1、第7节解三角形应用举例最新考纲能够运用正弦定理、余弦定理等知识方法解决一些与测量、几何计算有关的实际问题.知 识 梳 理1.仰角和俯角在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图1).2.方向角相对于某正方向的水平角，如南偏东30，北偏西45等3.方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为(如图2)4.坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值.常用结论与微点提醒1.不要搞错各种角的含义，不要把这些角和三角形内角之间的关系弄混.2.在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个
2、空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易出现错误.诊 断 自 测1.思考辨析(在括号内打“”或“”)(1)东北方向就是北偏东45的方向.()(2)从A处望B处的仰角为，从B处望A处的俯角为，则，的关系为180.()(3)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为.()(4)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系.()解析(2)；(3)俯角是视线与水平线所构成的角.答案(1)(2)(3)(4)2.若点A在点C的北偏东30，点B在点C的南偏东60，且ACBC，则点A在点B的()A.北偏东15 B.北偏西15C.北偏东10 D.北偏西10解析如图所示，ACB90，又A
3、CBC，CBA45，而30，90453015.点A在点B的北偏西15.答案B3.(教材习题改编)如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，ACB45，CAB105后，就可以计算出A，B两点的距离为()A.50 m B.50 mC.25 m D. m解析由正弦定理得，又B30，AB50(m).答案A4.轮船A和轮船B在中午12时同时离开海港C，两船航行方向的夹角为120，两船的航行速度分别为25 n mile/h，15 n mile/h，则下午2时两船之间的距离是_n mile.解析设两船之间的距离为d，则d250230225030cos
4、 1204 900，d70，即两船相距70 n mile.答案705.(2014全国卷)如图所示，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点.从A点测得M点的仰角MAN60，C点的仰角CAB45以及MAC75；从C点测得MCA60.已知山高BC100 m，则山高MN_m.解析在RtABC中，CAB45，BC100 m，所以AC100 m.在AMC中，MAC75，MCA60，从而AMC45，由正弦定理得，因此AM100 m.在RtMNA中，AM100 m，MAN60，由sin 60得MN100150 m.答案150考点一测量高度问题【例1】 如图所示，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行
5、驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CD_m.解析在ABC中，AB600，BAC30，ACB753045，由正弦定理得，即，所以BC300(m).在RtBCD中，CBD30，CDBCtanCBD300tan 30100(m).答案100规律方法1.在处理有关高度问题时，要理解仰角、俯角(它是在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(它是在水平面上所成的角)是关键.2.在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错
6、.3.注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题.【训练1】 如图所示，为了估测某塔的高度，在同一水平面的A，B两点处进行测量，在点A处测得塔顶C在西偏北20的方向上，仰角为60；在点B处测得塔顶C在东偏北40的方向上，仰角为30.若A，B两点相距130 m，求塔的高度CD.解设CDh，则AD，BDh，在ADB中，ADB1802040120，由余弦定理AB2BD2AD22BDADcos 120，可得13023h22h，解得h10，故塔的高度为10(m).考点二测量距离问题【例2】 如图，A，B两点在河的同侧，且A，B两点均不可到达，要测出AB的距离，测量者可以在河岸边选定两点C，D
7、，测得CDa，同时在C，D两点分别测得BCA，ACD，CDB，BDA.在ADC和BDC中，由正弦定理分别计算出AC和BC，再在ABC中，应用余弦定理计算出AB.若测得CD km，ADBCDB30，ACD60，ACB45，求A，B两点间的距离.解ADCADBCDB60，ACD60，DAC60，ACDC(km).在BCD中，DBC45，由正弦定理，得BCsinBDCsin 30(km).在ABC中，由余弦定理，得AB2AC2BC22ACBCcos 452.AB(km).A，B两点间的距离为 km.规律方法1.选定或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接求解；若有未知量，
8、则把未知量放在另一确定三角形中求解.2.确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理.【训练2】 海轮“和谐号”从A处以每小时21海里的速度出发，海轮“奋斗号”在A处北偏东45的方向，且与A相距10海里的C处，沿北偏东105的方向以每小时9海里的速度行驶，则海轮“和谐号”与海轮“奋斗号”相遇所需的最短时间为_小时.解析设海轮“和谐号”与海轮“奋斗号”相遇所需的最短时间为x小时，如图，则由已知得ABC中，AC10，AB21x，BC9x，ACB120.由余弦定理得：(21x)2100(9x)22109xcos 120，整理，得36x29x100，解得x或x(舍).所以海轮“和谐号
9、”与海轮“奋斗号”相遇所需的最短时间为小时.答案考点三测量角度问题【例3】 如图所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东的方向沿直线CB前往B处救援，则cos 的值为_.解析在ABC中，AB40，AC20，BAC120，由余弦定理得BC2AB2AC22ABACcos 1202 800BC20.由正弦定理，得sinACBsinBAC.由BAC120，知ACB为锐角，则cosACB.由ACB30，得cos cos(ACB30)cosACBcos 30sinACBsin
