1、第1节任意角、弧度制及任意角的三角函数最新考纲1.了解任意角的概念和弧度制的概念；2.能进行弧度与角度的互化；3.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.知 识 梳 理1.角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.(2)分类(3)终边相同的角：所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合S|k360，kZ.2.弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.(2)公式角的弧度数公式|(弧长用l表示)角度与弧度的换算1 rad；1 rad弧长公式弧长l|r扇形面积公式Slr|r23.
2、任意角的三角函数三角函数正弦余弦正切定义设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么y叫做的正弦，记作sin x叫做的余弦，记作cos 叫做的正切，记作tan 各象限符号三角函数线有向线段MP为正弦线有向线段OM为余弦线有向线段AT为正切线常用结论与微点提醒1.三角函数值在各象限的符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦.2.若，则tan sin .3.角度制与弧度制可利用180 rad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用.诊 断 自 测1.思考辨析(在括号内打“”或“”)(1)小于90的角是锐角.()(2)锐角是第一象限角，反之亦然.()(3)将表的分针拨快
3、5分钟，则分针转过的角度是30.()(4)相等的角终边一定相同，终边相同的角也一定相等.()解析(1)锐角的取值范围是.(2)第一象限角不一定是锐角.(3)顺时针旋转得到的角是负角.(4)终边相同的角不一定相等.答案(1)(2)(3)(4)2.角870的终边所在的象限是()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限解析由8703360210，知870角和210角终边相同，在第三象限.答案C3.集合中的角所表示的范围(阴影部分)是()解析当k2n(nZ)时，2n2n(nN)，此时表示的范围与表示的范围一样；当k2n1(nZ)时，2n2n(nN)，此时表示的范围与表示的范围一样.答案C4
4、.(必修4P15T2改编)已知角的终边过点P(12，5)，则cos _.解析角的终边过点P(12，5)，x12，y5，r13，cos .答案5.已知在半径为120 mm的圆上，有一段弧长是144 mm，则该弧所对的圆心角的弧度数为_rad.解析由题意知1.2 rad.答案1.2考点一角的概念及其集合表示0【例1】 (1)若角是第二象限角，则是()A.第一象限角 B.第二象限角C.第一或第三象限角 D.第二或第四象限角(2)终边在直线yx上，且在2，2)内的角的集合为_.解析(1)是第二象限角，2k2k，kZ，kk，kZ.当k为偶数时，是第一象限角；当k为奇数时，是第三象限角.(2)如图，在坐标
5、系中画出直线yx，可以发现它与x轴的夹角是，在0，2)内，终边在直线yx上的角有两个：，；在2，0)内满足条件的角有两个：，故满足条件的角构成的集合为.答案(1)C(2)规律方法1.利用终边相同的角的集合求适合某些条件的角：先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需的角.2.确定k，(kN*)的终边位置的方法先用终边相同角的形式表示出角的范围，再写出k或的范围，然后根据k的可能取值讨论确定k或的终边所在位置.【训练1】 (1)(一题多解)设集合M，N，那么()A.MN B.MNC.NM D.MN(2)已知角的终边在如图所示阴影表示的范围内(不包括边界)，则角
6、用集合可表示为_.解析(1)法一由于M，45，45，135，225，N，45，0，45，90，135，180，225，显然有MN，故选B.法二由于M中，x18045k9045(2k1)45，2k1是奇数；而N中，x18045k4545(k1)45，k1是整数，因此必有MN，故选B.(2)在0，2)内，终边落在阴影部分角的集合为，所以，所求角的集合为(kZ).答案(1)B(2)(kZ)考点二弧度制及其应用(典例迁移)【例2】 (经典母题)已知一扇形的圆心角为，半径为R，弧长为l.若，R10 cm，求扇形的面积.解由已知得，R10，S扇形R2102(cm2).【迁移探究1】 若例题条件不变，求扇形
7、的弧长及该弧所在弓形的面积.解lR10(cm)，S弓形S扇形S三角形lRR2sin 10102(cm2).【迁移探究2】 若例题条件改为：“若扇形周长为20 cm”，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大？解由已知得，l2R20.所以SlR(202R)R10RR2(R5)225，所以当R5 cm时，S取得最大值25 cm2，此时l10 cm，2 rad.规律方法应用弧度制解决问题的方法：(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度；(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决；(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆
