1、福建省福州市平潭县新世纪学校2021届高三数学下学期百盛练习试题（53）（冲刺班）一、单选题1下列命题正确的是（ ）A平面内的一条直线a垂直于平面内的无数条直线，则B若平面，则内的直线垂直于平面C若平面，且l，则过内一点P与l垂直的直线垂直于平面D若直线a与平面内的无数条直线都垂直，则不能说一定有a2对于直线m，n和平面，能得出的一个条件是（ ）Amn，m，nBmn，m，nCmn，n，mDmn，m，n3如图，平面平面，A，B，AB与两平面，所成的角分别为和.过A，B分别作两平面交线的垂线，垂足为A，B，则ABAB等于（ ）A21 B31 C32 D434已知直线，平面，那么“”是“”的（ ）A
2、充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件5在四面体中，平面，且，若四面体外接球的半径为，则与平面所成角的正切值为（ ）ABCD二、填空题6已知直三棱柱，则直线与侧面所成角的正弦值是_.7三棱锥的底面是边长为的等边三角形，二面角为，则三棱锥的外接球的表面积为_.8如图，三棱椎的底面是等腰直角三角形，且，则点到平面的距离等于_ 三、解答题9如图所示，四棱锥PABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，BCD，PA底面ABCD，PA，在CD上确定一点E，使得平面PBE平面PAB.10如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形ABCD是DAB60且边长为a的菱形，
3、PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，G为AD的中点.求证：（1）BG平面PAD；（2）ADPB.参考答案1D【分析】对于AB举出反例得出判断，由面面垂直的性质定理可以判断C，由线面垂直的定义可以判断D.【详解】A项，如图平面内的一条直线a垂直于平面内的无数条直线，但，故A错误；B项，如图平面，但内的直线不垂直于平面，故B错误；C项，平面，且l，则过内一点P与l垂直的直线，只有当此直线在内时才垂直于，故C错误；D项，a与平面内的任意一条直线都垂直可以推出a，故D正确.故选：D.2C【分析】在A中，与相交或相行；在B中，与不一定垂直；在C中，由面面垂直的判定定理得；在D中，由面面平行的
4、判定定理得.【详解】在A中，mn，m，n，则与相交或相行，故A错误；在B中，mn，m，n，则与不一定垂直，故B错误；在C中，mn，n，m，由面面垂直的判定定理得，故C正确；在D中，mn，m，n，由面面平行的判定定理得，故D错误.故选：C3A【分析】先用性质找出，的垂线，再作出相关线面角，设，利用直角三角形计算可得.【详解】由已知条件可知，设AB=2a，则BB=2asin=a，AB2acosa，在RtBBA中，得ABa，ABAB21.【点睛】（1）线面垂直出现再条件中，一般用性质可得线面垂直；（2）与线面角有关的问题，可考虑用定义做出所求的角，或者求法向量用公式解决.4C【分析】若，在平面内找到
5、与平行的直线，根据面面垂直的判定定理可得，若，在平面内找到与平行的直线，根据面面垂直的性定定理可得，再根据充要条件的定义可得答案.【详解】若， 过直线作平面，交平面于直线，又，又，若，过直线作平面，交平面于直线，又，故“”是“”的充要条件，故选：C5B【分析】将四面体补全为长方体，可知长方体的外接球即为四面体的外接球，由外接球半径可构造方程求得，根据垂直关系知所求线面角为，由长度关系得到结果.【详解】平面，可将四面体补全为如图所示的长方体，则长方体的外接球即为四面体的外接球，其外接球半径，又，平面，与平面所成的角为，即与平面所成角的正切值为.故选：B.6【分析】取中点，连接，证明平面，可得为直
6、线与侧面所成的角，进而可得答案.【详解】取中点，连接，直三棱柱中，平面，平面，又，又，面，平面，在平面上的射影为，故为直线与侧面所成的角，中，中，中，故答案为：.7【分析】设为中点，为正外心，可得是二面角的平面角为，作底面，垂足为，在上，设外接球球心，则，作于，设，利用，由已知线段长及二面角的大小求出图形中各线段长，然后利用勾股定理求得（以图中位置计算出值，如果，说明在平面上方，如果，则在平面正方）然后可得外接球半径，从而得球面积【详解】如图，设为中点，为正外心，依题意有，则易证为二面角的平面角，设在底面的射影为，则可证在上，则，设为三棱锥的外接球球心，可证，过点在面内作，为垂足，则，设求半径
7、为，则，解得，.则球心在底面的下方，事实上当在底面的下方时解得，.三棱锥的外接球的表面积为.故答案为：8【分析】将三棱锥补全为边长为1的正方体，再由等体积法求得点到平面距离.【详解】由题意，可将三棱锥补全为边长为1的正方体如图所示，设点到平面的距离为，则由得，所以故答案为：9E为CD的中点.【分析】取CD的中点E，连接PE，BE，BD，由已知BCD是等边三角形得BECD，由PA平面ABCD得PABE，可得BE平面PAB可得答案.【详解】取CD的中点E，连接PE，BE，BD，由底面ABCD是菱形且BCD知，BCD是等边三角形，因为E是CD的中点，所以BECD，又ABCD，所以BEAB，又因为PA
8、平面ABCD，BE平面ABCD，所以PABE，而PAABA，PA，AB平面PAB，所以BE平面PAB，又BE平面PBE，所以平面PBE平面PAB，所以当E为CD的中点时，平面PBE平面PAB.10（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）利用正三角形的性质得，由面面垂直的性质定理得得线面垂直，从而有线线垂直，再由菱形得正三角形，得，由纯平面垂直判定定理可证结论；（2）在（1）的基础上可得与平面垂直，从而得证线线垂直【详解】（1）由题意知PAD为正三角形，G是AD的中点，PGAD.又平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，PG平面PAD，PG平面ABCD，又BG平面ABCD，PGBG.又四边形ABCD是菱形且DAB60，ABD是正三角形，BGAD.又ADPGG，AD，PG平面PAD，BG平面PAD.（2）由（1）可知BGAD，PGAD，BGPGG，BG，PG平面PBG，AD平面PBG，又PB平面PBG，ADPB.