1、第23讲函数yAsin(x)的图象及应用考试要求1.函数yAsin(x)的物理意义，图象的画法，参数A，对函数图象变化的影响(A级要求)；2.利用三角函数解决一些简单实际问题(A级要求).诊 断 自 测1.思考辨析(在括号内打“”或“”)(1)将函数y3sin 2x的图象左移个单位长度后所得图象的解析式是y3sin.()(2)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的长度一致.()(3)函数yAcos(x)的最小正周期为T，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为.()(4)由图象求解析式时，振幅A的大小是由一个周期内图象中最高点的值与最低点的值确定的.()解析(1)将
2、函数y3sin 2x的图象向左平移个单位长度后所得图象的解析式是y3cos 2x.(2)“先平移，后伸缩”的平移单位长度为|，而“先伸缩，后平移”的平移单位长度为.故当1时平移的长度不相等.答案(1)(2)(3)(4)2.(必修4P40练习5改编)y2sin的振幅、频率和初相分别为_.解析根据yAsin(x)(A0，0)的振幅、频率、初相定义知，振幅A2，频率f，初相.答案2，3.(2017江苏押题卷)已知角的终边经过点P(1，1)，函数f(x)sin(x)(0，0)图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，则f的值为_.解析由题设可得tan 1，0，所以，又，则T3，所以f(x)sin，则fsin
3、sin .答案4.(2017南京、盐城模拟)将函数y3sin的图象向右平移个单位后，所得函数为偶函数，则_.解析由题意得y3sin为偶函数，所以2k(kZ)，又00，0)的简图“五点法”作图的五点是在一个周期内的最高点、最低点及与x轴相交的三个点，作图时的一般步骤为：(1)定点：如下表所示.xx02yAsin(x)0A0A0(2)作图：在坐标系中描出这五个关键点，用平滑的曲线顺次连接得到yAsin(x)在一个周期内的图象.(3)扩展：将所得图象，按周期向两侧扩展可得yAsin(x)在R上的图象.2.函数yAsin(x)中各量的物理意义当函数yAsin(x)(A0，0)，x0，)表示简谐振动时，
4、几个相关的概念如下表：简谐振动振幅周期频率相位初相yAsin(x)(A0，0)，x0，)ATfx3.函数ysin x的图象经变换得到yAsin(x)的图象的两种途径考点一“五点法”与“变换法”作图【例1】 (必修4P37例1改编)设函数f(x)sin xcos x(0)的周期为.(1)求它的振幅、初相；(2)用“五点法”作出它在长度为一个周期的闭区间上的图象；(3)(一题多解)说明函数f(x)的图象可由ysin x的图象经过怎样的变换而得到.解(1)f(x)sin xcos x22sin.T，即2.f(x)2sin.函数f(x)sin xcos x的振幅为2，初相为.(2)令X2x，则y2si
5、n2sin X.列表，并描点画出图象：XX02ysin X01010y2sin02020(3)法一把ysin x的图象上所有的点向左平移个单位，得到ysin的图象；再把ysin的图象上的点的横坐标变为原来的(纵坐标不变)，得到ysin的图象；最后把ysin上所有点的纵坐标变为原来的2倍(横坐标不变)，即可得到y2sin的图象.法二将ysin x的图象上每一点的横坐标x变为原来的，纵坐标不变，得到ysin 2x的图象；再将ysin 2x的图象向左平移个单位，得到ysin 2sin的图象；再将ysin的图象上每一点的横坐标保持不变 ，纵坐标变为原来的2倍，得到y2sin的图象.规律方法作函数yAs
6、in(x)(A0，0)的图象常用如下两种方法：(1)五点法作图，用“五点法”作yAsin(x)的简图，主要是通过变量代换，设zx，由z取0，2来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象；(2)图象的变换法，由函数ysin x的图象通过变换得到yAsin(x)的图象有两种途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.【训练1】 已知f(x)cos(x)的最小正周期为，且f.(1)求和的值；(2)在给定坐标系中作出函数f(x)在0，上的图象；(3)若f(x)，求x的取值范围.解(1)周期T，2，fcoscossin ，又0，.(2)f(x)cos，列表如下：2x0x0f(x)1010图
