1、第13讲函数模型及其应用考试要求1.指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征(A级要求)；2.函数模型(指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等)的广泛应用(B级要求).诊 断 自 测1.思考辨析(在括号内打“”或“”)(1)函数y2x的函数值比yx2的函数值大.()(2)“指数爆炸”是指数型函数yabxc(a0，b0，b1)增长速度越来越快的形象比喻.()(3)幂函数增长比直线增长更快.()(4)f(x)x2，g(x)2x，h(x)log2x，当x(4，)时，恒有h(x)f(x)g(x).()解析(1)当x1时，y2x，yx21，故(1)错.(2)“指数爆炸”是针对b1，a0的指数函数，故(2)
2、错.(3)yx在(1，)上比yx的增长速度慢，错误.答案(1)(2)(3)(4)2.(教材改编)某汽车油箱中存油22千克，油从管道中匀速流出，200分钟流尽，油箱中剩油量y(千克)与流出时间x(分钟)之间的函数关系式为_.解析流速为，x分钟可流x，则y22x(0x200).答案y22x(0x200)3.(教材改编)某商人将彩电先按原价提高40%，然后“八折优惠”，结果是每台彩电比原价多赚270元，那么每台彩电原价是_元.解析设每台原价是a元，则a(140%)80%a270，解得a2 250.答案2 2504.(2017南京、盐城模拟)用长度为24的材料围一矩形场地，并用该材料在中间加两道隔墙，
3、要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为_.解析设隔墙的长为x(0x6)，矩形面积为y，则yx2x(6x)2(x3)218，当x3时，面积y最大.答案35.(必修1P100练习3改编)某商品在近30天内每件的销售价格P(单位：元)与销售时间t(单位：天)的函数关系为PtN，且该商品的日销售量Q(单位：件)与销售时间t(单位：天)的函数关系为Qt40(0t30，tN)，则这种商品日销量金额最大的一天是30天中的第_天.解析这种商品日销量金额yPQ当0t25时，y(t10)2900，当t10时，ymax900，当25t30时，y(t70)2900，当t25时，ymax1 125.综上，30天中日销量金额
4、最大的一天是第25天.答案25知 识 梳 理几类函数模型及其增长差异(1)几类函数模型函数模型函数解析式一次函数型f(x)axb(a，b为常数，a0)反比例函数型f(x)b(k，b为常数且k0)二次函数模型f(x)ax2bxc(a，b，c为常数，a0)指数函数型f(x)baxc(a，b，c为常数，b0，a0且a1)对数函数型f(x)blogaxc(a，b，c为常数，b0，a0且a1)幂函数型f(x)axnb(a，b为常数，a0)(2)指数、对数、幂函数模型性质比较 函数性质 yax(a1)ylogax(a1)yxn(n0)在(0，)上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对
5、平稳图象的变化随x的增大逐渐表现为与y轴平行随x的增大逐渐表现为与x轴平行随n值变化而各有不同值的比较存在一个x0，当xx0时，有logaxxnax考点一用函数图象刻画变化过程【例1】 某民营企业生产A、B两种产品，根据市场调查和预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图所示；B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图所示(单位：万元).分别将A、B两种产品的利润表示为投资的函数关系式.解设投资为x万元，A产品的利润为f(x)万元，B产品的利润为g(x)万元.由题意设f(x)k1x(x0)，g(x)k2(x0).由图知f(1)，k1.由图知g(4)，k2.f(x)x(x0)，g(x) (
6、x0).规律方法判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象.(2)验证法：当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案.【训练1】 为了发展电信事业，方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式.其中所使用的“便民卡”与“如意卡”在某市范围内每月(30天)的通话时间x(min)与通话费y(元)的关系如图所示.(1)分别求出通话费y1、y2与通话时间x之间的函数关系式；(2)请帮助用户计算出一个月内使
7、用哪种卡便宜.解(1)设y1k1x29，y2k2x，把点B(300，35)，C(300，15)分别代入得k1，k2.y1x29，y2x.(2)令y1y2，即x29x，得x966.当x966时，两种卡收费一致；当xy2，即“如意卡”便宜；当x966时，y10)时，销售量q(x)(单位：百台)与x的关系满足：若x不超过20，则q(x)；若x大于或等于180，则销售量为零；当20x180时，q(x)ab(a，b为实常数).(1)求函数q(x)的表达式；(2)当x为多少时，总利润(单位：元)取得最大值，并求出该最大值.解(1)当20x180时，由得故q(x)(2)设总利润f(x)xq(x)，由(1)得
