1、阶段性测试题三(导数及其应用)本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分满分150分考试时间120分钟第卷(选择题共50分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1(2011.4南昌调研)甲、乙两个物体沿直线运动的方程分别是s1t32t2t和s23t2t1，则在t2秒时两个物体运动的瞬时速度关系是()A甲大B乙大C相等 D无法比较答案B解析v1s13t24t1，v2s26t1，所以在t2秒时两个物体运动的瞬时速度分别是5和11，故乙的瞬时速度大2(2011青岛二模)函数y2x33x212x5在0,3上的最大值、最小值分别是
2、()A5；15 B5；4C4；15 D5；16答案A解析y6x26x12，由y0x1(舍去)或x2.x0时y5，x2时y15，x3时y4.ymax5，ymin15.故选A.3(2011波阳模拟)函数y4x2的单调增区间为()A(0，) B.C(，1) D.答案B解析由y4x2，得y8x，令y0，即8x0，解得x.函数y4x2在上递增4(2011新余模拟)已知f(x)x3ax在(，1上递增，则a的取值范围是()Aa3 Ba3Ca3 Da3答案D解析由f(x)x3ax，得f(x)3x2a，由3x2a0对一切x(，1恒成立，3x2a，a3.若a0对于一切x(，1恒成立若a3，x(，1)时，f(x)0
3、恒成立，x1时，f(1)0，a3.5(2011福建厦门高三适应性练习)设f(x)是一个三次函数，f(x)为其导函数，如图所示的是yxf(x)的图像的一部分，则f(x)的极大值与极小值分别是()Af(1)与f(1) Bf(1)与f(1)Cf(2)与f(2) Df(2)与f(2)答案D解析由yxf(x)的图像知2是yf(x)的两个零点，设f(x)a(x2)(x2)；当x2时，xf(x)ax(x2)(x2)0，a0.由f(x)a(x2)(x2)知f(2)是极大值，f(2)是极小值，故选D.6(文)(2011宿州一模)设函数f(x)g(x)x2，曲线yg(x)在点(1，g(1)处的切线方程为y2x1，
4、则曲线yf(x)在点(1，f(1)处切线的斜率为()A4 BC2 D答案A解析考查导数的应用因为f(x)g(x)x2，所以f(x)g(x)2x.又因为g(x)在点(1，g(1)处的切线方程为y2x1，所以g(1)2.故f(1)g(1)21224.(理)(2011山东潍坊质检)已知等比数列an的首项为a1，且a4(12x)dx，则公比等于()A3 B3C3 D12答案B解析a4(xx2)|18，q327，q3.7(2011莆田模拟)已知二次函数f(x)ax2bxc的导数为f(x)，且f(0)0，若对任意实数x，恒有f(x)0，则的最小值为()A2 B.C3 D.答案A解析由已知得a0，b24ac
5、0，即b24ac.又f(0)0，即f(0)b0，1，112(当且仅当ac时等号成立)8(2011烟台五校联考)已知函数f(x)x42x33m，xR，若f(x)90恒成立，则实数m的取值范围是()Am BmCm Dm2，则方程x3ax210在(0,2)上恰好有()A0个根 B1个根C2个根 D3个根答案B解析设f(x)x3ax21，则f(x)x22ax，而a2，所以f(x)00x2a.又(0,2)(0,2a)，故f(x)在区间(0,2)上递减，f(x)maxf(0)1，f(x)minf(2)4a0，若(2x1)dx6，则t_.答案3解析(2x1)dx(x2x)|t2t6，t3或t2(舍去)12(
6、2011广州调研)已知函数f(x)的导函数的图像如图所示，则下列说法正确的是_(填写正确命题的序号)函数f(x)在区间(3,1)内单调递减；函数f(x)在区间(1,7)内单调递减；当x3时，函数f(x)有极大值；当x7时，函数f(x)有极小值答案解析由图像可得，在区间(3,1)内f(x)的导函数值大于零，所以f(x)单调递增；在区间(1,7)内f(x)的导函数值小于零，所以f(x)单调递减；在x3左右的导函数符号不变，所以x3不是函数的极大值点；在x7左右的导函数符号由负到正，所以函数f(x)在x7处有极小值故正确. 13(文)(2011.4瑞金二模)已知函数f(x)的像在点M(1，f(1)处
7、的切线方程是2x3y10，则f(1)f(1)_.答案解析依题意得213f(1)10，即f(1)1，f(1)，则f(1)f(1).(理)(2011瑞金二模)已知直线yx1与曲线yln(xa)相切，则a的值为_答案2解析记切点坐标为(m，n)，则有，由此解得m1，a2.14已知函数f(x)x33a2xa(a0)的极大值为正数，极小值为负数，则a的取值范围是_答案解析f(x)3x23a23(xa)(xa)，由f(x)0，得ax0，极小值为f(a)a(12a2)0，由得a.15(2011龙南一模)设曲线yxn1(nN*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，令anlgxn，则a1a2a99
