1、第3节充分条件、必要条件与命题的四种形式最新考纲1.了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系；2.理解充分条件、必要条件与充要条件的含义.知 识 梳 理1.充分条件、必要条件与充要条件的概念若pq，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件pq且qpp是q的必要不充分条件pq且qpp是q的充要条件pqp是q的既不充分也不必要条件pq且qp2.四种命题及其相互关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性.两个命题为互逆命题或互否命题时，它们的真假性没有关系.常用结论与微点提醒1.否命题与
2、命题的否定：否命题是既否定条件，又否定结论，而命题的否定是只否定命题的结论.2.区别A是B的充分不必要条件(AB且BA)，与A的充分不必要条件是B(BA且AB)两者的不同.3.A是B的充分不必要条件綈B是綈A的充分不必要条件.4.充要关系与集合的子集之间的关系，设Ax|p(x)，Bx|q(x)，(1)若AB，则p是q的充分条件，q是p的必要条件.(2)若AB，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件.(3)若AB，则p是q的充要条件.诊 断 自 测1.思考辨析(在括号内打“”或“”)(1)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则綈q”.()(2)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件.(
3、)(3)“若p不成立，则q不成立”等价于“若q成立，则p成立”.()解析 (1)错误.否命题既否定条件，又否定结论.答案 (1)(2)(3)2.(教材练习引申)命题“若，则tan 1”的逆否命题是()A.若，则tan 1 B.若，则tan 1C.若tan 1，则 D.若tan 1，则解析命题“若p，则q”的逆否命题是“若綈q，则綈p”，显然綈q：tan 1，綈p：，所以该命题的逆否命题是“若tan 1，则”.答案C3.(2017天津卷)设xR，则“2x0”是“|x1|1”的()A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解析由2x0，得x2，由|x1|1，得
4、0x2.当x2时不一定有x0，而当0x2时一定有x2，“2x0”是“|x1|1”的必要而不充分条件.答案B4.(2017北京卷)能够说明“设a，b，c是任意实数.若abc，则abc”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为_.解析abc，取a2，b4，c5，则ab60，则函数f(x)logax(a0，a1)在其定义域内是减函数”是真命题；命题“若a0，则ab0”的否命题是“若a0，则ab0”；命题“若x，y都是偶数，则xy也是偶数”的逆命题为真命题；命题“若aM，则bM”与命题“若bM，则aM”等价.解析不正确.由log2a0，得a1，f(x)logax在其定义域内是增函数.正确.由命题的否命题
5、定义知，该说法正确.不正确，原命题的逆命题为：“若xy是偶数，则x，y都是偶数”，是假命题，如134为偶数，但1和3均为奇数.正确.两者互为逆否命题，因此两命题等价.答案规律方法1.写一个命题的其他三种命题时，需注意：(1)对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写；(2)若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提.2.(1)判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例.(2)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易时，可间接判断.【训练1】 (1)原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|z2|”，关于其逆命题
6、、否命题、逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是()A.真、假、真 B.假、假、真C.真、真、假 D.假、假、假(2)(2018广东广雅中学联考)给出下列命题：“x0R，xx010”的否定；“若x2x60，则x2”的否命题；命题“若x25x60，则x2”的逆否命题.其中真命题的个数是()A.0 B.1 C.2 D.3解析(1)由共轭复数的性质，|z1|z2|，原命题为真，因此其逆否命题为真；取z11，z2i，满足|z1|z2|，但是z1，z2不互为共轭复数，其逆命题为假，故其否命题也为假.(2)的否定是“xR，x2x10”是真命题，正确；的否命题是“若x2x60，则x2”，由x2x60，得3x
7、2，x2成立，正确；由x25x60，得x2或x3，原命题是假命题，因此可知逆否命题为假命题，错误.综上可知，真命题是，.答案(1)B(2)C考点二充分条件与必要条件的判定【例2】 (1)(2017北京卷)设m，n为非零向量，则“存在负数，使得mn”是“mn0，yR，则“xy”是“x|y|”的()A.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件解析(1)存在负数，使得mn，则mnnn|n|20，因而是充分条件，反之mny x|y|(如x1，y2).但x|y|时，能有x|y|y.“xy”是“x|y|”的必要不充分条件.答案(1)A(2)C规律方法充要条件的三种判断方法(
8、1)定义法：根据pq，qp进行判断.(2)集合法：根据使p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断.(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断.这个方法特别适合以否定形式给出的问题.【训练2】 (1)(2018济南质检)已知函数f(x)则“x0”是“f(x)1”的()A.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件(2)(2017浙江卷)已知等差数列an的公差为d，前n项和为Sn，则“d0”是“S4S62S5”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件解析(1)若x0，则f(
9、0)e01；若f(x)1，则ex1或ln(x)1，解得x0或xe.故“x0”是“f(x)1”的充分不必要条件.(2)由S4S62S5S6S5(S5S4)a6a5d，当d0时，则S4S62S50，即S4S62S5；反之，S4S62S5，可得d0.所以“d0”是“S4S62S5”的充要条件.答案(1)B(2)C考点三充分条件、必要条件的应用(典例迁移)【例3】 (经典母题)已知Px|x28x200，非空集合Sx|1mx1m.若xP是xS的必要条件，求m的取值范围.解由x28x200，得2x10，Px|2x10.xP是xS的必要条件，则SP.解得m3.又S为非空集合，1m1m，解得m0.综上，可知当
