1、百盛高三冲刺班数学练习（56)学校:_姓名：_班级：_考号：_一、解答题1如图，在平行四边形中，四边形为矩形，平面平面，点在线段上运动.（1）当时，求点的位置；（2）在（1）的条件下，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.2如图，在四棱维中，底面是边长为2的正方形，为正三角形，且侧面底面，（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值3 如图，在圆柱中，四边形是其轴截面，为的直径，且，（1）求证：；（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求二面角平面角的余弦值4如图1，在矩形中，是中点，将沿直线翻折到的位置，使得，如图2.（1）求证：面PCE面ABCE；（2）求与面所成角的正弦值.5如图，该多面体由底面为正
2、方形的直四棱柱被截面所截而成，其中正方形的边长为4，H是线段上（不含端点）的动点，（1）若H为EF的中点，证明：平面；（2）若，求直线与平面所成角的正弦值6如图，在三棱台中，O是的中点，平面.（1）求证：；（2）若，求二面角的大小.7如图，在几何体中，四边形是边长为2的正方形，四边形为矩形，平面平面（1）求证：平面平面；（2）求直线与平面所成角的大小8如图，在四棱锥中，已知，为上的动点（1）探究：当为何值时，平面？（2）在（1）的条件下，求直线与平面所成角的正弦值9如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，点是的中点.（1）求证：平面；（2）线段上是否存在一点，使得直线与平面所成的角的正弦值为，若
3、存在，求出的值，若不存在，请说明理由.10如图，四棱锥中，平面平面.若，.（1）证明：；（2）若，求二面角的余弦值.参考答案1（1）为的中点，理由见解析；（2）.【分析】（1）证明出，平面，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系，设点，由已知条件得出，求出的值，由此可得出结论；（2）计算出平面与平面的法向量，利用空间向量法可求得平面与平面所成锐二面角的余弦值.【详解】（1），由余弦定理可得，所以，四边形为矩形，平面平面，平面平面，平面，平面，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则、，设，则，解得，.当点为的中点时，；（2）由（1）知，设平面的一个
4、法向量为，则，取，则，易知平面的一个法向量为，因此，平面与平面所成锐二面角的余弦值为.2（1）证明见解析；（2）【详解】（1）证明：连接，与交于，在中，因为，分别为，的中点，所以因为平面ACM，平面，所以平面 （2）设E是AB的中点，连接，因为为正三角形，所以PEAB又因为面PAB底面ABCD，面底面，所以平面ABCD过作平行于与交于以为原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系，则，所以，设平面的法向量为，则，令则得因为PE平面ABCD，所以平面ABCD的法向量，所以所以二面角的余弦值为.3（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）连接，证明出平面，可得出，利用等腰三角形三线合一可证得结论成立；（2
5、）以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法结合直线与平面所成角的正弦值为求出的值，再利用空间向量法可求得二面角平面角的余弦值【详解】（1）证明：连接，在圆柱中中，平面，平面，平面，又平面，在中，为的中点，；（2）连接，则与该圆柱的底面垂直，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则、，设平面的法向量分别是，由，得，取，得，设直线与平面所成角为，由，化简得，解得，设平面的法向量分别是，由，得，取，得，由图象可知，二面角为锐角，因此，二面角的余弦值为.4（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）连结，可得，结合两图，可得，又，根据线面垂直的判
6、定定理证得面PEC，再利用面面垂直的判定定理证得结果；（2）以点为原点，分别以直线为轴，轴，以经过点且垂直于平面的直线为轴建立直角坐标系，利用直线的方向向量与平面的法向量所成角的余弦值的绝对值得到结果.【详解】（1）证明：连结，由图1可得在图2中又面PEC面ABCE面PCE面ABCE（2）以点为原点，分别以直线为轴，轴，以经过点且垂直于平面的直线为轴建立直角坐标系.由题意可知，设面的法向量为则令得所以所以直线与面所成角的正弦值为.5（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）要证明线面平行，需证明线线平行，取的中点，连接，证明四边形是平行四边形，即可证明；（2）以点为原点，建立空间直角坐标系，求平
