1、第45讲空间点、线、面之间的位置关系考试要求1.平面的基本性质及其简单应用(证明一些空间图形的位置关系的简单命题)(A级要求)；2.空间点、线、面的位置关系(A级要求).诊 断 自 测1.下列命题中正确的个数为_.梯形可以确定一个平面；若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行；两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合.解析中两直线可以平行、相交或异面，中若三个点在同一条直线上，则两个平面相交，正确.答案22.(必修2P23练习2改编)用集合符号表示“点P在直线l外，直线l在平面内”为_.解析考查点、线、面之间的符号表示.答案Pl，l3.(必
2、修2P31习题5改编)下列说法中正确的是_(填序号).两两相交的三条直线共面；四条线段首尾相接，所得的图形是平面图形；平行四边形的四边所在的四条直线共面；若AB，CD是两条异面直线，则直线AC，BD不一定异面.解析当三条直线交于一点时有可能不共面；四条线段首尾相接，所得的图形可以构成空间四边形；若AB，CD是两条异面直线，则直线AC，BD一定异面，可反证.答案4.(教材改编)如图所示，已知在长方体ABCDEFGH中，AB2，AD2，AE2，则BC和EG所成角的大小是_，AE和BG所成角的大小是_.解析BC与EG所成的角等于EG与FG所成的角即EGF，tanEGF1，EGF45，AE与BG所成的
3、角等于BF与BG所成的角即GBF，tanGBF，GBF60.答案45605.如图是正四面体(各面均为正三角形)的平面展开图，G、H、M、N分别为DE、BE、EF、EC的中点，在这个正四面体中，GH与EF平行；BD与MN为异面直线；GH与MN成60角；DE与MN垂直以上四个命题中正确命题的序号是_解析把正四面体的平面展开图还原，如图所示，GH与EF为异面直线，BD与MN为异面直线，GH与MN成60角，DEMN.答案知 识 梳 理1.四个公理公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内.公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经
4、过这个公共点的一条直线.公理3：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行.2.直线与直线的位置关系(1)位置关系的分类(2)异面直线所成的角定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任意一点O，作直线aa，bb，把直线a与b所成的锐角(或直角)叫做异面直线a，b所成的角.范围：.3.直线与平面的位置关系有直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行三种情况.4.平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况.5.等角定理如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等.考点一平面基本性质的应用【例1】 (1)(2016山东卷)已知直线
5、a，b分别在两个不同的平面，内，则“直线a和直线b相交”是“平面和平面相交”的_条件.(2)已知空间四边形ABCD(如图所示)，E、F分别是AB、AD的中点，G、H分别是BC、CD上的点，且CGBC，CHDC.求证：E、F、G、H四点共面；三直线FH、EG、AC共点.(1)解析若直线a和直线b相交，则平面和平面相交；若平面和平面相交，那么直线a和直线b可能平行或异面或相交.答案充分不必要(2)证明连接EF，GH，如图所示，E，F分别是AB，AD的中点，EFBD.又CGBC，CHDC，GHBD，EFGH，E、F、G、H四点共面.易知FH与直线AC不平行，但共面，设FHACM，M平面EFHG，M平
6、面ABC.又平面EFHG平面ABCEG，MEG，FH、EG、AC共点.规律方法共面、共线、共点问题的证明(1)证明点或线共面问题的两种方法：首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合.(2)证明点共线问题的两种方法：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；直接证明这些点都在同一条特定直线上.(3)证明线共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点.【训练1】 如图，平面ABEF平面ABCD，四边形ABEF与四边形ABCD都是直角梯形，BADFAB90，BCAD且BC
7、AD，BEAF且BEAF，G、H分别为FA、FD的中点.(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；(2)C、D、F、E四点是否共面？为什么？(1)证明由已知FGGA，FHHD，可得GH綊AD.又BC綊AD，GH綊BC.四边形BCHG为平行四边形.(2)解BE綊AF，G是FA的中点，BE綊FG，四边形BEFG为平行四边形，EFBG.由(1)知BG綊CH，EFCH，EF与CH共面.又DFH，C、D、F、E四点共面.考点二判断空间两直线的位置关系【例2】 (1)(2015广东改编)若直线l1和l2是异面直线，l1在平面内，l2在平面内，l是平面与平面的交线，则下列命题正确的是_(填序号).l与l1，l