10、0m3时，xP是xS的必要条件.【迁移探究1】 本例条件不变，问是否存在实数m，使xP是xS的充要条件？并说明理由.解由例题知Px|2x10.若xP是xS的充要条件，则PS，这样的m不存在.【迁移探究2】 本例条件不变，若綈P是綈S的必要不充分条件，求实数m的取值范围.解由例题知Px|2x10.綈P是綈S的必要不充分条件，P是S的充分不必要条件，PS且SP.2，101m，1m.或m9，则m的取值范围是9，).规律方法充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意：(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组
11、)求解.(2)要注意区间端点值的检验.尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象.【训练3】 (2018长郡中学联考)若x2m23是1x2m23”是“1xb，则acbc”的否命题是()A.若ab，则acbc B.若acbc，则abC.若acbc，则ab D.若ab，则acbc解析将条件、结论都否定.命题的否命题是“若ab，则acbc”.答案A2.函数f(x)在xx0处导数存在.若p：f(x0)0；q：xx0是f(x)的极值点，则()A.p是q的充分必要条件B.p是q的充分条件，但不是q的必要条件C.p是q的必要条件，
12、但不是q的充分条件D.p既不是q的充分要件，也不是q的必要条件解析由极值的定义，qp，但pq.例如f(x)x3，在x0处f(0)0，f(x)x3是增函数，x0不是函数f(x)x3的极值点.因此p是q的必要不充分条件.答案C3.(2016山东卷)已知直线a，b分别在两个不同的平面 ，内，则“直线a和直线b相交”是“平面和平面相交”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解析由题意知a，b，若a，b相交，则a，b有公共点，从而，有公共点，可得出，相交；反之，若，相交，则a，b的位置关系可能为平行、相交或异面.因此“直线a和直线b相交”是“平面和平面相交”的
13、充分不必要条件.答案A4.下列结论错误的是()A.命题“若x23x40，则x4”的逆否命题为“若x4，则x23x40”B.“x4”是“x23x40”的充分条件C.命题“若m0，则方程x2xm0有实根”的逆命题为真命题D.命题“若m2n20，则m0且n0”的否命题是“若m2n20，则m0或n0”解析C项命题的逆命题为“若方程x2xm0有实根，则m0”.若方程有实根，则14m0，即m，不能推出m0.所以不是真命题.答案C5.(2018东北三省四校模拟)原命题：设a，b，cR，若“ab”，则“ac2bc2”，以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题共有()A.0个 B.1个 C.2个 D.4个解析
14、原命题：若c0，则不成立，由等价命题同真同假知其逆否命题也为假；逆命题为设a，b，cR，若“ac2bc2”，则“ab”.由ac2bc2知c20，由不等式的基本性质得ab，逆命题为真，由等价命题同真同假知否命题也为真，真命题共有2个.答案C6.(2018广东省际名校联考)王昌龄从军行中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的()A.充分条件 B.必要条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解析“不破楼兰终不还”的逆否命题为：“若返回家乡，则攻破楼兰”，所以“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要条件.答案B7.已知命题p：x22x30；命题q：xa，且綈q的
15、一个充分不必要条件是綈p，则a的取值范围是()A.1，) B.(，1C.1，) D.(，3解析由x22x30，得x3或x1，由綈q的一个充分不必要条件是綈p，可知綈p是綈q的充分不必要条件，等价于q是p的充分不必要条件.故a1.答案A8.(2018佛山模拟)已知a，b都是实数，那么“”是“ln aln b”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解析由ln aln bab0，故必要性成立.当a1，b0时，满足，但ln b无意义，所以ln aln b不成立，故充分性不成立.答案B二、填空题9.“sin cos ”是“cos 20”的_条件.解析cos 2
16、0等价于cos2sin20，即cos sin .由cos sin 得到cos 20；反之不成立.“sin cos ”是“cos 20”的充分不必要条件.答案充分不必要10.有下列几个命题：“若ab，则a2b2”的否命题；“若xy0，则x，y互为相反数”的逆命题；“若x24，则2x2”的逆否命题.其中真命题的序号是_.解析原命题的否命题为“若ab，则a2b2”，错误.原命题的逆命题为“若x，y互为相反数，则xy0”，正确.原命题的逆否命题为“若x2或x2，则x24”，正确.答案11.(2018湖南十校联考)已知数列an的前n项和SnAqnB(q0)，则“AB”是“数列an为等比数列”的_条件.解
17、析若AB0，则Sn0，数列an不是等比数列.如果an是等比数列，由a1S1AqB得a2S2a1Aq2Aq，a3S3S2Aq3Aq2，a1a3a，从而可得AB，故“AB”是“数列an为等比数列”的必要不充分条件.答案必要不充分12.已知命题p：axa1，命题q：x24x0，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是_.解析令Mx|axa1，Nx|x24x0x|0x4.p是q的充分不必要条件，MN，解得0a1且y1，q：实数x，y满足xy2，则p是q的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解析若x1且y1，则xy2.所以pq；反之xy2x1且y1，例如x3
18、，y0，所以qp.因此p是q的充分不必要条件.答案A14.(2018昆明诊断)下列选项中，说法正确的是()A.若ab0，则ln a(n2)2n1”的否定是“nN*，3n(n2)2n1”D.已知函数f(x)在区间a，b上的图象是连续不断的，则命题“若f(a)f(b)0)是增函数，若ab0，则ln aln b，故A错误；若ab，则mm(2m1)0，解得m0，故B错误；命题“nN*，3n(n2)2n1”的否定是“nN*，3n(n2)2n1”，故C错误；命题“若f(a)f(b)0，则f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点”的逆命题“若f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，则f(a)f(b)0，D正确.答案D15.直线xyk0与圆(x1)2y22有两个不同交点的充要条件是_.解析直线xyk0与圆(x1)2y22有两个不同交点等价于，解之得1k3(xm)是q：x23x40的必要不充分条件，则实数m的取值范围为_.解析p对应的集合Ax|xm3，q对应的集合Bx|4x1.由p是q的必要不充分条件可知BA，m1或m34，即m1或m7.答案(，71，)
