1、2016年陕西省高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1设集合M=x|，函数f（x）=ln（1）的定义域为N，则MN为（）A，1B，1）C（0，D（0，）2已知命题p：xR，log3x0，则（）Ap：xR，log3x0Bp：xR，log3x0Cp：xR，log3x0Dp：xR，log3x03若tan=，则sin4cos4的值为（）ABCD4等比数列an的前n项和为Sn，已知S3=a2+10a1，a5=9，则a1=（）ABCD5某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是（）A28B32C36D406将除颜
2、色外完全相同的一个白球、一个黄球、两个红球分给三个小朋友，且每个小朋友至少分得一个球的分法有 （）种A15B18C21D247已知抛物线C：y2=x的焦点为F，A（x0，y0）是C上一点，若|AF|=x0，则x0等于（）A1B2C4D88如果执行如图所示的框图，输入N=5，则输出的数S等于（）ABCD9曲线y=e在点（6，e2）处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为（）AB3e2C6e2D9e210已知函数f（x）=Asin（x+）（A0，0，0）的部分图象如图所示，且f（）=1，（0，），则cos（2）=（）ABCD11定义在R上的偶函数f（x）满足：对任意的x1，x20，+）（x1x2），
3、有，则（）Af（2）f（1）f（3）Bf（1）f（2）f（3）Cf（3）f（2）f（1）Df（3）f（1）f（2）12若直线l1：y=x，l2：y=x+2与圆C：x2+y22mx2ny=0的四个交点把圆C分成的四条弧长相等，则m=（）A0或1B0或1C1或1D0二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13（x+cosx）dx=_14已知单位向量，的夹角为60，则向量与的夹角为_15不等式a2+8b2b（a+b）对于任意的a，bR恒成立，则实数的取值范围为_16已知F是双曲线C：x2=1的右焦点，若P是C的左支上一点，A（0，6）是y轴上一点，则APF面积的最小值为_三、解答题（本
4、大题共5小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c已知a+c=3，b=3（I）求cosB的最小值；（）若=3，求A的大小18“开门大吉”是某电视台推出的游戏节目选手面对18号8扇大门，依次按响门上的门铃，门铃会播放一段音乐（将一首经典流行歌曲以单音色旋律的方式演绎），选手需正确答出这首歌的名字，方可获得该扇门对应的家庭梦想基金在一次场外调查中，发现参赛选手大多在以下两个年龄段：2130，3140（单位：岁），统计这两个年龄段选手答对歌曲名称与否的人数如图所示（1）写出22列联表，并判断是否有90%的把握认为答对歌曲名称与否和年龄有
5、关，说明你的理由（下面的临界值表供参考）P（K2k0） 0.1 0.050.01 0.005 k0 2.7063.841 6.6357.879（2）在统计过的参考选手中按年龄段分层选取9名选手，并抽取3名幸运选手，求3名幸运选手中在2130岁年龄段的人数的分布列和数学期望（参考公式：K2=，其中n=a+b+c+d）19如图，在ABC中，已知AB=15，BC=14，CA=13将ABC沿BC边上的高AD折成一个如图所示的四面体ABCD，使得图中的BC=11（1）求二面角BADC的平面角的余弦值；（2）在四面体ABCD的棱AD上是否存在点P，使得=0？若存在，请指出点P的位置；若不存在，请给出证明2
6、0设O是坐标原点，椭圆C：x2+3y2=6的左右焦点分别为F1，F2，且P，Q是椭圆C上不同的两点，（I）若直线PQ过椭圆C的右焦点F2，且倾斜角为30，求证：|F1P|、|PQ|、|QF1|成等差数列；（）若P，Q两点使得直线OP，PQ，QO的斜率均存在且成等比数列求直线PQ的斜率21设函数f（x）=exlnx（1）求证：函数f（x）有且只有一个极值点x0；（2）求函数f（x）的极值点x0的近似值x，使得|xx0|0.1；（3）求证：f（x）2.3对x（0，+）恒成立（参考数据：e2.718，ln20.693，ln31.099，ln51.609，ln71.946）选修4-1：几何证明选讲22