8、2都不相交；l与l1，l2都相交；l至多与l1，l2中的一条相交；l至少与l1，l2中的一条相交.(2)如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，则下列判断错误的是_(填序号).MN与CC1垂直；MN与AC垂直；MN与BD平行；MN与A1B1平行.(3)在图中，G、N、M、H分别是正三棱柱(两底面为正三角形的直棱柱)的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH、MN是异面直线的图形有_(填上所有正确答案的序号).解析(1)若l与l1，l2都不相交，则ll1，ll2，l1l2，这与l1和l2异面矛盾，l至少与l1，l2中的一条相交.(2)连接B1C，B1D1，如图所示，
9、则点M是B1C的中点，MN是B1CD1的中位线，MNB1D1，又BDB1D1，MNBD.CC1B1D1，ACB1D1，MNCC1，MNAC.又A1B1与B1D1相交，MN与A1B1不平行.(3)图中，直线GHMN；图中，G、H、N三点共面，但M平面GHN，NGH，因此直线GH与MN异面；图中，连接MG，GMHN，因此GH与MN共面；图中，G、M、N共面，但H平面GMN，GMN，因此GH与MN异面.所以图中GH与MN异面.答案(1)(2)(3)规律方法空间中两直线位置关系的判定，主要是异面、平行和垂直的判定.对于异面直线，可采用直接法或反证法；对于平行直线，可利用三角形(梯形)中位线的性质、公理
10、4及线面平行与面面平行的性质定理；对于垂直关系，往往利用线面垂直的性质来解决.【训练2】 (1)已知a，b，c为三条不重合的直线，有下列结论：若ab，ac，则bc；若ab，ac，则bc；若ab，bc，则ac.其中正确的个数为_.(2)如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，点MAB1，NBC1，且AMBN，有以下四个结论：AA1MN；A1C1MN；MN平面A1B1C1D1；MN与A1C1是异面直线.其中正确结论的序号是_(注：把你认为正确结论的序号都填上).解析(1)在空间中，若ab，ac，则b，c可能平行，也可能相交，还可能异面，所以错，显然成立.(2)过N作NPBB1于点P，连接M
11、P，可证AA1平面MNP，AA1MN，正确，过M、N分别作MRA1B1、NSB1C1于点R，S，则当M不是AB1的中点、N不是BC1的中点时，直线A1C1与直线RS相交；当M、N分别是AB1、BC1的中点时，A1C1RS，A1C1与MN可以异面，也可以平行，故错误.由正确知，AA1平面MNP，而AA1平面A1B1C1D1，平面MNP平面A1B1C1D1，故正确.综上所述，其中正确的序号是.答案(1)1(2)考点三求两条异面直线所成的角【例3】 (2018南京模拟)如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，则异面直线AP与BD所成的角为_.解析如图，将原图补成正方体ABC
12、DQGHP，连接GP，则GPBD，所以APG为异面直线AP与BD所成的角，在AGP中，AGGPAP，所以APG.答案规律方法用平移法求异面直线所成的角的三步法(1)一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角；(2)二证：证明作出的角是异面直线所成的角；(3)三求：解三角形，求出作出的角.如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角；如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角.【训练3】 (2018盐城模拟)已知正四面体ABCD中，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为_.解析画出正四面体ABCD的直观图，如图所示.设其棱长为2，取AD的中点F，连接EF，设EF的中点为O，连接CO
13、，则EFBD，则FEC就是异面直线CE与BD所成的角.ABC为等边三角形，则CEAB，易得CE，同理可得CF，故CECF.因为OEOF，所以COEF.又EOEFBD，所以cosFEC.答案一、必做题1.设a，b是两条不同的直线，是两个不同的平面，a，b，则“”是“ab”的_条件.解析若a，b，则由，bb，又a，所以ab；若ab，a，b，则b或b或b，此时或与相交，所以“”是“ab”的充分不必要条件.答案充分不必要2.(2018南京、盐城一模)现有如下命题：过平面外一点有且只有一条直线与该平面垂直；过平面外一点有且只有一条直线与该平面平行；如果两个平行平面和第三个平面相交，那么所得的两条交线平行
14、；如果两个平面相互垂直，那么经过第一个平面内一点且垂直于第二个平面的直线必在第一个平面内.其中正确的命题是_(填序号).解析过平面外一点有无数条直线与该平面平行，故错.答案3.(2018镇江模拟)设b，c表示两条直线，表示两个平面，现给出下列命题：若b，c，则bc；若b，bc，则c；若c，则c；若c，c，则.其中正确的命题是_(填序号).解析中直线b，c平行或异面，则错误；中c或c，则错误；中c，的位置关系可能平行、相交或者直线在平面内，则错误；由线面平行的性质、线面垂直的性质、面面垂直的判定定理可知正确，故正确命题是.答案4.(2018常州模拟)在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，既与A