10、30.答案规律方法解决测量角度问题的注意事项(1)首先应明确方位角或方向角的含义.(2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键、最重要的一步.(3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正弦、余弦定理的结合使用.【训练3】 如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m，50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角CAD等于()A.30 B.45 C.60 D.75解析依题意可得AD20m，AC30m，又CD50 m，所以在ACD中，由余弦定理得cosCAD，又0CAD180，所以CAD45，所以从顶端A看建筑物CD的张角为4
11、5.答案B基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1.在相距2 km的A，B两点处测量目标点C，若CAB75，CBA60，则A，C两点之间的距离为()A. km B. km C. km D.2 km解析如图，在ABC中，由已知可得ACB45，AC2(km).答案A2.一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65，那么B，C两点间的距离是()A.10海里 B.10海里C.20海里 D.20海里解析如图所示，易知，在 ABC中，AB20，CAB30，ACB4
12、5，根据正弦定理得，解得BC10(海里).答案A3.(2018许昌调研)如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20，灯塔B在观察站C的南偏东40，则灯塔A与B的距离为()A.a km B.a kmC.a km D.2a km解析由题图可知，ACB120，由余弦定理，得AB2AC2BC22ACBCcosACBa2a22aa3a2，解得ABa(km).答案B4.如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75，30，此时气球的高是60 m，则河流的宽度BC等于()A.240(1)m B.180(1)mC.120(1)m D.30(1)m
13、解析如图，ACD30，ABD75，AD60 m，在RtACD中，CD60(m)，在RtABD中，BD60(2)(m)，BCCDBD6060(2)120(1)(m).答案C5.如图，测量河对岸的塔高AB时可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得BCD15，BDC30，CD30，并在点C测得塔顶A的仰角为60，则塔高AB等于()A.5 B.15 C.5 D.15解析在BCD中，CBD1801530135.由正弦定理得，所以BC15.在RtABC中，ABBCtan ACB1515.答案D二、填空题6.江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别
14、为45和60，而且两条船与炮台底部连线成30角，则两条船相距_m.解析如图，OMAOtan 4530(m)，ONAOtan 303010(m)，在MON中，由余弦定理得，MN10(m).答案107.在200 m高的山顶上，测得山下一塔顶和塔底的俯角分别是30，60，则塔高为_m.解析如图，由已知可得BAC30，CAD30，BCA60，ACD30，ADC120.又AB200 m，AC(m).在ACD中，由余弦定理得，AC22CD22CD2cos 1203CD2，CDAC(m).答案8.(2018潍坊模拟)校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度为15的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排
15、和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60和30，第一排和最后一排的距离为10 m(如图所示)，旗杆底部与第一排在一个水平面上.若国歌时长为50 s，升旗手应以_m/s的速度匀速升旗.解析依题意可知AEC45，ACE1806015105，EAC1804510530.由正弦定理可知，ACsinCEA20 m.在RtABC中，ABACsinACB2030 m.国歌时长为50 s，升旗速度为0.6 m/s.答案0.6三、解答题9.如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东的方向追赶渔船乙，刚好
16、用2小时追上.(1)求渔船甲的速度；(2)求sin 的值.解(1)依题意知，BAC120，AB12，AC10220，BCA.在ABC中，由余弦定理，得BC2AB2AC22ABACcosBAC12220221220cos 120784.解得BC28.所以渔船甲的速度为14海里/时.(2)在ABC中，因为AB12，BAC120，BC28，BCA，由正弦定理，得，即sin .10.(2018武汉质检)如图所示，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角为，在塔底C处测得A处的俯角为.已知铁塔BC部分的高为h，求山高CD.解由已知得，BCA90，ABC90，BAC，CAD.在ABC中，由正弦定理得，即，A
17、C.在RtACD中，CDACsinCADACsin .故山高CD为.能力提升题组(建议用时：20分钟)11.(2018山西康杰中学、临汾一中等五校联考)飞机的航线和山顶在同一个铅垂平面内，已知飞机的高度为海拔15 000 m，速度为1 000 km/h，飞行员先看到山顶的俯角为15，经过108 s后又看到山顶的俯角为75，则山顶的海拔高度为_m(取1.732).解析108 s0.03 h，AB1 0000.0330 km.C751560，BC.C到AB边的距离为hBCsin 7520sin 15sin 7510sin 30551.7328.66 km.山顶的海拔高度为(158.66)km6 3
18、40 m.答案6 34012.(2017呼和浩特调研)某人为测出所住小区的面积，进行了一些测量工作，最后将所住小区近似地画成如图所示的四边形，测得的数据如图所示，则该图所示的小区的面积是_km2.解析如图，连接AC，由余弦定理可知AC，故ACB90，CAB30，DACDCA15，ADC150，即AD，故S四边形ABCDSABCSADC1(km2).答案13.如图，在海岸A处，发现北偏东45方向距A为(1)海里的B处有一艘走私船，在A处北偏西75方向，距A为2海里的C处的缉私船奉命以10海里/时的速度追截走私船.此时走私船正以10海里/时的速度从B处向北偏东30方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？并求出所需要的时间(注：2.449).解设缉私船应沿CD方向行驶t小时，才能最快截获(在D点)走私船，则有CD10t(海里)，BD10t(海里).在ABC中，AB(1)海里，AC2海里，BAC4575120，根据余弦定理，可得BC(海里).根据正弦定理，可得sinABC.ABC45，易知CB方向与正北方向垂直，从而CBD9030120.在BCD中，根据正弦定理，可得sinBCD，BCD30，BDC30，BDBC(海里)，则有10t，t0.245小时14.7分钟.故缉私船沿北偏东60方向，需14.7分钟才能追上走私船.