1、课后限时集训(四十八)(建议用时：60分钟)A组基础达标1. (2019泉州模拟)在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：x22py(p0)的焦点为F，点A在C上，若|AO|AF|.(1)求C的方程；(2)设直线l与C交于P，Q，若线段PQ的中点的纵坐标为1，求OPQ的面积的最大值解(1)点A在抛物线C上，|AO|AF|，p2，C的方程为x24y.(2)设直线方程为ykxb，代入抛物线方程，可得x24kx4b0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1x24k，y1y24k22b，线段PQ的中点的纵坐标为1，2k2b1，OPQ的面积Sbb(0b1)，设yb3b2，y3b22b0，故函数单调递增
2、，b1时，OPQ的面积的最大值为2.2已知抛物线y24x的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点(1)若2，求直线AB的斜率；(2)设点M在线段AB上运动，原点O关于点M的对称点为C，求四边形OACB面积的最小值解(1)依题意知F(1,0)，设直线AB的方程为xmy1.将直线AB的方程与抛物线的方程联立，消去x得y24my40.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以y1y24m，y1y24.因为2，所以y12y2.联立和，消去y1，y2，得m.所以直线AB的斜率是2.(2)由点C与原点O关于点M对称，得M是线段OC的中点，从而点O与点C到直线AB的距离相等，所以四边形OACB的面积等于
3、2SAOB.因为2SAOB2|OF|y1y2|4，所以当m0时，四边形OACB的面积最小，最小值是4.3平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，且点在椭圆C上(1)求椭圆C的方程；(2)设椭圆E：1，P为椭圆C上任意一点，过点P的直线ykxm交椭圆E于A，B两点，射线PO交椭圆E于点Q.求的值；求ABQ面积的最大值解(1)由题意知1，又，解得a24，b21.所以椭圆C的方程为y21.(2)由(1)知椭圆E的方程为1.设P(x0，y0)，由题意知Q(x0y0)因为y1，又1，即1，所以2，即2.设A(x1，y1)，B(x2，y2)将ykxm代入椭圆E的方程，可得(14k2)x
4、28kmx4m2160，由0，可得m2416k2.则有x1x2，x1x2.所以|x1x2|.因为直线ykxm与y轴交点的坐标为(0，m)，所以OAB的面积S|m|x1x2|2.设t.将ykxm代入椭圆C的方程，可得(14k2)x28kmx4m240，由0，可得m214k2.由可知0t1，因此S22.故S2，当且仅当t1，即m214k2时取得最大值2.由知，ABQ面积为3S，所以ABQ面积的最大值为6.B组能力提升1(2019南昌市调研测试卷)已知椭圆C：1(ab0)的焦距为4，且过点(，2)(1)求椭圆C的方程；(2)过椭圆焦点的直线l与椭圆C分别交于点E，F，求的取值范围解(1)椭圆C：1(
5、ab0)的焦距是4，所以焦点坐标是(0，2)，(0,2)，2a4，所以a2，b2，即椭圆C的方程是1.(2)若直线l垂直于x轴，则点E(0,2)，F(0，2)，8.若直线l不垂直于x轴，设l的方程为ykx2，点E(x1，y1)，F(x2，y2)，将直线l的方程代入椭圆C的方程得到(2k2)x24kx40，则x1x2，x1x2，所以x1x2y1y2(1k2)x1x22k(x1x2)448，因为010，所以8b0)的左右顶点，直线BP交E于点Q，ABP是等腰直角三角形，且.(1)求E的方程；(2)设过点P的动直线l与E相交于M，N两点，当坐标原点O位于MN以为直径的圆外时，求直线l斜率的取值范围解
6、(1)由题意题意ABP是等腰直角三角形，a2，B(2,0)，设Q(x0，y0)，由，则代入椭圆方程，解得b21，椭圆方程为y21.(2)由题意可知，直线l的斜率存在，方程为ykx2，M(x1，y1)，N(x2，y2)，则整理得(14k2)x216kx120，由直线l与E有两个不同的交点，则0，即(16k)2412(14k2)0，解得k2，由根与系数的关系可知x1x2，x1x2，由坐标原点O位于MN为直径的圆外，则0，即x1x2y1y20，则x1x2y1y2x1x2(kx12)(kx22)(1k2)x1x22k(x1x2)4(1k2)2k40，解得k24，综上可知：k24，解得k2或2k，直线l斜率的取值范围为.3已知椭圆的中心在坐标原点，A(2,0)，B(0,1)是它的两个顶点，直线ykx(k0)与直线AB相交于点D，与椭圆相交于E，F两点(1)若6，求k的值；(2)求四边形AEBF面积的最大值解(1)由题设条件可得，椭圆的方程为y21，直线AB的方程为x2y20.设D(x0，kx0)，E(x1，kx1)，F(x2，kx2)，其中x10)，即k时，等号成立故四边形AEBF面积的最大值为2.
