1、第五节两角和与差的正弦、余弦和正切公式 考纲传真1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.2.会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式.3.会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.4.能运用上述公式进行简单的三角恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆)1两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin()sin cos cos sin ；(2)cos()cos cos sin sin ；(3)tan().2二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin 22sin cos ；(2)cos 2cos2sin2
2、2cos2112sin2；(3)tan 2.3有关公式的变形和逆用(1)公式T()的变形：tan tan tan()(1tan tan )；tan tan tan()(1tan tan )(2)公式C2的变形：sin2(1cos 2)；cos2(1cos 2)(3)公式的逆用：1sin 2(sin cos )2；sin cos sin.4辅助角公式asin bcos sin().1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)存在实数，使等式sin()sin sin 成立()(2)在锐角ABC中，sin Asin B和cos Acos B大小不确定()(3)公式tan()可
3、以变形为tan tan tan()(1tan tan )，且对任意角，都成立()(4)公式asin xbcos xsin(x)中的取值与a，b的值无关()答案(1)(2)(3)(4)2(教材改编)sin 20cos 10cos 160sin 10()AB.C.D.Dsin 20cos 10cos 160sin 10sin 20cos 10cos 20sin 10sin(2010)sin 30，故选D.3(2016全国卷)若tan ，则cos 2()A B.C. D.Dcos 2.又tan ，cos 2.4(2017云南二次统一检测)函数 f(x)sin xcos x的最小值为_2函数f(x)2
4、sin的最小值是2.5若锐角，满足(1tan )(1tan )4，则_.由(1tan )(1tan )4，可得，即tan().又(0，)，.三角函数式的化简(1)化简：_.(2)化简：.(1)2cos 原式2cos .(2)原式cos 2x.规律方法1.三角函数式的化简要遵循“三看”原则(1)一看“角”，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式(2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，最常见的是“切化弦”(3)三看“结构特征”，分析结构特征，找到变形的方向2三角函数式化简的方法弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂变式训练1化简：sin2si
5、n2cos2cos2cos 2cos 2_.法一：原式sin2sin2cos2cos2(2cos21)(2cos21)sin2sin2cos2cos2(4cos2cos22cos22cos21)sin2sin2cos2cos2cos2cos2sin2sin2cos2sin2cos2sin2cos21.法二：原式cos 2cos 2(1cos 2cos 2cos 2cos 2)(1cos 2cos 2cos 2cos 2)cos 2cos 2.三角函数式的求值角度1给角求值(1)()A. B.C. D.(2)sin 50(1tan 10)_.(1)C(2)1(1)原式.(2)sin 50(1ta
6、n 10)sin 50sin 50sin 501.角度2给值求值(1)(2016全国卷)若cos，则sin 2()A. B.C D.(2)(2016安徽十校联考)已知为锐角，且7sin 2cos 2，则sin()A. B.C. D.(1)D(2)A(1)cos，sin 2coscos 22cos2121.(2)由7sin 2cos 2得7sin 2(12sin2)，即4sin27sin 20，sin 2(舍去)或sin .为锐角，cos ，sin，故选A.角度3给值求角(2014全国卷)设，且tan ，则()A3 B.2C3 D.2B法一：由tan 得，即sin cos cos cos sin
7、 ，sin()cos sin.，由sin()sin，得，2.法二：tan cottantan，k，kZ，22k，kZ.当k0时，满足2，故选B.规律方法1.“给角求值”中一般所给出的角都是非特殊角，应仔细观察非特殊角与特殊角之间的关系，结合公式将非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数求解2“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系3“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，最后确定角.三角变换的简单应用已知函数f(x)sin2xsin2，xR. 【导学号：01772124】(1)求f(x)
8、的最小正周期；(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值解(1)由已知，有f(x)cos 2xsin 2xcos 2xsin.所以f(x)的最小正周期T.5分(2)因为f(x)在区间上是减函数，在区间上是增函数，且f，f，f，所以f(x)在区间上的最大值为，最小值为.12分规律方法1.进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用2把形如yasin xbcos x化为ysin(x)，可进一步研究函数的周期、单调性、最值与对称性变式训练2(1)(2016山东高考)函数f(x)(sin xcos x)(cos xsin x)的最小正周期是()A. B.
9、C. D.2(2)(2014全国卷)函数f(x)sin(x)2sin cos x的最大值为_(1)B(2)1(1)法一：f(x)(sin xcos x)(cos xsin x)44sincos 2sin，T.法二：f(x)(sin xcos x)(cos xsin x)3sin xcos xcos2xsin2xsin xcos xsin 2xcos 2x2sin，T.故选B.(2)f(x)sin(x)2sin cos xsin xcos cos xsin 2sin cos xsin xcos cos xsin sin(x)f(x)max1. 思想与方法三角恒等变换的三种变换角度(1)变角：设法沟通所求角与已知角之间的关系常用的拆角、拼角方法是：2()()，()，.(2)变名：尽可能减少函数名称，其方法是“弦切互化”，“升幂与降幂”“1”的代换等(3)变式：对式子变形要尽可能有理化、整式化、降低次数等易错与防范1三角函数是定义域到值域的多对一的映射，时刻关注角的范围是防止增解的有效措施求角的某一三角函数值时，应选择在该范围内是单调函数，若已知正切函数值，则选正切函数；否则，若角的范围是(0，)，选余弦较好；若角的范围为，选正弦较好2计算形如ysin(x)，xa，b形式的函数最值时，不要将x的范围和x的范围混淆