1、第42讲基本不等式及其应用考试要求1.基本不等式的证明过程(A级要求)；2.利用基本不等式解决简单的最大(小)值问题(C级要求).应关注利用基本不等式把等式转化为不等式，然后研究最值问题.诊 断 自 测1.思考辨析(在括号内打“”或“”)(1)当a0，b0时，.()(2)两个不等式a2b22ab与成立的条件是相同的.()(3)函数yx的最小值是2.()(4)函数f(x)sin x的最小值为2.()(5)x0且y0是2的充要条件.()解析(2)不等式a2b22ab成立的条件是a，bR；不等式成立的条件是a0，b0.(3)函数yx值域是(，22，)，没有最小值.(4)函数f(x)sin x的最小值
2、为5.(5)x0且y0是2的充分条件.答案(1)(2)(3)(4)(5)2.(教材改编)设x0，y0，且xy18，则xy的最大值为_.解析x0，y0，即xy81，当且仅当xy9时，(xy)max81.答案813.(教材改编)若0x1，则的取值范围是_.解析由0x0，故，当且仅当x时，上式等号成立.00，y0，x2y1，所以(x2y)123232，当且仅当x22y2时取得最小值32.答案325.(教材改编)若x(0，)，则sin x2；若a，b(0，)，则lg alg b2；若xR，则4.其中正确结论的序号是_.解析因为x(0，)，所以sin x(0，1，所以成立；只有在lg a0，lg b0，
3、即a1，b1时才成立；|x|24，当且仅当x2时“”成立.答案知 识 梳 理1.基本不等式(1)基本不等式成立的条件：a0，b0.(2)等号成立的条件：当且仅当ab时取等号.(3)适用于求含两个代数式的最值.2.几个重要的不等式(1)a2b22ab(a，bR).(2)2(a，b同号).(3)ab，(a，bR).(4)(a，bR).(以上不等式要根据条件合理选择其中之一)以上不等式等号成立的条件均为ab.3.算术平均数与几何平均数设a0，b0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数，当两个正数相等时两者相等.4.利用基本不等式求最值问题
4、已知x0，y0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当xy时，xy有最小值2(简记：积定和最小).(2)如果和xy是定值p，那么当且仅当xy时，xy有最大值(简记：和定积最大).考点一利用基本不等式求最值(多维探究)命题角度1配凑法求最值【例11】 (1)已知0x1，则x(43x)取得最大值时x的值为_.(2)已知x1)的最小值为_.解析(1)x(43x)(3x)(43x)，当且仅当3x43x，即x时，取等号.(2)因为x0，则f(x)4x2(54x)3231.当且仅当54x，即x1时，等号成立.故f(x)4x2的最大值为1.(3)由于x1，故y(x1)222.当且仅当x1，即x1时，等号成
5、立.答案(1)(2)1(3)22命题角度2常数代换或消元法求最值【例12】 (1)(2018盐城模拟)已知正数x，y满足x2yxy0，则x2y的最小值为_.(2)(一题多解)(2018南京模拟)已知x0，y0，x3yxy9，则x3y的最小值为_.(3)(2017苏州期末)已知ab，a，b(0，1)，那么的最小值为_.解析(1)由x2yxy0，得1，且x0，y0.x2y(x2y)4448.当且仅当，即x4，y2时等号成立.(2)法一(消元法)由已知得x.因为x0，y0，所以0y3，所以x3y3y3(y1)6266，当且仅当3(y1)，即y1，x3时，(x3y)min6.法二x0，y0，9(x3y
6、)xyx(3y)，当且仅当x3y时等号成立.设x3yt0，则t212t1080，(t6)(t18)0，又t0，t6.故当x3，y1时，(x3y)min6.(3)因为b，a(0，1)，所以22.令2a1t，则a，原式2224，当且仅当t，即a(0，1)时取等号，故原式的最小值为4.答案(1)8(2)6(3)4规律方法(1)应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”.所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件.(2)在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式