7、面的法向量，利用线面角的向量公式求解.【详解】（1）证明：取的中点，连接，因为该多面体由底面为正方形的直四棱柱被截面所截而成，所以截面是平行四边形，则因为，所以，且，所以四边形是平行四边形，所以因为平面，平面，所以平面（2）解：如图，以为原点，分别以的方向为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系，则，设平面的法向量为，则 ，令，得因为，所以直线与平面所成角的正弦值为6（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）先证再结合，即可证明平面，则可证（2）以O为坐标原点建立如所示的空间直角坐标系，分别求解平面和的法向量，利用夹角向量公式即可求解【详解】解：（1）因为平面，平面，所以.又因为，平面，平面，所
8、以平面，又因为平面，所以；（2）以O为坐标原点，与平行的直线为x轴，所在直线为y轴，所在直线为z轴，建立如所示的空间直角坐标系，则，.所以，于是.由是三棱台，所以.又因为所以.所以.设平面的法向量，由得取，则，即.因为平面，所以平面的法向量为.所以，因为二面角为钝二面角，所以二面角的大小是7（1）证明见解析；（2）【分析】（1）先利用面面垂直的性质及线面垂直的性质得到，再利用勾股定理及勾股定理的逆定理证明，由线而垂直的判定定理得到平面，最后由面面垂直的判定定理得到平面平面；（2）可通过作辅助线找到线面角，然后在直角三角形中求解即可，还可以建立空间直角坐标系，利用向量法求解【详解】（1）因为四边
9、形是边长为2的正方形，所以设，连接，如图，因为平面平面，平面平面，所以平面因为面，所以在中，同理，因为，所以，所以因为，平面，所以平面因为平面，所以平面平面（2）解法一：如图，延长到点，使得，连接，易知四边形为平行四边形，故，四点共面，所以直线与平面所成的角即直线与平面所成的角取的中点，连接，因为，所以，又，所以在中，B，所以，同理，所以，因为为的中点，所以因为，平面，所以平面连接，则即直线与平面所成的角在中，所以，得，即直线与平面所成的角为解法二：取的中点，连接，易知，两两垂直，故以为坐标原点，所在直线分别为，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以，设平面的法向量为，可得则，令，则设直线与
10、平面所成的角为，则，所以直线与平面所成的角为8（1）当时，平面，理由见解析；（2）.【分析】（1）当时，平面连接，与交于点，连接，证明即得证；（2）证明平面，易知，两两垂直，故可以以为坐标原点，分别以，所在直线为，轴建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法求出直线与平面所成角的正弦值【详解】（1）当时，平面理由如下：如图，连接，与交于点，连接，因为，所以，当，即时，有，又平面，平面，所以平面（2）取的中点，连接，因为，所以，所以，所以因为，所以，所以又，所以，所以因为，所以平面易知，两两垂直，故可以以为坐标原点，分别以，所在直线为，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，由（1）可知，故，所以易知
11、平面的一个法向量为设直线与平面所成的角为，则，即直线与平面所成角的正弦值为9（1）证明见解析；（2）存在，.【分析】（1）先证明，然后连接，利用题目所给的边长关系，根据勾股定理证明，然后根据线面垂直的判定定理即可得到平面；（2）假设在线段上存在一点，使得直线与平面所成的角的正弦值为，设，然后以以点为坐标原点，分别为轴，轴，竖直向上为轴，建立空间肖角坐标系，写出各点的坐标，得出向量，计算出平面的法向量，使与所成角满足，然后求解，得出的值.【详解】解：（1）证明：连接，在中，因为，所以.因为点是的中点，所以.在中，由余弦定哩，有，所以，所以.在中，满足，所以，又，所以平面.（2）如图，以点为坐标原
12、点，建立空间肖角坐标系，则，设，在中，而，得，所以.平面的一个法向量为，直线与平面所成角为.因为，所以.因为.所以，得，所以或(舍)，所以.10（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）设平面平面，由线面平行可证得，由面面垂直性质可知平面，由线面垂直性质证得结论；（2）根据二面角平面角定义可证得即为所求二面角的平面角；以为坐标原点，利用和可构造方程组求得点坐标，进而求得，从而求得结果.【详解】（1）证明：设平面平面，平面，平面，平面，又平面，又平面平面，平面，平面，.（2）连结，在中，由余弦定理得：，又，为二面角的平面角以为原点，分别以的方向为轴，轴正方向建立空间直角坐标系，.，平面，平面平面可设，由，可得：，化简可得：由（1）知，化简得：解方程可得：，二面角的余弦值为.