8、的值为_答案2解析本小题主要考查导数的几何意义和对数函数的有关性质ky|x1n1，切线l：y1(n1)(x1)，令y0，x，anlg，原式lglglglglg2.三、解答题(本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)16(本小题满分12分)(2010长丰一模)已知函数f(x)x33x1.试判断函数f(x)的单调性，并求其单调区间解析因为f(x)x33x1，所以f(x)3x233(x1)(x1)由f(x)0，解得x(，1)或x(1，)所以f(x)在1,1上单调递减，在(，1，1，)上单调递增，所以函数f(x)的单调减区间是1,1，单调增区间是(，1与1，)17(本小题满
9、分12分)设函数f(x)x33ax23bx的图像与直线12xy10相切于点(1，11)(1)求a、b的值；(2)讨论函数f(x)的单调性解析(1)f(x)3x26ax3b，f(1)13a3b11，f(1)36a3bk12.解由、组成的关于a，b的方程组，得a1，b3.(2)f(x)x33x29x，f(x)3x26x9.由f(x)0，得x11，x23.f(x)在(，1，3，)上是增函数，在(1,3)上是减函数18(本小题满分12分)(2011.4郑州模拟)已知函数f(x)x3x2bxc.(1)若f(x)在(，)上是增函数，求b的取值范围；(2)若f(x)在x1处取得极值，且当x1,2时，f(x)
10、c2恒成立，求c的取值范围解析(1)f(x)3x2xb，因f(x)在(，)上是增函数，则f(x)0，即3x2xb0，bx3x2在(，)恒成立设g(x)x3x2.当x时，g(x)max，b.(2)由题意知f(1)0，即31b0，b2.x1,2时，f(x)c2恒成立，只需f(x)在1,2上的最大值小于c2即可因f(x)3x2x2，令f(x)0，得x1或x.f(1)c，fc，f(1)c，f(2)2c.f(x)maxf(2)2c，2c2或c1，所以c的取值范围为(，1)(2，)19(本小题满分12分)(2011合肥调研)已知函数f(x)x3x2axa(aR)(1)当a3时，求函数f(x)的极值；(2)
11、求证：当a1时，函数f(x)的图像与x轴有且只有一个交点解析(1)当a3时，f(x)x3x23x3，f(x)x22x3(x3)(x1)令f(x)0，得x11，x23.当x0，则f(x)在(，1)上单调递增；当1x3时，f(x)3时，f(x)0，f(x)在(3，)上单调递增 当x1时，f(x)取得极大值为f(1)133；当x3时，f(x)取得极小值为f(3)279936.(2)证明：f(x)x22xa，44a4(1a)由a1，则0，f(x)0在R上恒成立，f(x)在R上单调递增f(0)a0，当a1时，函数f(x)的图像与x轴有且只有一个交点20(本小题满分13分)(文)(2010天津卷)已知函数
12、f(x)ax3x21(xR)，其中a0.(1)若a1，求曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程；(2)若在区间上，f(x)0恒成立，求a的取值范围解析本题考查了曲线的切线方程、利用导数研究函数的单调性及极值、解不等式等基础知识，考查运算能力及分类讨论思想方法解：(1)当a1时，f(x)x3x21，f(2)3；f(x)3x23x，f(2)6，曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为y36(x2)，即y6x9.(2)f(x)3ax23x3x(ax1)，令f(x)0，解得x0或x.当005a5.02时，则00a，a(2,5)综上所述，a的范围为(0,5)(理)(2010全国卷)已知函数f
13、(x)(x1)lnxx1.(1)若xf (x)x2ax1，求a的取值范围；(2)证明：(x1)f(x)0.解析本小题主要考查函数、导数、不等式证明等知识，通过运用导数知识解决函数、不等式问题，考查了考生综合运用数学知识解决问题的能力以及计算能力，同时也考查了函数与方程思想、化归与转化思想(1)转化为求函数的最值问题求解(2)利用完全归纳分析因式的符号，再判断乘积即可解：(1)f (x)lnx1lnx，xf (x)xlnx1，则题设xf (x)x2ax1等价于lnxxa，令g(x)lnxx，则g(x)1所以0x0，x1时，g(x)0，可知x1是g(x)的最大值点，g(x)maxg(1)1，所以a的取值范围为1，)(2)由(1)知，g(x)g(1)1，即lnxx10当0x0，当x(1,1)时，f(x)0，f(x)在1,1上是减函数，且f(x)maxf(1)，f(x)minf(1).在1,1上，|f(x)|，于是x1，x21,1时，|f(x1)f(x2)|f(x1)|f(x2)|.