1、 直线的倾斜角和斜率、直线的方程（一）网上课堂 1本讲主要内容：直线的倾斜角和斜率（1）倾斜角：是指直线向上的方向与x轴的正方向所成的最小的正角叫做直线的倾斜角.（2）斜率：倾斜角不是90的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率.即k=tan （90）倾斜角和斜率都反映直线相对于x轴正方向的倾斜程度.直线方程的几种形式（1）点斜式：（2）斜截式：（3）两点式：（4）截距式： a0,b0（5）一般式：（A、B不同时为零）.（6）参数式：（t为参数）2学法指导（1）正确理解斜率概念，熟练掌握斜率公式是学好本章及本节的关键.对于倾斜角概念要结合图形记忆，注意范围0180.关于直线斜率应当注意三点：
2、斜率依赖于倾斜角的变化而变化；任何一条直线均有倾斜角，但不是每一条直线都有斜率，当=90时，直线斜率不存在；斜率kR.（2）正确理解直线方程几种形式的局限性.点斜式方程和斜截式方程都不能表示没有斜率即与x轴垂直的直线；两点式方程既不能表示与x轴垂直的直线，也不能表示与y轴垂直的直线；截距式方程既不能表示与x轴垂直的直线；也不能表示与y轴垂直的直线，同时还不能表示经过原点的直线.（3）求直线斜率有两种方法：已知倾斜角，则k = tan（90）已知两点P1（x1，y1）,P2（x2，y2），且x1x2，则.（4）用反三角函数表示直线的倾角，必须记住直线倾角的范围，当tan=k0时，直线的倾斜角=；
3、当tan=k0时，直线的倾斜角=arctank.（5）常见的确定直线的方法有如下两种：两个不重合的点确定一条直线.已知一个定点和确定的方向也可以确定一条直线.3例题精讲：例1已知直线l的倾斜角为，且，P1（2，y1）,P2（x2，-3），P3（4，2）为直线l上三点，求y1和x2的值.分析及解此题已知条件是倾斜角，要求的结论是点的坐标，考虑到倾斜角与斜率有关，而斜率可以用点的坐标表示，故由，先求出或-1，即k=1或-1，再利用，由P1，P2，P3在直线l上，得出y1=0，x2=-1或y1=4或x2=9.例2直线过点（-2，-1），且在两坐标轴上的截距相等，求直线方程.分析及解求直线方程，应根据
4、题目给出的已知条件选取适当的直线方程形式，并要注意各种直线方程适用的条件，此题所求，直线在两坐标轴上的截距相等，故考虑到直线方程的截距式，但应注意截距式有其局限性，即不包括过原点及与两坐标轴平行的直线，也就是说不包括截距为0的情况，所以考虑按截距是否为0，分情况讨论.若直线截距为0，则设所求直线方程为y=kx，再由过点（-2，-1），得k=.若直线截距不为0，则设直线方程再由过点（-2，-1），代入得，则直线方程为x+y+3=0.例3一条直线过点P（-2，2）且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，求此直线的方程. 分析及解由题意所求直线过点p（-2，2）且与两坐标轴相交，故k必存在.所以可设所求
5、直线方程为,下面只要确定k的值即可.因为，直线与两坐标轴围成的三角形是直角三角形.所以，三角形面积等于在两坐标轴上的截距的绝对值的积的一半，在这里，要特别注意添加绝对值，因为截距是直线与坐标轴交点的相应坐标，而不是距离.所以要加绝对值，否则就会漏解.即由条件得，解得，方程为此题还可以设所求方程为截距式，即则三角形面积可表示为例4过点p（2，1）作直线l，交x轴于A，y轴于B，当取最小值时求直线l的方程.分析及解此题可设直线l的方程为点斜式，也可考虑其为 (t为参数)因为直线l交x轴于A，交y轴于B由方程组 得同理 这样将最值问题即可转化为三角函数有界性问题.即由得即当得时，直线l的斜率k=1或
6、k=-1则直线l的方程为即即.二网上能力训练题 （一）能力训练部分 A基础性训练题选择题：1直线bx+ay=ab(a0,b0)的倾斜角是（ ）（A）arctan()（B）arctan()（C）（D）2若直线的倾斜角为，且sin+cos=，则该直线的斜率为（ ）（A）（B）（C）（D）3如图4-1，直线l1,l2,l3的斜率分别为k1,k2,k3，则（ ）（A）k1k2k3（B）k3k1k2（C）k3k2k1（D）k1k3k24直线l过P（4，-2），Q（1，1）则直线l的参数式方程为（ ）（A）（B）（C）（D）5直线ax+by+1=0在y轴上的截距为-1，它的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则（