7、如图，已知AB为O的直径，C，F为O上的两点，OCAB，过点F作O的切线FD交AB的延长线于点D，连接CF交AB于点E求证：DE2=DADB选修4-4：坐标系与参数方程23在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：x2+y2=4，圆C2：（x2）2+y2=4（）在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别求圆C1与圆C2的极坐标方程及两圆交点的极坐标；（）求圆C1与圆C2的公共弦的参数方程选修4-5：不等式选讲24已知函数f（x）=|x+1|2|x|（1）求不等式f（x）6的解集；（2）若存在实数x满足f（x）=log2a，求实数a的取值范围2016年陕西省高考数学二模试卷（理科）参考答案与试
8、题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1设集合M=x|，函数f（x）=ln（1）的定义域为N，则MN为（）A，1B，1）C（0，D（0，）【考点】交集及其运算【分析】先分别求出集合M和集合N，然后再求出集合MN【解答】解：集合M=x|=，3），函数f（x）=ln（1）=0，1），则MN=，1），故选：B2已知命题p：xR，log3x0，则（）Ap：xR，log3x0Bp：xR，log3x0Cp：xR，log3x0Dp：xR，log3x0【考点】复合命题的真假【分析】利用命题的否定即可判断出【解答】解：命题p：xR，log3
9、x0，则p：xR，log3x0故选：C3若tan=，则sin4cos4的值为（）ABCD【考点】同角三角函数基本关系的运用【分析】由条件利用平方差公式、同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值【解答】解：tan，则sin4cos4=（sin2+cos2）（sin2cos2）=sin2cos2=，故选：B4等比数列an的前n项和为Sn，已知S3=a2+10a1，a5=9，则a1=（）ABCD【考点】等比数列的前n项和【分析】设等比数列an的公比为q，利用已知和等比数列的通项公式即可得到，解出即可【解答】解：设等比数列an的公比为q，S3=a2+10a1，a5=9，解得故选C5某几何体的三视图如图
10、所示，则此几何体的体积是（）A28B32C36D40【考点】由三视图求面积、体积【分析】由三视图可知几何体是一个圆柱和一个圆台的组合体，求解其体积相加即可【解答】解：图为三视图复原的几何体是一圆台和一个圆柱的组合体，圆柱的底面半径为2，高为2，体积为：222=8圆台的底面半径为4，上底面半径为2，高为3，体积为： =28，几何体的体积为：36故选：C6将除颜色外完全相同的一个白球、一个黄球、两个红球分给三个小朋友，且每个小朋友至少分得一个球的分法有 （）种A15B18C21D24【考点】计数原理的应用【分析】把4个小球分成（2，1，1）组，其中2个小球分给同一个小朋友的有4种方法（红红，红黄，
11、红白，白黄），分两类，根据分类计数原理可得【解答】解：把4个小球分成（2，1，1）组，其中2个小球分给同一个小朋友的有4种方法（红红，红黄，红白，白黄），若（红红，红黄，红白）分给其中一个小朋友，则剩下的两个球分给2个小朋友，共有33A22=18种，若（白黄两个小球）分给其中一个小朋友，剩下的两个红色小球只有1种分法，故有31=3种，根据分类计数原理可得，共有18+3=21种故选：C7已知抛物线C：y2=x的焦点为F，A（x0，y0）是C上一点，若|AF|=x0，则x0等于（）A1B2C4D8【考点】抛物线的简单性质【分析】利用抛物线的定义、焦点弦长公式即可得出【解答】解：抛物线C：y2=x的
12、焦点为F（，0）A（x0，y0）是C上一点，|AF|=x0，x0=x0+，解得x0=1故选：A8如果执行如图所示的框图，输入N=5，则输出的数S等于（）ABCD【考点】程序框图【分析】由已知中的程序框图可知，该程序的功能是计算出输出S=+的值，利用裂项相消法，可得答案【解答】解：由已知中的程序框图可知，该程序的功能是计算出输出S=+的值，S=+=1+=1=，故选：B9曲线y=e在点（6，e2）处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为（）AB3e2C6e2D9e2【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】求出函数的导数，求得切线的斜率，由点斜式方程可得切线的方程，分别令x=0，y=0求得与y，
13、x轴的交点，运用三角形的面积公式计算即可得到所求值【解答】解：y=e的导数为y=e，可得在点（6，e2）处的切线斜率为e2，即有在点（6，e2）处的切线方程为ye2=e2（x6），即为y=e2xe2，令x=0，可得y=e2；令y=0，可得x=3即有切线与坐标轴所围成的三角形的面积为3e2=e2故选：A10已知函数f（x）=Asin（x+）（A0，0，0）的部分图象如图所示，且f（）=1，（0，），则cos（2）=（）ABCD【考点】正弦函数的图象【分析】由图象可得A值和周期，由周期公式可得，代入点（，3）可得值，可得解析式，再由f（）=1和同角三角函数基本关系可得【解答】解：由图象可得A=3，