7、象如图：(3)cos，2k2x2k(kZ)，2k2x2k(kZ)，kx0，0，0)的部分图象如图所示.(1)求A，的值；(2)设为锐角，且f()，求f的值.解(1)由图象，得A，T，则T，2，f(x)sin(2x)，由f，得sin，结合0，得.(2)由(1)得f(x)sin，f()sin，sin，2，又sin0，2，cos，fsin 2sin.规律方法已知f(x)Asin(x)(A0，0)的部分图象求其解析式时，A比较容易看图得出，困难的是求待定系数和，常用如下两种方法：(1)五点法，由即可求出；确定时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x0，则令x00(或x0)，即可
8、求出；(2)代入法，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出和，若对A，的符号或对的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.【训练2】 (1)(2016全国卷改编)函数f(x)Asin(x)的部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式为_.(2)如图，某地一天，从614时的温度变化曲线近似满足函数yAsin(x)b(A0，0，0)，则这段曲线的函数解析式为_.解析(1)由题图可知，T2，所以2，由五点作图法可知2，所以，所以函数的解析式为f(x)2sin.(2)从图中可以看出，从614时是函数yAsin(x)b的半个周期，又146，所以.由图可得A(3010)
9、10，b(3010)20.又102，解得，y10sin20，x6，14.答案(1)f(x)2sin(2)y10sin20，x6，14考点三三角函数图象与性质的综合问题(典例迁移)【例3】 (经典母题)(2017山东卷)设函数f(x)sinsin，其中03.已知f0.(1)求；(2)将函数yf(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移个单位，得到函数yg(x)的图象，求g(x)在上的最小值.解(1)因为f(x)sinsin，所以f(x)sin xcos xcos xsin xcos xsin.由题设知f0，所以k，kZ.故6k2，kZ，又03，所以2.(2)
10、由(1)得f(x)sin，所以g(x)sinsin.因为x，所以x，当x，即x时，g(x)取得最小值.【迁移探究1】 (2016山东卷)设f(x)2sin(x)sin x(sin xcos x)2.(1)求f(x)的单调递增区间；(2)把yf(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的图象向左平移个单位，得到函数yg(x)的图象，求g的值.解(1)由f(x)2sin(x)sin x(sin xcos x)22sin2x(12sin xcos x)(1cos 2x)sin 2x1sin 2xcos 2x12sin1.由2k2x2k(kZ)，得kxk(kZ).所以f(x)
11、的单调递增区间是(kZ).(2)由(1)知f(x)2sin1，把yf(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变).得到y2sin1的图象.再把得到的图象向左平移个单位，得到y2sin x1的图象，即g(x)2sin x1.所以g2sin 1.【迁移探究2】 已知函数f(x)2sin(00)为偶函数，且函数yf(x)图象的两相邻对称轴间的距离为.(1)求f 的值；(2)将函数yf(x)的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标变为原来的4倍(纵坐标不变)，得到函数yg(x)的图象，求g(x)的解析式，并写出g(x)的单调递减区间.解(1)f(x)为偶函数，k，kZ，解得k
12、，kZ.00，0)的图象变换：由ysin x的图象变换得到yAsin(x)(A0，0)的图象有两种方法.法一：(先平移后伸缩)ysin x的图象ysin(x)的图象ysin(x)的图象yAsin(x)的图象.法二：(先伸缩后平移)ysin x的图象ysin x的图象ysin(x)的图象yAsin(x)的图象.(2)研究三角函数的单调性，首先将函数化为yAsin(x)h(或yAcos(x)h)的形式，要视“x”为一个整体，另外注意A的正负.(3)三角函数最值问题的解题思路：()用三角方法求三角函数的最值常见的函数形式 yasin xbcos xsin(x)，其中cos ，sin .yasin2x
