1、期末复习讲义（二）三角与向量 一、填空题1化简sin2 3512cos 10cos 80_.12已知锐角 满足 cos 2cos4，则 sin 2 等于_123在ABC 中，角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 sin2 Asin2 Csin2 B 3sin Asin C，则角 B 的大小为_ 64已知函数 f(x)Acos(x)(A0，0，R)，则“f(x)是奇函数”是“2”的_条件必要不充分5已知 sin4x 34，且 x2，4，则 cos 2x 的值为_3 786.已知ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，sin A 2sin B2sin C，b3，则 cos
2、 C 的最小值等于_.6 24由 sin A 2sin B2sin C 可得 a 2b2c，b3，a3 22c.cos Ca2b2c22aba29c26a.由 ca3 22，得 cos Ca29a3 2226aa22 2a68a18a6a2 2 6 24，当且仅当 a6a，即 a 6时，等号成立，cos C 6 24.cos C 的最小值为 6 24.7 f(x)2sin24x 3cos 2x1，x4，2，则 f(x)的最小值为_.18在ABC 中，G 是ABC 的重心，AB，AC 的边长分别为 2,1，BAC60.则AGBG_.89 9如图，AB 是圆 O 的直径，P 是圆弧 AB 上的点，
3、M，N 是直径 AB 上关于 O 对称的两点，且 AB6，MN4，则PMPN_.5解析 连接 AP，BP.则PMPAAM，PNPBBNPBAM，所以PMPN(PAAM)(PBAM)PAPBAMAMAMPBAM2PAAMAMPBAM2AMABAM21615.10一艘海轮从 A 处出发，以每小时 40 海里的速度沿东偏南 50方向直线航行，30 分钟后到达 B 处，在 C 处有一座灯塔，海轮在 A 处观察灯塔，其方向是东偏南 20，在 B 处观察灯塔，其方向是北偏东 65，那么 B、C 两点间的距离是_10 2(海里)二、例题选讲。11设 xR，函数 f(x)cos(x)0，2 0 的最小正周期为
4、，且 f4 32.(1)求 和 的值；(2)在给定坐标系中作出函数 f(x)在0，上的图象；(3)若 f(x)22，求 x 的取值范围解：(1)因为函数 f(x)的最小正周期 T2，所以 2，因为 f 4 cos24 cos2 sin 32，且2 0，所以 3.(2)由(1)知 f(x)cos2x3，列表如下：2x33023253 x06512231112 f(x)12101012 图象如图：(3)因为 f(x)22，即 cos2x3 22，所以 2k4 2x3 2k4，kZ，则 2k122x2k712，kZ，即 k24xk724，kZ.所以 x 的取值范围是x|k24xk724，kZ.12已
5、知向量 a(cosxsinx，sinx)，b(cosxsinx，2 3cosx)，设函数 f(x)ab(xR)的图象关于直线 x对称，其中，为常数，且 12，1.(1)求函数 f(x)的最小正周期；(2)若 yf(x)的图象经过点4，0，求函数 f(x)在区间0，35上的取值范围解：(1)f(x)sin2xcos2x2 3sin xcos xcos 2x 3sin 2x2sin2x6.由直线 x是 yf(x)图象的一条对称轴，可得 sin26 1，所以 26 k2(kZ)，即 k213(kZ)又 12，1，kZ，所以 k1，故 56.所以 f(x)的最小正周期是65.(2)由 yf(x)的图象
6、过点4，0，得 f4 0，即 2sin562 6 2sin4 2，即 2.13.在 ABC中，角,A B C 所对的边分别为,a b c，满足2coscoscabAB，D 是 BC 边上的一点 ()求角 B 的大小；()若7AC，5AD，3DC，求 AB 的长.【答案】()45B ；()5 62 所以2cos2B，又0180B，()在 ADC中，7AC，5AD，3DC，由余弦定理得222cos2ADDCACADCAD DC22253712 5 32 ，所以120ADC ，60ADB，在 ABD中，5AD，45B，60ADB，由正弦定理，得 sinsinABADADBB，所以35sin5sin
7、605 62sinsin 45222ADABADBB.14.如图，阴影部分为古建筑物保护群所在地，其形状是以O1为圆心，半径为1 km的半圆面.公路l经过点O，且与直径OA垂直.现计划修建一条与半圆相切的公路PQ(点P在直径OA的延长线上，点Q在公路l上)，T为切点.(1)按下列要求建立函数关系：设OPQ=(单位：rad)，将OPQ的面积S表示为的函数；设OQ=t(单位：km)，将OPQ的面积S表示为t的函数.(2)请你选用(1)中的一个函数关系，求OPQ的面积S的最小值.【解答】(1)由题设知，在RtO1PT中，O1PT=，O1T=1，所以O1P=1sin，又OO1=1，所以OP=1sin+
8、1.在RtOPQ中，OQ=OPtan=11sin tan=1sincos.所以RtOPQ的面积为S=12 OPOQ=1211sin1sincos=2(1 sin)2sin cos=2(1 sin)0sin22.由题设知，OQ=QT=t，O1T=1，且RtPOQPTO1，所以OPOQ=1TPTO，即OPt=22-1tOPt，化简得OP=222-1tt(t1).所以RtOPQ的面积为S=12 OQOP=12 t222-1tt=32-1tt(t1).(2)方法一：选用(1)中的函数关系S=2(1 sin)sin202.S=222(1 sin)cos sin2-(1 sin)2cos2sin 2=22