8、心角所在的三角形.【训练2】 (2017成都诊断)若圆弧长度等于该圆内接正方形的边长，则其圆心角的弧度数是_.解析设圆半径为r，则圆内接正方形的对角线长为2r，正方形边长为r，其圆心角的弧度数是.答案考点三三角函数的概念【例3】 (1)(2018青岛模拟)已知角的终边与单位圆的交点P，则sin tan ()A. B. C. D.(2)若角同时满足sin 0且tan 0，则角的终边一定落在()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限(3)满足cos 的角的集合为_.解析(1)由|OP|2y21，得y2，y.当y时，sin ，tan ，此时，sin tan .当y时，sin ，tan
9、，此时，sin tan .(2)由sin 0知的终边在第三、四象限或y轴负半轴上，由tan 0知的终边在第二、四象限，故选D.(3)作直线x交单位圆于C，D两点，连接OC，OD，则OC与OD围成的区域(图中阴影部分)即为角终边的范围，故满足条件的角的集合为.答案(1)C(2)D(3)规律方法1.利用三角函数的定义，求一个角的三角函数值，需确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x，纵坐标y，该点到原点的距离r.2.根据三角函数定义中x，y的符号来确定各象限内三角函数的符号，理解并记忆：“一全正、二正弦、三正切、四余弦”.3.利用三角函数线解三角不等式时要注意边界角的取舍，结合三角函数
10、的周期性正确写出角的范围.【训练3】 (2018江西百校联考)已知角的终边经过点(，)，若，则m的值为()A.27 B. C.9 D.解析tan m，m13327，m，故选B.答案B基础巩固题组(建议用时：25分钟)一、选择题1.给出下列四个命题：是第二象限角；是第三象限角；400是第四象限角；315是第一象限角.其中正确的命题有()A.1个 B.2个C.3个 D.4个解析是第三象限角，故错误.，从而是第三象限角，正确.40036040，从而正确.31536045，从而正确.答案C2.下列与的终边相同的角的表达式中正确的是()A.2k45(kZ) B.k360(kZ)C.k360315(kZ)
11、 D.k(kZ)解析与的终边相同的角可以写成2k(kZ)，但是角度制与弧度制不能混用，所以只有答案C正确.答案C3.已知点P(tan ，cos )在第三象限，则角的终边在第_象限()A.一 B.二 C.三 D.四解析由题意知tan 0，cos 0，是第二象限角.答案B4.(2018石家庄调研)已知角的终边经过点P(4，m)，且sin ，则m等于()A.3 B.3 C. D.3解析sin ，解得m3.答案B5.点P从(1，0)出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达Q点，则Q点的坐标为()A. B.C. D.解析点P旋转的弧度数也为，由三角函数定义可知Q点的坐标(x，y)满足xcos ，ysin .
12、答案A6.设是第三象限角，且cos ，则是()A.第一象限角 B.第二象限角C.第三象限角 D.第四象限角解析由是第三象限角，知为第二或第四象限角，cos ，cos 0，综上知为第二象限角.答案B7.若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为()A. B. C. D.2解析设圆半径为r，则其内接正三角形的边长为r，所以rr，.答案C8.(2018西安模拟)已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y2x上，则cos 2()A. B. C. D.解析由题意知，tan 2，即sin 2cos ，将其代入sin2cos21中可得cos2，故cos 22cos21
13、.答案B二、填空题9.(必修4P10A6改编)一条弦的长度等于半径，这条弦所对的圆心角大小为_弧度.解析弦与两条半径构成等边三角形，圆心角为.答案10.设P是角终边上一点，且|OP|1，若点P关于原点的对称点为Q，则Q点的坐标是_.解析由已知P(cos ，sin )，则Q(cos ，sin ).答案(cos ，sin )11.已知扇形的圆心角为，面积为，则扇形的弧长等于_.解析设扇形半径为r，弧长为l，则解得答案12.已知角的终边经过点(3a9，a2)，且cos 0，sin 0，则实数a的取值范围是_.解析cos 0，sin 0，角的终边落在第二象限或y轴的正半轴上.2a3.答案(2，3能力提
14、升题组(建议用时：10分钟)13.已知角的终边上一点P的坐标为，则角的最小正值为()A. B.C. D.解析由题意知点P在第四象限，根据三角函数的定义得cos sin ，故2k(kZ)，所以的最小正值为.答案D14.给出下列命题：第二象限角大于第一象限角；三角形的内角是第一象限角或第二象限角；不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关；若sin sin ，则与的终边相同；若cos 0，则是第二或第三象限的角.其中正确命题的个数是()A.1 B.2 C.3 D.4解析举反例：第一象限角370不小于第二象限角100，故错；当三角形的内角为90时，其既不是第一象限角，也不是第二象限角，故错；正确；由于sinsin，但与的终边不相同，故错；当cos 1，时既不是第二象限角，也不是第三象限角，故错.综上可知只有正确.答案A15.(2018许昌调研)设是第二象限角，P(x，4)为其终边上的一点，且cos x，则tan _.解析因为是第二象限角，所以cos x0，即x0.又cos x，解得x3，所以tan .答案16.函数y的定义域为_.解析2sin x10，sin x.由三角函数线画出x满足条件的终边范围(如图阴影所示).x(kZ).答案(kZ)
