1、2015-2016学年陕西省咸阳市三原县北城中学高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题（每题5分，共50分）1在复平面内，复数2+3i对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限2用反证法证明命题：“已知a，b为实数，则方程x2+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是（）A方程x2+ax+b=0没有实根B方程x2+ax+b=0至多有一个实根C方程x2+ax+b=0至多有两个实根D方程x2+ax+b=0恰好有两个实根3已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（）A1B2C3D44定积分sinxdx等于（）A1B2C1D05函数y=x2e2x的导数是（）Ay=（2x2+x2
2、）exBy=2xe2x+x2exCy=2xe2x+x2e2xDy=（2x+2x2）e2x6函数f（x）=xlnx的单调递减区间为（）A（，1）B（1，+）C（0，1）D（0，+）7已知f（x）=，则=（）ABCD8用数学归纳法证明1+2+3+n2=，则当n=k+1时左端应在n=k的基础上加上（）Ak2+1B（k+1）2CD（k2+1）+（k2+2）+（k2+3）+（k+1）29某班一天上午安排语、数、外、体四门课，其中体育课不能排在第一、第四节，则不同排法的种数为（）A24B22C20D1210已知函数y=xf（x）的图象如图所示，下面四个图象中y=f（x）的图象大致是（）ABCD二、填空题：
3、（本大题共5小题，每小题5分，满分25分）11观察下列不等式：，照此规律，第五个不等式为12已知复数z=（i是虚数单位），则|z|=13计算定积分（2x+）dx=3+ln2，则a=14若函数y=x3+x2+mx+1在（，+）上是单调函数，则实数a的取值范围15如图是函数y=f（x）的导函数y=f（x）的图象，给出下列命题：3是函数y=f（x）的极值点；1是函数y=f（x）的最小值点；y=f（x）在x=0处切线的斜率小于零；y=f（x）在区间（3，1）上单调递增则正确命题的序号是三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16实数m取什么数值时，复数z=m21+
4、（m2m2）i分别是：（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数17求曲线y=x22x+3与直线y=x+3围成的图形的面积18已知a，b，c均为实数，且a=x22y+，b=y22z+，c=z22x+，求证：a，b，c中至少有一个大于019某体育场要建造一个长方形游泳池，其容积为4800m3，深为3m，如果建造池壁的单价为a且建造池底的单价是建造池壁的1.5倍，怎样设计水池的长和宽，才能使总造价最底？最低造价是多少？20已知数列an的前n项和Sn满足Sn=2an2（1）求a1，a2，a3并由此猜想an的通项公式；（2）用数学归纳法证明an的通项公式21设函数f（x）=x3+ax2+bx+c的导数f（x
5、）满足f（1）=0，f（2）=9（1）求f（x）的单调区间；（2）f（x）在区间2，2上的最大值为20，求c的值（3）若函数f（x）的图象与x轴有三个交点，求c的范围2015-2016学年陕西省咸阳市三原县北城中学高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每题5分，共50分）1在复平面内，复数2+3i对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义【分析】可知复数对应的点为（2，3），可得答案【解答】解：由复数的几何意义可知：复数2+3i对应的点为（2，3）在第二象限，故选：B2用反证法证明命题：“已知a，b为实数，则方程x2+ax
6、+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是（）A方程x2+ax+b=0没有实根B方程x2+ax+b=0至多有一个实根C方程x2+ax+b=0至多有两个实根D方程x2+ax+b=0恰好有两个实根【考点】反证法与放缩法【分析】直接利用命题的否定写出假设即可【解答】解：反证法证明问题时，反设实际是命题的否定，用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x2+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是：方程x2+ax+b=0没有实根故选：A3已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（）A1B2C3D4【考点】导数的几何意义【分析】利用导数的几何意义，列出关于斜率的等式，进而得到切点横坐标【解答】解：已
7、知曲线的一条切线的斜率为，=，x=1，则切点的横坐标为1，故选A4定积分sinxdx等于（）A1B2C1D0【考点】定积分【分析】根据定积分的计算公式计算即可【解答】解：sinxdx=cosx=（coscos0）=2故选：B5函数y=x2e2x的导数是（）Ay=（2x2+x2）exBy=2xe2x+x2exCy=2xe2x+x2e2xDy=（2x+2x2）e2x【考点】导数的运算【分析】根据导数的运算法则和复合函数的求导法则计算即可【解答】解：y=（x2）e2x+x2（e2x）=2xe2x+x2e2x（2x）=2xe2x+2x2e2x=（2x+2x2）e2x，故选：D6函数f（x）=xlnx的