9、(1sin)cos sin2-(1sin)cos2 sin 2=222(1 sin)sin(2-)-(1-2sin)sin 2=222(1 sin)(2sin-1)0sin 22.由S=222(1 sin)(2sin-1)sin 2=002，得=6.当变化时，S，S的变化情况如下表：0 6，66 2，S-0+S极小值 所以当=6 时，OPQ的面积S取得最小值为21 sin6sin 26=3 32(km2).方法二：选用(1)中的函数关系S=32-1tt(t1).S=223223(-1)-2(-1)ttttt=222(3)(-3)(-1)tttt(t1).由S=222(3)(-3)(-1)ttt
10、t=0(t1)，得t=3.当t变化时，S，S的变化情况如下表：t(1，3)3(3，+)S-0+S极小值 所以当t=3 时，OPQ的面积S的最小值为3(3)3-1=3 32(km2).三、课后作业。1在ABC 中，A3，AB2，且ABC 的面积为 32，则边 AC 的长为_ 12已知角 A 为ABC 的内角，且 sin 2A34，则 sin Acos A_.723已知 sinx6 14，则 sin56 x sin23x _.19164已知锐角ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c,23cos2Acos 2A0，a7，c6，则 b_.55.若将函数xxxf2cos2sin)(的图象向
11、右平移 个单位，所得图象关于 y 轴对称，则的最小正值是 38 6将函数 f(x)3sin4x6 图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍，再向右平移6个单位长度，得到函数 yg(x)的图象，则 yg(x)图象的对称轴方程是_ xk3，kZ7.如图，在梯形 ABCD 中，ABCD，AB4，AD3，CD2，2AMMD若 AC BM43，则 AB AD 328函数 f(x)Asin(x)xR，A0，0，|0，函数 f(x)2asin2x6 2ab，当 x0，2 时，5f(x)1.(1)求常数 a，b 的值；(2)设 g(x)fx2 且 lg g(x)0，求 g(x)的单调区间解：(1)因为 x0，
12、2，所以 2x6 6，76.所以 sin2x6 12，1，所以2asin2x6 2a，a 所以 f(x)b，3ab，又因为5f(x)1，所以 b5，3ab1，因此 a2，b5.(2)由(1)得，f(x)4sin2x6 1，g(x)fx2 4sin2x761 4sin2x6 1，又由 lg g(x)0，得 g(x)1，所以 4sin2x6 11，所以 sin2x6 12，所以 2k6 2x6 2k56，kZ，其中当 2k6 2x6 2k2，kZ 时，g(x)单调递增，即 kxk6，kZ，所以 g(x)的单调增区间为k，k6，kZ.又因为当 2k2 2x6 2k56，kZ 时，g(x)单调递减，即
13、 k6 xk3，kZ.所以 g(x)的单调减区间为k6，k3，kZ.12已知函数()sin()(0,|,)2f xAxAxR0，且函数()f x 的最大值为 2，最小正周期为2，并且函数()f x 的图像过点(,0)24（1）求函数()f x 的解析式；（2）设 ABC中，角,A B C 的对边分别为,a b c，且2)4(Cf，32c，求2ab的取值范围。（1）由题意可得：A=2 4,22T)4sin(2)(xxf 代入(,0)24，则6()2sin(4)6f xx（2）32,2)4(CCf 1sinsinsinCcBbAaABC中，BbAasin,sin )6sin(3sin2)3sin(
14、sin2sin2BBBBAba 即23sin()(0)63abBB 26630BB)1,21()6sin(B 32(,3)2ab 13如图，在等腰直角OPQ 中，POQ90，OP2 2，点 M 在线段 PQ 上(1)若 OM 5，求 PM 的长；(2)若点 N 在线段 MQ 上，且MON30，问：当POM 取何值时，OMN 的面积最小？并求出面积的最小值解(1)在OMP 中，OPM45，OM 5，OP2 2，由余弦定理得 OM2OP2MP22OPMPcos 45，即 MP24MP30，解得 MP1 或 MP3.(2)设POM，060，在OMP 中，由正弦定理得OMsinOPMOPsinOMP，
15、所以 OM OPsin 45sin45，同理，ON OPsin 45sin75.故 SOMN12OMONsinMON14OP2sin2 45sin45sin751sin45sin45301sin4532 sin4512cos45132 sin24512sin45cos45134 1cos()90214sin902134 34 sin 214cos 2134 12sin230.因为 060，30230150，所以当 30时，sin(230)的最大值为 1，此时OMN 的面积取到最小值14.江苏省丹阳高级中学航模兴趣小组的同学，为了测定在湖面上航模航行的速度，采用 如下方法：在岸边设置两个观察点 A，B，且 AB 长为 80 米，当航模在 C 处时，测得ABC105和BAC30，经过 20 秒后，航模直线航行到 D 处，测得BAD90和ABD45.请你根据以上条件求出航模的速度（单位：米/秒）(答案保留根号)试题分析：由 90BAD45ABD45ADB80 ABAD280BD