7、.(3)条件最值的求解通常有三种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值；三是对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解.易错警示(1)利用基本不等式求最值，一定要注意应用条件；(2)尽量避免多次使用基本不等式，若必须多次使用，一定要保证等号成立的条件一致.【训练1】 (1)(一题多解)若正数x，y满足x3y5xy，则3x4y的最小值是_.(2)设ab2，b0，则取最小值时，a的值为_.解析(1)法一由x3y5xy及x，y均为正数可得1，3x4y(3
8、x4y)5.(当且仅当，即x1，y时，等号成立)，3x4y的最小值是5.法二由x3y5xy，得x，x0，y0，y，3x4y4y4y425，当且仅当y时等号成立，(3x4y)min5.(2)ab2，b0，21，当且仅当时等号成立.又ab2，b0，当b2a，a2时，取得最小值.答案(1)5(2)2考点二基本不等式的综合应用【例2】 (1)设x，y，z均为大于1的实数，且z为x和y的等比中项，则的最小值为_.(2)设正四面体ABCD的棱长为，P是棱AB上的任意一点(不与点A，B重合)，且点P到平面ACD，平面BCD的距离分别为x，y，则的最小值是_.解析(1)由题意得z2xy，lg x0，lg y0
9、，2，当且仅当，即lg y2lg x，即yx2时取等号.(2)过点A作AO平面BCD于点O，则O为BCD的重心，所以OB，所以AO2.又VPBCDVPACDVABCD，所以SBCDySACDxSBCD2，即xy2.所以(xy)2，当且仅当x3，y1时取等号.答案(1)(2)2规律方法(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数.(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值.(3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解.【训练2】 (1)(2018泰州模拟)已知ab1且2logab3logba7，则a的最小值为_.(2)
10、(2018苏、锡、常、镇四市调研)若实数x，y满足xy0，则的最大值为_.解析(1)因为2logab3logba7，所以2(logab)27logab30，解得logab或logab3，因为ab1，所以logab(0，1)，故logab，从而b，因此aa(a1)13，当且仅当a2时等号成立.(2)因为xy0，所以11142，当且仅当，即x22y2时取等号.答案(1)3(2)42考点三利用基本不等式解决恒成立及实际应用问题【例31】 若不等式x2a(xy)对任意的实数x，y(0，)恒成立，则实数a的最小值为_.解析由题意得a恒成立.令t(t0)，则a，再令12tu(u1)，则t，故a.因为u2(
11、当且仅当u时等号成立)，故u222，从而00，b0，若不等式恒成立，则m的最大值为_.(2)已知函数f(x)(aR)，若对于任意的xN*，f(x)3恒成立，则a的取值范围是_.解析(1)由，得m(a3b)6.又a0，b0，所以62612(当且仅当时等号成立)，m12，m的最大值为12.(2)对任意xN*，f(x)3恒成立，即3恒成立，即知a3.设g(x)x，xN*，则g(2)6，g(3).g(2)g(3)，g(x)min，3，a，故a的取值范围是.答案(1)12(2)规律方法(1)应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解.(2)条件不等式的最值问题：
12、通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解.(3)求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或范围.【训练3】 (2018苏北四市联考)如图，墙上有一壁画，最高点A离地面4 m，最低点B离地面2 m，观察者从距离墙x(x1)m，离地面高a(1a2)m的C处观赏该壁画，设观赏视角ACB. (1)若a1.5，问：观察者离墙多远时，视角最大？(2)若tan ，当a变化时，求x的取值范围.解(1) 当a1.5时，过C作AB的垂线，垂足为D，则BD0.5，且ACDBCD，由已知观察者离墙x m，且x1，则tanBCD，tanACD，所以tan tan(ACDBCD)，当