8、f(x)当0x20时，f(x)126 000，又f(x)在(0，20上单调递增，所以当x20时，f(x)有最大值120 000.当20x180时，f(x)9 000x300x，f(x)9 000450，令f(x)0，得x80.当20x0，f(x)单调递增，当80x180时，f(x)0，f(x)单调递减，所以当x80时，f(x)有最大值240 000.当x180时，f(x)0.综上，当x80元时，总利润取得最大值240 000元.考点三构造函数模型的实际问题(多维探究)命题角度1构造二次(三次)函数模型【例31】 (2016江苏卷)现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥P
9、A1B1C1D1，下部分的形状是正四棱柱ABCDA1B1C1D1(如图所示)，并要求正四棱柱的高OO1是正四棱锥的高PO1的4倍.(1)若AB6 m，PO12 m，则仓库的容积是多少？(2)若正四棱锥的侧棱长为6 m，则当PO1为多少时，仓库的容积最大？解(1)V6226224312(m3).(2)设PO1x，则O1B1，B1C1，SA1B1C1D12(62x2)，又由题意可得下面正四棱柱的高为4x.则仓库容积Vx2(62x2)2(62x2)4xx(36x2).V26(12x2)，由V0得x2或x2(舍去).由实际意义知V在x2(m)时取到最大值，答：当PO12 m时，仓库容积最大.命题角度2
10、构造指数函数、对数函数模型【例32】 光线通过一块玻璃，强度要损失10%.设光线原来的强度为k，通过x块这样的玻璃以后强度为y.(1)写出y关于x的函数解析式；(2)至少通过多少块这样的玻璃，光线强度能减弱到原来的以下？(参考数据：lg 20.301 0，lg 30.477 1)解(1)光线通过1块玻璃后，强度y(110%)k0.9k；光线通过2块玻璃后，强度y(110%)0.9k0.92k；光线通过3块玻璃后，强度y(110%)0.92k0.93k；光线通过x块玻璃后，强度y0.9xk.故y关于x的函数解析式为y0.9xk(xN*).(2)由题意，得0.9xk，即0.9x，两边取对数，得xl
11、g 0.9lg .因为lg 0.9.又13.14，且xN*，所以xmin14.答：至少通过14块这样的玻璃，光线强度能减弱到原来的以下.命题角度3构造分段函数模型【例33】 (2018盐城质检)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/小时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数.当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0 千米/小时；当车流密度不超过20 辆/千米时，车流速度为60 千米/小时，研究表明：当20x200时，车流速度v是车流密度x的一次函数.(1)当0x200时，求函数v(x)的表达式；(2)当车流密度
12、x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f(x)xv(x)可以达到最大，并求出最大值.(精确到1辆/小时)解(1)由题意可知当0x20时，v(x)60；当20x200时，设v(x)axb，显然v(x)axb在20，200上是减函数，由已知得解得故函数v(x)的表达式为v(x)(2)依题意并由(1)可得f(x)当0x20时，f(x)为增函数，故当x20时，其最大值为60201 200；当20x200时，f(x)x(200x)，当且仅当x200x，即x100时，等号成立，所以，当x100时，f(x)在区间20，200上取得最大值.综上，当x100时，f(x)在区间0
13、，200上取得最大值3 333.答：当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约3 333辆/小时.规律方法解函数应用题的一般程序：第一步：(审题)弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；第二步：(建模)将文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型；第三步：(解模)求解数字模型，得到数学结论；第四步：(还原)将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义；第五步：(反思)对于数学模型得到的数学结果，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性.【训练3】 (2018南京调研)某市对城市路网进行改造，拟在原有a个标段(注：一个标段是指一定长度的机动车道)的基础上，新建x个标段和n个
14、道路交叉口，其中n与x满足nax5.已知新建一个标段的造价为m万元，新建一个道路交叉口的造价是新建一个标段的造价的k倍.(1)写出新建道路交叉口的总造价y(万元)与x的函数关系式；(2)(一题多解)设P是新建标段的总造价与新建道路交叉口的总造价之比.若新建的标段数是原有标段数的20%，且k3.问：P能否大于，说明理由.解(1)依题意得ymknmk(ax5)，xN*.(2)法一依题意x0.2a，所以P，则ka220a25k0.因为k3，所以100(4k2)0，不等式ka220a25k0无解，假设不成立.P不可能大于.一、必做题1.给出下列函数模型：一次函数模型；幂函数模型；指数函数模型；对数函数