8、单调递减区间为（）A（，1）B（1，+）C（0，1）D（0，+）【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】先求出函数的导数，令导函数小于0，解不等式，进而求出函数的递减区间【解答】解：f（x）=1=，（x0），令f（x）0，解得：0x1，f（x）在（0，1）递减，故选：C7已知f（x）=，则=（）ABCD【考点】极限及其运算【分析】根据导数的极限定义，转化为求函数的导数即可【解答】解：则=f（x），f（x）=，f（x）=，故选：A8用数学归纳法证明1+2+3+n2=，则当n=k+1时左端应在n=k的基础上加上（）Ak2+1B（k+1）2CD（k2+1）+（k2+2）+（k2+3）+（k+1）2【
9、考点】数学归纳法【分析】首先分析题目求用数学归纳法证明1+2+3+n2=时，当n=k+1时左端应在n=k的基础上加上的式子，可以分别使得n=k，和n=k+1代入等式，然后把n=k+1时等式的左端减去n=k时等式的左端，即可得到答案【解答】解：当n=k时，等式左端=1+2+k2，当n=k+1时，等式左端=1+2+k2+k2+1+k2+2+（k+1）2，增加了项（k2+1）+（k2+2）+（k2+3）+（k+1）2故选D9某班一天上午安排语、数、外、体四门课，其中体育课不能排在第一、第四节，则不同排法的种数为（）A24B22C20D12【考点】排列、组合及简单计数问题【分析】因为体育课不能排在第一
10、、第四节，所以先排体育课，可以排第三、四节，有2种排法，再排语、数、外三门课，有A33种排法，由此能求出不同排法的种数【解答】解：先排体育课，有2种排法，再排语、数、外三门课，有A33种排法，按乘法原理，不同排法的种数为2A33=12故选D10已知函数y=xf（x）的图象如图所示，下面四个图象中y=f（x）的图象大致是（）ABCD【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】根据函数y=xf（x）的图象，依次判断f（x）在区间（，1），（1，0），（0，1），（1，+）上的单调性即可【解答】解：由函数y=xf（x）的图象可知：当x1时，xf（x）0，f（x）0，此时f（x）增当1x0时，xf（x）0
11、，f（x）0，此时f（x）减当0x1时，xf（x）0，f（x）0，此时f（x）减当x1时，xf（x）0，f（x）0，此时f（x）增故选C二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，满分25分）11观察下列不等式：，照此规律，第五个不等式为1+【考点】归纳推理【分析】由题设中所给的三个不等式归纳出它们的共性：左边式子是连续正整数平方的倒数和，最后一个数的分母是不等式序号n+1的平方，右边分式中的分子与不等式序号n的关系是2n+1，分母是不等式的序号n+1，得出第n个不等式，即可得到通式，再令n=5，即可得出第五个不等式【解答】解：由已知中的不等式1+，1+，得出左边式子是连续正整数平方的倒数和，最
12、后一个数的分母是不等式序号n+1的平方右边分式中的分子与不等式序号n的关系是2n+1，分母是不等式的序号n+1，故可以归纳出第n个不等式是 1+，（n2），所以第五个不等式为1+故答案为：1+12已知复数z=（i是虚数单位），则|z|=【考点】复数求模【分析】通过复数的分子与分母同时求模即可得到结果【解答】解：|z|=故答案为：13计算定积分（2x+）dx=3+ln2，则a=2【考点】定积分【分析】根据函数的积分公式进行化简求解即可【解答】解：（2x+）dx=3+ln2，（x2+lnx）|=3+ln2，即a2+lna1ln1=3+ln2，则a2+lna=4+ln2，则得得a=2，故答案为：21
13、4若函数y=x3+x2+mx+1在（，+）上是单调函数，则实数a的取值范围，+）【考点】利用导数研究函数的单调性；函数单调性的性质【分析】求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系进行求解即可【解答】解：函数的导数f（x）=3x2+2x+m，则f（x）是开口向上的抛物线，要使f（x）是单调函数，则函数f（x）只能是单调递增函数，此时满足f（x）0恒成立，即f（x）=3x2+2x+m0恒成立，则判别式=412m0，即m，故答案为：，+）15如图是函数y=f（x）的导函数y=f（x）的图象，给出下列命题：3是函数y=f（x）的极值点；1是函数y=f（x）的最小值点；y=f（x）在x=0处切线的斜
14、率小于零；y=f（x）在区间（3，1）上单调递增则正确命题的序号是【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件【分析】根据导函数图象可判定导函数的符号，从而确定函数的单调性，得到极值点，以及根据导数的几何意义可知在某点处的导数即为在该点处的切线斜率【解答】解：根据导函数图象可知当x（，3）时，f（x）0，在x（3，1）时，f（x）0函数y=f（x）在（，3）上单调递减，在（3，1）上单调递增，故正确则3是函数y=f（x）的极小值点，故正确在（3，1）上单调递增1不是函数y=f（x）的最小值点，故不正确；函数y=f（x）在x=0处的导数大于0切线的斜