14、 =4（），解得=2，故f（x）=3sin（2x+），代入点（，3）可得3sin（+）=3，故sin（+）=1， +=2k，=2k，kZ结合0可得当k=1时，=，故f（x）=3sin（2x+），f（）=3sin（2+）=1，sin（2+）=，（0，），2+（，），cos（2）=，故选：C11定义在R上的偶函数f（x）满足：对任意的x1，x20，+）（x1x2），有，则（）Af（2）f（1）f（3）Bf（1）f（2）f（3）Cf（3）f（2）f（1）Df（3）f（1）f（2）【考点】函数奇偶性的性质；函数单调性的判断与证明【分析】根据奇偶性可知f（2）=f（2），然后根据题目条件得到函数f（x）
15、在0，+）上是减函数，从而得到f（1）、f（2）、f（3）的大小关系，得到结论【解答】解：f（x）是偶函数f（2）=f（2）又任意的x1，x20，+）（x1x2），有f（x）在0，+）上是减函数又123f（1）f（2）f（3）即f（1）f（2）f（3）故选C12若直线l1：y=x，l2：y=x+2与圆C：x2+y22mx2ny=0的四个交点把圆C分成的四条弧长相等，则m=（）A0或1B0或1C1或1D0【考点】直线与圆的位置关系【分析】直线l1l2，且l1、l2把C分成的四条弧长相等，C可化为（xm）2+（yn）2=m2+n2，当m=0，n=1时及当m=1，n=0时，满足条件【解答】解：l1：
16、y=x，l2：y=x+2与圆C：x2+y22mx2ny=0，直线l1l2，且l1、l2把C分成的四条弧长相等，画出图形，如图所示又C可化为（xm）2+（yn）2=m2+n2，当m=0，n=1时，圆心为（0，1），半径r=1，此时l1、l2与C的四个交点（0，0），（1，1），（0，2），（1，1）把C分成的四条弧长相等；当m=1，n=0时，圆心为（1，0），半径r=1，此时l1、l2与C的四个交点（0，0），（1，1），（2，0），（1，1）也把C分成的四条弧长相等；故选：B二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13（x+cosx）dx=【考点】定积分【分析】根据定积分的计算法
17、则计算即可【解答】解：（x2+sinx）|=故答案为：14已知单位向量，的夹角为60，则向量与的夹角为【考点】平面向量数量积的运算【分析】分别求出|+|，|，（ +）（），从而代入求余弦值，从而求角【解答】解：单位向量，的夹角为60，|+|=，|=，（+）（）=2+=2+1=，设向量与的夹角为，则cos=，故=，故答案为：15不等式a2+8b2b（a+b）对于任意的a，bR恒成立，则实数的取值范围为8，4【考点】函数恒成立问题【分析】由已知可得a2ba（8）b20，结合二次不等式的性质可得=2+4（8）=2+4320，可求【解答】解：a2+8b2b（a+b）对于任意的a，bR恒成a2+8b2b
18、（a+b）0对于任意的a，bR恒成即a2（b）a+（8）b20恒成立，由二次不等式的性质可得，=2+4（8）=2+4320（+8）（4）0解不等式可得，84故答案为：8，416已知F是双曲线C：x2=1的右焦点，若P是C的左支上一点，A（0，6）是y轴上一点，则APF面积的最小值为6+9【考点】双曲线的简单性质【分析】求得双曲线的焦点，直线AF的方程以及AF的长，设直线y=2x+t与双曲线相切，且切点为左支上一点，联立双曲线方程，消去y，由判别式为0，求得m，再由平行直线的距离公式可得三角形的面积的最小值【解答】解：双曲线C：x2=1的右焦点为（3，0），由A（0，6），可得直线AF的方程为y
19、=2x+6，|AF|=15，设直线y=2x+t与双曲线相切，且切点为左支上一点，联立，可得16x24tx+t2+8=0，由判别式为0，即有96t2416（t2+8）=0，解得t=4（4舍去），可得P到直线AF的距离为d=，即有APF的面积的最小值为d|AF|=15=6+9故答案为：6+9三、解答题（本大题共5小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c已知a+c=3，b=3（I）求cosB的最小值；（）若=3，求A的大小【考点】平面向量数量积的运算；正弦定理；余弦定理【分析】（I）根据基本不等式求出ac的最大值，利用余弦定理得出co
20、sB的最小值；（II）利用余弦定理列方程解出a，c，cosB，使用正弦定理得出sinA【解答】解：（I）在ABC中，由余弦定理得cosB=ac（）2=当ac=时，cosB取得最小值（II）由余弦定理得b2=a2+c22accosB=accosB=39=a2+c26，a2+c2=15又a+c=3，ac=6a=2，c=或a=，c=2cosB=，sinB=由正弦定理得，sinA=1或A=或A=18“开门大吉”是某电视台推出的游戏节目选手面对18号8扇大门，依次按响门上的门铃，门铃会播放一段音乐（将一首经典流行歌曲以单音色旋律的方式演绎），选手需正确答出这首歌的名字，方可获得该扇门对应的家庭梦想基金在