15、模型.下表是函数值y随自变量x变化的一组数据，它最可能的函数模型是_(填序号).x45678910y15171921232527解析根据已知数据可知，自变量每增加1函数值增加2，因此函数值的增量是均匀的，故为一次函数模型.答案2.某工厂6年来生产某种产品的情况是：前3年年产量的增长速度越来越快，后3年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系图象正确的是_(填序号).解析前3年年产量的增长速度越来越快，说明呈高速增长，前三年的斜率在逐渐增大，图象呈现下凹的情形，只有，图象符合要求，而后3年年产量保持不变，总产量增加，故正确，错误.答案3.(2018盐城月考)某单位为
16、鼓励职工节约用水，作出了以下规定：每位职工每月用水不超过10 m3的，按每立方米m元收费；用水超过10 m3的，超过部分加倍收费.某职工某月缴水费16m元，则该职工这个月实际用水为_m3.解析设该职工用水x m3时，缴纳的水费为y元，由题意得y则10m(x10)2m16m，解得x13.答案134.(2018南通模拟)某汽车销售公司在A，B两地销售同一种品牌的汽车，在A地的销售利润(单位：万元)为y14.1x0.1x2，在B地的销售利润(单位：万元)为y22x，其中x为销售量(单位：辆)，若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是_万元.解析设公司在A地销售该品牌的汽车x辆，
17、则在B地销售该品牌的汽车(16x)辆，所以可得利润y4.1x0.1x22(16x)0.1x22.1x320.10.132.因为x0，16且xN，所以当x10或11时，总利润取得最大值43万元.答案435.(2017长春模拟)一个容器装有细沙a cm3，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min 后剩余的细沙量为 yaebt(cm3)，经过 8 min后发现容器内还有一半的沙子，则再经过_min，容器中的沙子只有开始时的八分之一.解析当t0时，ya，当t8时，yae8ba，e8b，容器中的沙子只有开始时的八分之一时，即yaebta，ebt(e8b)3e24b，则t24，所以再经过16
18、 min.答案166.A，B两只船分别从在东西方向上相距145 km的甲乙两地开出.A从甲地自东向西行驶.B从乙地自北向南行驶，A的速度是40 kmh，B的速度是 16 kmh，经过_h，AB间的距离最短.解析设经过x h，A，B相距为y km，则y(0x)，求得函数的最小值时x的值为.答案7.(2018苏州模拟)某种病毒经30分钟繁殖为原来2倍，且知病毒的繁殖规律为yekt(其中k为常数，t表示时间，单位：小时，y表示病毒个数)，则k_；经过5小时，1个病毒能繁殖为_个.解析当t0.5时，y2，2ek，k2ln 2，ye2tln 2，当t5时，ye10ln 22101 024.答案2ln 2
19、1 0248.(2018淮安模拟)在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x为_m.解析设内接矩形另一边长为y，则由相似三角形性质可得，解得y40x，所以面积Sx(40x)x240x(x20)2400(0x15，模拟函数2：y1423x也是单调递增函数，当x12时，y18时，每个售价为44元，所以y1与x之间的函数关系式为y1对乙茶具店而言：每个售价为8075%60元，所以y260x，xN.(2)设甲茶具店比乙茶具店多花费y元，则yy1y2即y当x10时，yy1y20，即y1y2；当1x0，即y1y2；当10x18时，yy1y22x(x10)0，即y1
20、18时，yy1y216x0，即y1y2.答：当购买的茶壶数为10个时，到甲、乙两家茶具店花费一样多；当购买的茶壶数小于10个时，到乙茶具店购买花费较少；当购买的茶壶数大于10个时，到甲茶具店购买花费较少.二、选做题11.(2016四川改编)某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是_年(参考数据：lg 1.120.05，lg 1.30.11，lg 20.30).解析设x年后该公司全年投入的研发资金为200万元，由题可知，130(112%)x200
21、，解得xlog1.123.80，因资金需超过200万，则x取4，即2 019年.答案2 01912.(2017苏北四市调研)如图，某森林公园有一直角梯形区域ABCD，其四条边均为道路，ADBC，ADC90，AB5 千米，BC8 千米，CD3 千米.现甲、乙两管理员同时从A地出发匀速前往D地，甲的路线是AD，速度为6千米/时，乙的路线是ABCD，速度为v千米/时.(1)若甲、乙两管理员到达D的时间相差不超过15分钟，求乙的速度v的取值范围；(2)已知对讲机有效通话的最大距离是5千米.若乙先到D，且乙从A到D的过程中始终能用对讲机与甲保持有效通话，求乙的速度v的取值范围.解(1)由题意得AD12 千米，解得v，故乙的速度v的取值范围是.(2)设经过t小时，甲、乙之间的距离的平方为f(t).由于乙先到达D地，故8.当0vt5，即00，所以当t时，f(t)取最大值 ，所以25，解得v.当5vt13，即8，所以0，所以当t时，f(t)取最大值，所以(v6)2925，解得v.当13vt16，即t时，f(t)(126t)2(16vt)2，因为126t0，16vt0，所以f(t)在上单调递减，所以当t时，f(t)取最大值，25，解得v.因为v8，所以8v.所以v的取值范围是.