7、 ）（A），b=1（B），（C），b=1（D），b=16通过点M（1，1）的直线与坐标轴所围成的三角形面积等于3，这样的直线共有（ ）条.（A）1（B）2（C）3（D）47求经过两点A（2，1）和B（m，2）（mR）的直线l的斜率，并求出倾斜角及其取值范围.8过点（-5，2）作一直线，使它夹在两直线x-y-5=0和x-y-2=0之间的线段长等于3，求此直线方程.9将直线l1：绕着它上面的一点（2，）沿逆时针方向旋转15，得直线l2，求l2的方程.10一条光线从点M（5，3）射出，与x轴正方向成角，遇到x轴后反射，已知tan=3，求入射光线和反射光线所在直线方程.B提高性训练题1已知两点P1（a
8、，b），P2（c，d）在直线y=mx+k上，则|P1P2|= （用a，c，m表示）2ABC的顶点分别是A（0，5），B（1，-2），C（-6，4），则BC边上的中线所在直线方程是 .3过点P（1，3）的直线分别与两坐标轴交于A、B两点，若P为AB中点，则直线的方程为 .4已知直线x-2y+2k=0与两坐标轴围成的三角形的面积不大于1，则实数k的取值范围是 .5已知直线l：，则m的取值范围是 ；当m= 时，l在y轴上的截距为1；当m= 时，l的倾斜角为45.6若R，则直线的倾斜角的变化范围是 .7设直线l1和l2关于直线y=x对称，若直线l1的斜率为，求直线l2的斜率和倾斜角.8直线l过点M（2
9、，1），分别交x轴、y轴的正半轴于点A、B，O为坐标原点.（1）当AOB的面积最小时，求l的方程（2）当取最小值时，求l的方程.9直线mx+ny-1=0的倾斜角是直线2x-y+1=0的倾斜角的2倍，与两坐标轴所围成三角形的面积为6，求m，n的值.10已知直线l过定点P0（1，2），（-3，4）是它的一个方向向量，求（1）直线l的参数式方程；（2）直线上到点P0的距离为2的点P的坐标. (二)能力训练题点拨与解答1.选(C) 将.设直线的倾斜角是,则2.选(C)由3.选(D)设其倾斜角分别为4.选(C)5.选(D),6.选(D)设过点(1,1)的直线方程由从而得出的取值情况为:故有4条满足条件的
10、直线7. 此时直线的倾斜角 8.解:设所求直线的参数式方程为: 用式代入方程并整理得： 由于所求直线与 都相交，故上述方程有两解 又从已知条件中得 故所求直线参数方程为： 或 9.10. 根据题意,反射光线过点(4,0) 且 入射光线和反射光线的方程分别为 B.1. 2.设中点为,则 3.设直线与两坐标轴的交点分别为，4.直线在两轴上的截距分别为、.则时;时,5.若表示一条直线.则与不同时为零.得时与不同时为零即方程表示一条直线.若直线在轴上的截距为1,则若直线的倾斜角为,则直线的斜率6.直线的倾斜角为,则7. 在直线l2上任取不同两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),则直线l2的斜率应
11、为又因为直线l1和l2关于直线y=x对称.直线l2上关于直线y=x对称的点都在l1上.P1(x1,y1), P2(x2,y2)关于直线y=x的对称点P1(y1,x1), P2(y2,x2)都在l1上.直线l1的斜率为.有直线l2的倾斜角为.8.(1)设直线l的方程为. 此时(2) 此时 取最小值时,直线l的方程为: x+y-3=0.9.设直线的倾斜角为,则直线的倾斜角为2. 又直线在x轴和y轴上截距分别为,由题意得10.(1) (2) C.研究性习题如图,足球比赛场地宽a米,球门宽b米(ba),在足球比赛中,甲方边锋从乙方球门附近带球过人沿直线l(贴近球场边线)向前推进,试问: 该边锋在距乙方底线多远时起脚射门的命中率最高?解: 以直线l所在的直线为x轴,D点为原点,乙方底线所在的直线为y轴如图建立直角坐标系.则设C(x,0) 当且仅当 即时,最大.即该边锋在距乙方底线米处起脚射门的命中率最高.高考资源网w。w-w*k&s%5￥u高考资源网w。w-w*k&s%5￥u