21、一次场外调查中，发现参赛选手大多在以下两个年龄段：2130，3140（单位：岁），统计这两个年龄段选手答对歌曲名称与否的人数如图所示（1）写出22列联表，并判断是否有90%的把握认为答对歌曲名称与否和年龄有关，说明你的理由（下面的临界值表供参考）P（K2k0） 0.1 0.050.01 0.005 k0 2.7063.841 6.6357.879（2）在统计过的参考选手中按年龄段分层选取9名选手，并抽取3名幸运选手，求3名幸运选手中在2130岁年龄段的人数的分布列和数学期望（参考公式：K2=，其中n=a+b+c+d）【考点】独立性检验的应用【分析】（1）根据所给的二维条形图得到列联表，利用公式
22、求出k2=32.706，即可得出结论（2）设3名选手中在2030岁之间的人数为，可能取值为0，1，2，3，求出概率，列出分布列，求解期望即可【解答】解：（1）22列联表正确错误合计21301030403140107080合计20100120K2=32.706有90%的把握认为猜对歌曲名称与否和年龄有关（2）按照分层抽样方法可知：2130（岁）抽取3人，3140（岁）抽取6人设3名选手中在2130岁之间的人数为，可能取值为0，1，2，3P（=0）=，P（=1）=，P（=2）=，P（=3）=D的分布列0123PE（）=0+1+2+3=119如图，在ABC中，已知AB=15，BC=14，CA=13将
23、ABC沿BC边上的高AD折成一个如图所示的四面体ABCD，使得图中的BC=11（1）求二面角BADC的平面角的余弦值；（2）在四面体ABCD的棱AD上是否存在点P，使得=0？若存在，请指出点P的位置；若不存在，请给出证明【考点】二面角的平面角及求法；平面向量数量积的运算【分析】（1）根据图象折之前和折之后的边长关系，结合二面角的定义进行求解（2）假设在四面体ABCD的棱AD上存在点P，使得根据向量数量积的定义结合向量的运算法则进行化简求解【解答】解：（1）由已知ADBD，ADCD，故二面角BADC的平面角为BDC，在图，设BD=x，AD=h，则CD=14x，在ABD与ACD中，分别用勾股定理得
24、x2+h2=152，（14x）2+h2=132，得x=9，h=12，从而AD=12，BD=9，CD=5，在图的BCD中，由余弦定理得BC2=BD2+CD22BDCDcosBDC，即112=92+52295cosBDC，则cosBDC=，即二面角BADC的平面角的余弦值是（2）假设在四面体ABCD的棱AD上存在点P，使得，则0=（+）（+）=2+=2+0+0+95（）=2，则|=12，符号题意，即在棱AD上存在点P，使得，此时|=20设O是坐标原点，椭圆C：x2+3y2=6的左右焦点分别为F1，F2，且P，Q是椭圆C上不同的两点，（I）若直线PQ过椭圆C的右焦点F2，且倾斜角为30，求证：|F1
25、P|、|PQ|、|QF1|成等差数列；（）若P，Q两点使得直线OP，PQ，QO的斜率均存在且成等比数列求直线PQ的斜率【考点】椭圆的简单性质【分析】（I）求得椭圆的a，b，c，设出直线PQ的方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式可得|PQ|，再由椭圆的定义可得|F1P|+|PQ|+|QF1|=4a，由等差数列的中项的性质，可得结论；（）设出直线PQ的方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和判别式大于0，由等比数列的中项的性质，结合直线的斜率公式，化简整理，解方程即可得到直线PQ的斜率【解答】解：（I）证明：x2+3y2=6即为+=1，即有a=，b=，c=2，由直线PQ过椭圆C的右焦点F2（2，0
26、），且倾斜角为30，可得直线PQ的方程为y=（x2），代入椭圆方程可得，x22x1=0，即有x1+x2=2，x1x2=1，由弦长公式可得|PQ|=，由椭圆的定义可得|F1P|+|PQ|+|QF1|=4a=4，可得|F1P|+|QF1|=4=2|PQ|，则有|F1P|、|PQ|、|QF1|成等差数列；（）设直线PQ的方程为y=kx+m，代入椭圆方程x2+3y2=6，消去y得：（1+3k2）x2+6kmx+3（m22）=0，则=36k2m212（1+3k2）（m22）=12（6k2m2+2）0，x1+x2=，x1x2=，故y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m