13、且仅当x1时取等号.又tan 在上单调递增，所以当观察者离墙 m时，视角最大.(2)由题意得tanBCD，tanACD，又tan ，所以tan tan(ACDBCD)，所以a26a8x24x.当1a2时，0a26a83，所以0x24x3，即解得0x1或3x4，因为x1，所以3x4.所以x的取值范围是3，4.一、必做题1.(教材改编)已知a，bR，且ab0，则下列不等式中，恒成立的序号是_.a2b22ab；ab2；2.解析因为a2b22ab，当且仅当ab时，等号成立，所以错误；对于，因为ab0，所以22.对于，当a0，b0时，明显错误.答案2.(教材改编)用长为16 cm的铁丝围成一个矩形，则所
14、围成的矩形的最大面积是_ cm2.解析设矩形长为x cm(0x0，8x0，可得S16，当且仅当x8x，即x4时，Smax16.所以矩形的最大面积是16 cm2.答案163.当x0时，函数f(x)有最_值，为_.解析由于x0，所以f(x)1，当且仅当x1时取等号.答案大14.(2018盐城模拟)函数y的最小值为_.解析y2，当且仅当，即x0时，y取到最小值2.答案25.某民营企业的一种电子产品，2015年的年产量在2014年基础上增长率为a；2016年计划在2015年的基础上增长率为b(a，b0)，若这两年的平均增长率为q，则q与的大小关系是_.解析设2014年的年产量为1，则2016年的年产量
15、为(1a)(1b)，(1q)2(1a)(1b)，1q1，q，当且仅当ab时，取“”.答案q6.(2017天津卷)若a，bR，ab0，则的最小值为_.解析4ab24(前一个等号成立条件是a22b2，后一个等号成立的条件是ab，两个等号可以同时取得，则当且仅当a2，b2时取等号).答案47.设f(x)x2x1，g(x)x21，则的取值范围是_.解析1，当x0时，1；当x0时，11；当x0，解得a1.同理可得b1，9(a1)26，当且仅当9(a1)，即a时等号成立，最小值为6.答案69.(2018扬州一模)设正实数x，y，z满足x23xy4y2z0，则当取得最大值时，的最大值为_.解析由已知得zx2
16、3xy4y2，(*)则1，当且仅当x2y时取等号，把x2y代入(*)式，得z2y2，所以11.答案110.已知函数f(x)(xa，a为非零常数).(1)解不等式f(x)a时，f(x)有最小值为6，求a的值.解(1)f(x)x，即x，整理为(ax3)(xa)0时，(xa)0，解集为；当a0，解集为.(2)设txa，则xta(t0).f(t)t2a22a22a.当且仅当t，即t时，等号成立，即f(x)有最小值22a.依题意有22a6，解得a1.二、选做题11.(一题多解)(2018南通模拟)设实数x，y满足y21，则3x22xy的最小值是_.解析法一因为y21，所以3x22xy，令k，则3x22x
17、y，再令t32k(2，4)，则k，故3x22xy64，当且仅当t2时等号成立.法二令t3x22xy，则y，代入方程y21并化简得8x4(46t)x2t20，令ux24，则8u2(46t)ut20在4，)上有解，从而由得t212t40，解得t64，当取得最小值时，u2 满足题意.法三因为y21，所以令yt，则y，从而则3x22xy62t264，当且仅当t2时等号成立.答案6412.(2018南京模拟)一位创业青年租用了如图所示的一块边长为1百米的正方形田地ABCD来养蜂、产蜜与售蜜，他在正方形的边BC，CD上分别取点E，F(不与正方形的顶点重合)，连接AE，EF，FA，使得EAF45.现拟将图中
18、阴影部分规划为蜂源植物生长区，AEF部分规划为蜂巢区，CEF部分规划为蜂蜜交易区.若蜂源植物生长区的投入约为2105元/百米2，蜂巢区与蜂蜜交易区的投入约为105元/百米2，则这三个区域的总投入最少需要多少元？解设阴影部分面积为S，三个区域的总投入为T.则T2105S105(1S)105(S1)，所以只要求S的最小值即可得T的最小值.设EAB(045)，在ABE中，因为AB1，B90，所以BEtan ，则SABEABBEtan .又DAF45，所以SADFtan(45).所以Stan tan(45).令xtan (0，1)，则S(22)1.当且仅当x1，即x1时取等号.此时T105，所以三个区域的总投入T的最小值约为105元.
