表n(n3)(不要求证明)解表4为1357 4812 1220 32它的第1,2,3,4行中的数的平均数分别是4,8,16,32，它们构成首项为4，公比为2的等比数列将这一结论推广
10、到表n(n3)，即表n(n3)各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为n，公比为2的等比数列12某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：sin213cos217sin 13cos 17；sin215cos215sin 15cos 15；sin218cos212sin 18cos 12；sin2(18)cos248sin(18)cos 48；sin2(25)cos255sin(25)cos 55.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论解(1)选择式，计算如下：sin215cos215s
11、in 15cos 151sin 301.(2)三角恒等式为sin2cos2(30)sin cos(30).证明如下：sin2cos2(30)sin cos(30)sin2(cos 30cos sin 30sin )2sin (cos 30cos sin 30sin )sin2cos2sin cos sin2sin cos sin2sin2cos2.13观察下表：1，2,34,5,6,7，8,9,10,11,12,13,14,15，问：(1)此表第n行的最后一个数是多少？(2)此表第n行的各个数之和是多少？(3)2 013是第几行的第几个数？解(1)第n1行的第1个数是2n，第n行的最后一个数是
12、2n1.(2)2n1(2n11)(2n12)(2n1)322n32n2.(3)2101 024,2112 048,1 0242 0132 048，2 013在第11行，该行第1个数是2101 024，由2 0131 0241990，知2 013是第11行的第990个数14将各项均为正数的数列an中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成数表，如图所示记表中各行的第一个数a1，a2，a4，a7，构成数列bn，各行的最后一个数a1，a3，a6，a10，构成数列cn，第n行所有数的和为Sn(n1,2,3,4，)已知数列bn是公差为d的等差数列，从第二行起，每一行中的数按照从左到右的顺序每一个数与它前面一个数的比是常数q，且a1a131，a31.(1)求数列cn，Sn的通项公式；(2)求数列cn的前n项和Tn的表达式解(1)bndnd1，前n行共有123n个数，因为133，所以a13b5q2，即(4d1)q21，又因为313，所以a31b8q2，即(7d1)q2，解得d2，q，所以bn2n1，cnbnn1，Sn(2n1).(2)Tn，Tn.两式相减，得Tn12122，所以Tn3.