13、bsin xcos xccos2x可先降次，整理转化为上一种形式.y(或y)可转化为只有分母含sin x或cos x的函数式或sin xf(y)cos xf(y)的形式，由正、余弦函数的有界性求解.()用代数方法求三角函数的最值常见的函数形式yasin2xbcos xc可转化为cos x的二次函数式.yasin x(a，b，c0)，令sin xt，则转化为求yat(1t1)的最值，一般可用基本不等式或单调性求解.【训练3】 (2018苏、锡、常、镇四市调研)已知函数f(x)sin(x)的图象关于直线x对称，且图象上相邻最高点的距离为.(1)求f 的值；(2)将函数yf(x)的图象向右平移个单位
14、后，得到yg(x)的图象，求g(x)的单调递减区间.解(1)因为f(x)的图象上相邻最高点的距离为，所以f(x)的最小正周期T，从而2.又f(x)的图象关于直线x对称，所以2k(kZ)，因为，所以k0，所以，所以f(x)sin，则f sinsin .(2)将f(x)的图象向右平移个单位后，得到f 的图象，所以g(x)f sinsin.当2k2x2k(kZ)，即kxk(kZ)时，g(x)单调递减.因此g(x)的单调递减区间为(kZ).一、必做题1.(2016全国卷改编)若将函数y2sin的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为_.解析函数y2sin的周期为，将函数y2sin的图象向右平移个周
15、期即个单位，所得函数为y2sin2sin.答案y2sin2.(2018镇江模拟)将函数y5sin(2x)的图象向左平移(0)个单位后，所得函数图象关于y轴对称，则_.解析由题意得y5sin函数图象关于y轴对称，所以2k(kZ)，又0，所以.答案3.(2018南京、盐城模拟)已知函数f(x)2sin(x)的最小正周期为，且它的图象过点，则的值为_.解析由题意可得T，解得2，则f(x)2sin(2x).又f2sin，2k或2k，kZ，解得.答案4.(2017江苏大联考)已知f(x)sin 2xcos 2x的图象向右平移(0)个单位后，所得函数为偶函数，则_.解析由题意得y2sin为偶函数，所以2k
16、(kZ)，又00，0，(0，)图象的一部分，则f(0)的值为_.解析由函数图象得A3，23(1)8，解得，所以f(x)3sin，又因为(3，0)为函数f(x)3sin的一个下降零点，所以3(2k1)(kZ)，解得2k(kZ)，又因为(0，)，所以，所以f(x)3sin，则f(0)3sin.答案6.(2018南京师大附中、淮阴中学、海门中学、天一中学四校联考)将函数ysin(2x)(0)的图象沿x轴向左平移个单位后，得到函数yf(x)的图象，若函数f(x)的图象过原点，则_.解析将函数ysin(2x)(0)的图象沿x轴向左平移个单位后，得到函数f(x)sinsin的图象，若函数f(x)的图象过原
17、点，则f(0)sin0，k，kZ，k，kZ，又0，则.答案7.(2017江苏大联考)将函数f(x)sin(2x)的图象向右平移(0)个单位长度后得到函数g(x)的图象，若f(x)，g(x)的图象都经过点P，则的值为_.解析由题意得sin ，因为，所以，因为g(x)sin，所以sin，又因为00时，x，由题意知，即；当0，0，0，所以T2，得1.所以f(x)2sin(x)，将点代入，得2k(kZ)，即2k(kZ)，又0，2.(2)由(1)知y2cos.A，Q(x0，y0)是PA中点，y0，P.又点P在y2cos的图象上，2cos，cos.x0，4x0，4x02或4x02，x0或.二、选做题11.
18、(2018苏北四市调研)如图，已知A，B分别是函数f(x)sin x(0)在y轴右侧图象上的第一个最高点和第一个最低点，且AOB，则该函数的周期是_.解析设函数的周期为T，由图象可得A，B，则30，解得T4.答案412.(2018南京模拟)设函数f(x)sin，给出下列结论：f(x)的图象关于直线x对称；f(x)的图象关于点对称；f(x)的最小正周期为，且在上为增函数；把f(x)的图象向右平移个单位，得到一个偶函数的图象.其中正确的是_(填序号).解析对于函数f(x)sin，当x时，f sin ，故错；当x时，f sin 1，故不是函数的对称中心，故错；函数的最小正周期为T，当x时，2x，此时函数为增函数，故正确；把f(x)的图象向右平移个单位，得到g(x)sinsin 2x，函数是奇函数，故错.答案