1、2018级上学期期末考试数学（理）（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合，则（ ）A B C D或2若，则复数在复平面内所对应的点位于（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限3若，则（ ）A B C D4已知直线是圆在点处的切线，则直线的方程为（ ）A B C D5如图，在中，D为线段上异于的任意一点，E为的中点，若，则（ ）A B C D6居民消费价格指数（，简称）是根据与居民生活有关的产品及劳务价格统计出来的物价变动指标，它是进行经济分析和决策、价格总水平监测和调控
2、及国民经济核算的重要指标根据下面给出的我国2019年9月2020年9月的居民消费价格指数的同比（将上一年同月作为基期进行对比的价格指数）增长和环比（将上月作为基期进行对比的价格指数）增长情况的折线图，以下结论正确的是（ ）A2020年1月到9月的居民消费价格指数在逐月增大B2019年9月到2020年9月的居民消费价格指数在逐月减小C2020年1月到9月的居民消费价格指数分别低于2019年同期水平D2020年7月过后，居民消费价格指数的涨幅有回落趋势72022年北京冬季奥运会组委会招聘了5名志愿者，分别参与冰壶、冰球、花样滑冰、自由式滑雪、越野滑雪五项比赛项目的前期准备工作若每个人只能担任其中一
3、项工作，且志愿者甲不能在越野滑雪项目，则不同的派遣方法种数共有（ ）A120 B96 C48 D248函数的大致图象是（ ）A B C D9已知双曲线的离心率为，则双曲线C的一个焦点F到它的一条渐近线的距离为（ ）A B C D210将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，且的图象的一条对称轴是直线，则的最小值为（ ）A B2 C3 D11定义在R上的偶函数满足，则（ ）A或4 B或3 C3 D412如图，已知四棱锥中，四边形为正方形，平面平面为上一点，且平面，则棱锥体积最大值为（ ）A B C D2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13若满足约束条件，则的最大值为_142
4、021年第31届世界大学生夏季运动会将在成都举行为营造“爱成都迎大运”全民运动和全民健身活动氛围，某社区组织甲、乙两队进行一场足球比赛，根据以往的经验知，甲队获胜的概率是，两队打平的概率是，则这次比赛乙队不输的概率是_15给出下列命题：同时垂直于一条直线的两个平面互相平行；一条直线平行于一个平面，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线互相垂直；设为平面，若，则；设为平面，若，则其中所有正确命题的序号为_16设函数，若存在唯一的整数使得，则实数m的取值范围是_三、解答题：共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生依据要求
5、作答（一）必考题：共60分17（本小题满分12分）在数列中，（1）证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式；（2）若，求数列的前n项和18（本小题满分12分）在新冠肺炎疫情得到有效控制后，某公司迅速复工复产，为扩大销售额，提升产品品质，现随机选取了100名顾客到公司体验产品，并对体验的满意度进行评分（满分100分）体验结束后，该公司将评分制作成如图所示的直方图（1）将评分低于80分的为“良”，80分及以上的为“优”根据已知条件完成下面列联表，能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为体验评分为“优良”与性别有关？良优合计男女40合计（2）为答谢顾客参与产品体验活动，在体验度评分为和的顾客中用
6、分层抽样的方法选取了6名顾客发放优惠卡若在这6名顾客中，随机选取4名再发放纪念品，记体验评分为的顾客获得纪念品数为随机变量X，求X的分布列和数学期望附表及公式：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82819（本小题满分12分）如图，在平面五边形中，（1）求的值；（2）求面积的最大值20（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，平面（1）证明：是正三角形；（2）若平面，求二面角的余弦值21（本小题满分12分）已知函数（1）当时，若的一条切线垂直于y轴，证明：该切线为x轴；（2）若，求a的取值范围（二）选考题
7、：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分22选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为（为参数）以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标为（1）求曲线C的普通方程与直线的直角坐标方程；（2）设直线与曲线C交于两点，点P的坐标为，证明：直线关于x轴对称23选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分）已知函数（1）解不等式；（2）令的最小值为M，正数满足，求证：参考答案1C 2C 3A 4D 5B 6D 7B 8C 9B 10A 11D 12A13 14 15 1617解析：（1）因为，所以 2分
8、又，所以，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列 4分所以，所以数列的通项公式 6分（2）由（1）得，所以， 8分，由得， 10分即，所以 12分18解析：（1）列联表下：良优合计男202040女204060合计4060100由题得，所以，能在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为评分为“优良”与性别有关 4分（2）由已知得体验度评分为和的顾客分别有10人，20人，则在随机抽取的6人中评分为有2人，评分为有4人 5分则X可能的取值有 8分则X的分布列为X012P 9分所以， 12分19解析：（1）在中，由正弦定理得，所以， 3分因为，所以为锐角，所以 4分所以，所以 6分（2）在中，由余弦定
9、理得，即， 9分当且仅当时等号成立，所以 10分所以 2分20解析：（1）由已知，平面，所以， 2分又，所以，则，所以是正三角形 5分（2）因为平面，于是，可以A为原点，直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系由平面，易知，又，则所以 7分设平面的一个法向量为，则取，得 9分同理可求平面的一个法向量为 10分所以，即二面角的余弦值为 12分21解析：（1）证明：由题可知，则，设切点为，则由得， 2分则，即，则有，所以所求切线为，即为x轴 5分（2）因为，其中，则对于恒成立， 6分令，则，即， 7分令，则，其中，则为的增函数， 8分又因为，所以存在，使得，即， 9分而，又由于为的增函数，故，即， 10分又为减函数；为增函数， 11分所以，故a的取值范围是 12分选考题（10分）22解析：（1）由曲线C的参数方程（为参数），可得曲线C的普通方程为 2分直线的极坐标方程可变形为，于是，其直角坐标方程为 5分（2）由方程组消元，有由此可知，点的坐标分别为， 7分直线的斜率分别为所以，于是，直线关于x轴对称 10分23解析：（1）当时，得；当时，此时无解；当时，得所以，不等式的解集为 4分（2）由（1），当时，；当时，；当时，则时，的最小值为2，即于是满足， 6分，当且仅当且且即时取“” 10分