15、B共面又与CC1共面的棱有_条.解析如图，有5条.其为BC，AA1，CD，C1D1，BB1.答案55.在四面体ABCD的棱AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，如果EF与HG交于点M，则下列命题正确的有_(填序号).M一定在直线AC上；M一定在直线BD上；M可能在AC上，也可能在BD上；M既不在AC上，也不在BD上.解析由于EFHGM，且EF平面ABC，HG平面ACD，所以点M为平面ABC与平面ACD的一个公共点，而这两个平面的交线为AC，所以点M一定在直线AC上，故正确.答案6.如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面为直角三角形.ACB90，AC6，BCCC1，P是BC1上一
16、动点，则CPPA1的最小值为_.解析连接A1B，将A1BC1与CBC1同时展开形成一个平面四边形A1BCC1，则此时对角线CPPA1A1C达到最小，在等腰直角三角形BCC1中，BC12，CC1B45，在A1BC1中，A1B2，A1C16，BC12，A1CBCA1B2，即A1C1B90.对于展开形成的四边形A1BCC1，在A1C1C中，C1C，A1C16，A1C1C135，由余弦定理有CPPA1A1C5.答案57.(2017全国卷)a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：当直线AB与a成60角时，AB与
17、b成30角；当直线AB与a成60角时，AB与b成60角；直线AB与a所成角的最小值为45；直线AB与a所成角的最小值为60；其中正确的是_(填写所有正确结论的编号)解析由题意，AB是以AC为轴，BC为底面半径的圆锥的母线，由ACa，ACb，又AC圆锥底面，在底面内可以过点B，作BDa，交底面圆C于点D，如图所示，连接DE，则DEBD，DEb，连接AD，设BC1，等腰ABD中 ，ABAD，当直线AB与a成60角时，ABD60，故BD，又在RtBDE中，BE2，DE，过点B作BFDE，交圆C于点F，连接AF，EF，由圆的对称性可知BFDE，ABF为等边三角形，ABF60，即AB与b成60角，正确，
18、错误，由最小角定理可知正确；很明显，可以满足平面ABC直线a，直线AB与a所成的最大角为90，错误，正确的说法为.答案8.(2015浙江卷)如图，三棱锥ABCD中，ABACBDCD3，ADBC2，点M，N分别是AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是_.解析如图所示，连接DN，取线段DN的中点K，连接MK，CK.M为AD的中点，MKAN，KMC为异面直线AN，CM所成的角.ABACBDCD3，ADBC2，N为BC的中点，由勾股定理求得ANDNCM2，MK.在RtCKN中，CK.在CKM中，由余弦定理得cosKMC.答案9.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O为正方形AB
19、CD的中心，H为直线B1D与平面ACD1的交点.求证：D1、H、O三点共线.证明连接BD，B1D1，如图.则BDACO，BB1綊DD1，四边形BB1D1D为平行四边形，又HB1D，B1D平面BB1D1D，则H平面BB1D1D，平面ACD1平面BB1D1DOD1，H平面ACD1，HOD1.即D1、H、O三点共线.10.如图所示，等腰直角三角形ABC中，A90，BC，DAAC，DAAB，若DA1，且E为DA的中点.求异面直线BE与CD所成角的余弦值.解如图所示，取AC的中点F，连接EF，BF，在ACD中，E，F分别是AD，AC的中点，EFCD.BEF或其补角即为异面直线BE与CD所成的角.在RtE
20、AB中，ABAC1，AEAD，BE.在RtEAF中，AFAC，AE，EF.在RtBAF中，AB1，AF，BF.在等腰三角形EBF中，cosFEB.异面直线BE与CD所成角的余弦值为.二、选做题11.(2018泰州质检)如图，矩形ABCD中，AB2AD，E为边AB的中点，将ADE沿直线DE翻折成A1DE.若M为线段A1C的中点，则在ADE翻折过程中，下面四个命题中不正确的是_(填序号).BM是定值；点M在某个球面上运动；存在某个位置，使DEA1C；存在某个位置，使MB平面A1DE.解析取DC中点F，连接MF，BF，MFA1D且MFA1D，FBED且FBED，所以MFBA1DE.由余弦定理可得MB
21、2MF2FB22MFFBcosMFB是定值，所以M是在以B为球心，MB为半径的球上，可得正确；由MFA1D与FBED，可得平面MBF平面A1DE，此时MB平面A1DE可得，正确；A1C在平面ABCD中的投影与AC重合，AC与DE不垂直，可得不正确.答案12.已知正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，ACBDP，A1C1EFQ.求证：(1)D、B、F、E四点共面；(2)若A1C交平面DBFE于R点，则P，Q，R三点共线.证明(1)如图所示，因为EF是D1B1C1的中位线，所以EFB1D1.在正方体ABCDA1B1C1D1中，B1D1BD，所以EFBD.所以EF，BD确定一个平面.即D、B、F、E四点共面.(2)在正方体ABCDA1B1C1D1中，设平面A1ACC1确定的平面为，又设平面BDEF为.因为QA1C1，所以Q.又QEF，EF，所以Q.则Q是与的公共点，同理，P点也是与的公共点.所以PQ.又A1CR，所以RA1C，则R且R.则RPQ，故P，Q，R三点共线.