27、2，直线OP、PQ、OQ的斜率依次成等比数列，=k2，即km（x1+x2）+m2=0，即有+m2=0，由于m0，故k2=，直线PQ的斜率k为21设函数f（x）=exlnx（1）求证：函数f（x）有且只有一个极值点x0；（2）求函数f（x）的极值点x0的近似值x，使得|xx0|0.1；（3）求证：f（x）2.3对x（0，+）恒成立（参考数据：e2.718，ln20.693，ln31.099，ln51.609，ln71.946）【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值【分析】（1）求出f（x）的导数，根据导函数的单调性，求出零点的范围，从而证出极值点的个数；（2）求出函数的导数
28、，求出零点的范围，即极值点的范围，求出满足条件的零点的近似值即可；（3）求出函数的导数，得到函数零点的范围，结合函数的单调性证明即可【解答】（1）证明：f（x）的定义域是（0，+），f（x）=ex，函数y=ex和y=在（0，+）均递增，f（x）在（0，+）递增，而f（）=20，f（1）=e10，f（x）在（，1）上存在零点，记x0，且f（x）在x0左右两侧的函数值异号，综上，f（x）有且只有一个零点x0，即函数f（x）有且只有一个极值点x0；（2）解：ln=ln5ln30.51，且f（x）在，上的图象连续，f（）0，f（）=0，f（x）的零点x0（，），即f（x）的极值点x0（，），即x0（0
29、.5，0.6），x0的近似值x可以取x=0.55，此时的x满足|xx0|0.6.05=0.1；（3）证明：ln=ln72ln20.56，且f（x）在，上图象连续，f（）0，f（）=0，f（x）的零点x0（，），f（x）的极值点x0（，）x0，由（1）知：f（x0）=0，且f（x）的最小值是f（x0）=lnx0=lnx0，函数g（x）=lnx在（0，+）递减，且x0，g（x0）g（）=1.75（2ln2ln7）2.312.3，f（x）f（x0）=lnx02.3对x（0，+）恒成立选修4-1：几何证明选讲22如图，已知AB为O的直径，C，F为O上的两点，OCAB，过点F作O的切线FD交AB的延长线
30、于点D，连接CF交AB于点E求证：DE2=DADB【考点】与圆有关的比例线段【分析】欲证DE2=DBDA，由于由切割线定理得DF2=DBDA，故只须证：DF=DE，也就是要证：CFD=DEF，这个等式利用垂直关系通过互余角的转换即得【解答】证明：连接OF因为DF切O于F，所以OFD=90所以OFC+CFD=90因为OC=OF，所以OCF=OFC因为COAB于O，所以OCF+CEO=90所以CFD=CEO=DEF，所以DF=DE因为DF是O的切线，所以DF2=DBDA所以DE2=DBDA选修4-4：坐标系与参数方程23在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：x2+y2=4，圆C2：（x2）2+y2
31、=4（）在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别求圆C1与圆C2的极坐标方程及两圆交点的极坐标；（）求圆C1与圆C2的公共弦的参数方程【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程【分析】（）首先把直角坐标方程转化成极坐标方程，进一步建立极坐标方程组求出交点坐标，再转化成极坐标（）利用二元二次方程组解得交点坐标再转化成参数方程【解答】解：（）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：x2+y2=4，转化成极坐标方程为：=2圆C2：（x2）2+y2=4转化成极坐标方程为：=4cos，所以：解得：=2，（kZ）交点坐标为：（2，2k+），（2，2k）（）已知圆C1：x2+y2=4圆C2：（
32、x2）2+y2=4所以：得：x=1，y=，即（1，），（1，）所以公共弦的参数方程为：选修4-5：不等式选讲24已知函数f（x）=|x+1|2|x|（1）求不等式f（x）6的解集；（2）若存在实数x满足f（x）=log2a，求实数a的取值范围【考点】绝对值不等式的解法【分析】（1）通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可；（2）求出f（x）的最大值，问题转化为1，解出即可【解答】解：（1）x0时，f（x）=x+12x=x+16，解得：x7，1x0时，f（x）=x+1+2x6，无解，x1时，f（x）=x1+2x6，解得：x7，故不等式的解集是x|x7或x7；（2）x0时，f（x）=x+11，1x0时，f（x）=3x+1，2f（x）1，x1时，f（x）=x12，故f（x）的最大值是1，若存在实数x满足f（x）=log2a，只需1即可，解得：0a22016年9月9日