15、率大于零，故不正确故答案为：三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16实数m取什么数值时，复数z=m21+（m2m2）i分别是：（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数【考点】复数的基本概念【分析】（1）根据复数的基本概念，当复数是一个实数时，需要使得虚部等于0，得到关于m的方程，得到结果（2）根据复数的基本概念，当复数是一个虚数时，需要使得虚部不等于0，得到关于m的方程，得到结果（3）根据复数的基本概念，当复数是一个纯虚数时，需要使得虚部不等于0，实部等于0，得到关于m的方程，得到结果【解答】解：（1）复数z=m21+（m2m2）i是实数，m2m2=0，m
16、=1m=2（2）复数z=m21+（m2m2）i是虚数，m2m20m1m2（3）复数z=m21+（m2+3m+2）i是纯虚数m2m20且m21=0m=117求曲线y=x22x+3与直线y=x+3围成的图形的面积【考点】定积分【分析】联立解曲线y=x22x+3及直线y=x+3，得它们的交点是（0，3）和（3，6），由此可得两个图象围成的面积等于函数y=3xx2在0，3上的积分值，根据定义分计算公式加以计算，即可得到所求面积【解答】解：由，解得或曲线y=x22x+3及直线y=x+3的交点为（0，3）和（3，6）因此，曲线y=x22x+3及直线y=x+3所围成的封闭图形的面积是S=（x+3x2+2x3
17、）dx=（x2x3）=18已知a，b，c均为实数，且a=x22y+，b=y22z+，c=z22x+，求证：a，b，c中至少有一个大于0【考点】反证法与放缩法【分析】用反证法，假设a，b，c都小于或等于0，推出a+b+c的值大于0，出现矛盾，从而得到假设不正确，命题得证【解答】解：反证法：假设a，b，c都小于或等于0，则有a+b+c=（x1）2+（y1）2+（z1）2+30，而该式显然大于0，矛盾，故假设不正确，故a，b，c中至少有一个大于019某体育场要建造一个长方形游泳池，其容积为4800m3，深为3m，如果建造池壁的单价为a且建造池底的单价是建造池壁的1.5倍，怎样设计水池的长和宽，才能使
18、总造价最底？最低造价是多少？【考点】基本不等式在最值问题中的应用【分析】由题意设水池底面的长为x米，宽为米，总造价为y，可得y=1.5a+23（x+）a=2400a+6（x+）a，运用基本不等式，可得最小值，求得等号成立的条件【解答】解：由容积为4800m3，深为3m，设水池底面的长为x米，宽为即米，总造价为y，则y=1.5a+23（x+）a=2400a+6（x+）a2400a+6a2=2880a当且仅当x=，即x=40，取得最小值2880a则当池底长为40米，宽为40米时，总造价最低为2880a元20已知数列an的前n项和Sn满足Sn=2an2（1）求a1，a2，a3并由此猜想an的通项公式
19、；（2）用数学归纳法证明an的通项公式【考点】数学归纳法；数列的概念及简单表示法【分析】（1）分别令n=1，2，3代入条件式解出a1，a2，a3，根据前三项的特点猜想通项公式；（2）先验证n=1时猜想成立，假设n=k时猜想成立，利用条件式推导ak+1，得出n=k+1时猜想成立【解答】解：（1）Sn=2an2，当n=1时，a1=2a12，解得a1=2当n=2时，a1+a2=2a22，解得a2=4当n=3时，a1+a2+a3=2a32，解得a3=8猜想：an=2n（2）当n=1时，显然猜想成立假设n=k时，猜想成立，即ak=2k则当n=k+1时，Sk+1=2ak+12Sk+ak+1=2ak+12，
20、2ak2+ak+1=2ak+12，ak+1=2ak=22k=2k+1当n=k+1时，猜想成立an=2n21设函数f（x）=x3+ax2+bx+c的导数f（x）满足f（1）=0，f（2）=9（1）求f（x）的单调区间；（2）f（x）在区间2，2上的最大值为20，求c的值（3）若函数f（x）的图象与x轴有三个交点，求c的范围【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；导数的运算【分析】（1）求函数的导数，根据条件建立方程组关系求出a，b的值，结合函数单调性和导数之间的关系即可求f（x）的单调区间；（2）求出函数f（x）在区间2，2上的最大值，建立方程关系即可求c的值（3）若函数f（x）的图象与x轴有三个
21、交点，则等价为函数的极大值大于0，极小值小于0，解不等式即可求c的范围【解答】解：（1）函数的导数f（x）=3x2+2ax+b，f（x）满足f（1）=0，f（2）=9，得a=3，b=9，则f（x）=x3+3x2+9x+c，f（x）=3x2+6x+9=3（x22x3），由f（x）0得3（x22x3）0得x22x30，得1x3，此时函数单调递增，即递增区间为（1，3），由f（x）0得3（x22x3）0得x22x30，得x1或x3，此时函数单调递减，即递减区间为（，1），（3，+）；（2）由（1）知，当x=1时，函数取得极小值f（1）=1+39+c=c5，f（2）=8+1218+c=2+c，f（2）=8+12+18+c=22+c，则f（x）在区间2，2上的最大值为f（2）=22+c=20，则c=2（3）由（1）知当x=1时，函数取得极小值f（1）=1+39+c=c5，当x=3时，函数取得极大值f（3）=27+27+27+c=27+c，若函数f（x）的图象与x轴有三个交点，则得，得27c5，即c的范围是（27，5）2016年8月2日
